直线的倾斜角与斜率

1、键入文字直线的倾斜角与斜率教学目标掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。8教学内容、目标认知1. 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围;2 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是.时的直线没有斜率;3 已知直线的倾斜角（或斜率），会求直线的斜率（或倾斜角）；4 掌握经过两点-1和2-的直线的斜率公式：二一-1（；亠二）；5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件二、知识要点梳理知识点一：直线的倾斜角痣平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 ：轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最 小正角记为二，则二叫做直线的倾斜角.规定：当直线和 丄轴平行或重合时，直线倾斜角为

2、J，所以，倾斜角的范围是要点诠释：1要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；：轴正向；小于】； 的角2从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由'l轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3倾斜角二的范围是-'一： ' 当:-心时，直线与轴平行或与轴重合4. 直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应5已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线 的位置'表示，即知识点二：直线的斜率商倾斜角不是.-的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用要点诠释:1当直线与x轴平行或重合时,亠=0 

3、6;, k=ta nO ° =0 ；2.直线-与x轴垂直时，"=90,k不存在.二一定存在，但是斜率k不一定存在.由此可知，一条直线的倾斜角知识点三：斜率公式商已知点 -由斜率的定义可知，当 二在宀"，;范围内时，直线的斜率大于零；当 二在"'范围内时,.',且 与X轴不垂直，过两点呂佃J1)、爲也仍)的直线的斜率公式丁无要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角住=90 °，直线与x轴垂直；(2) k与Pi、P2的顺序无关，即yi, y和xi，X2在公式中

4、的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；当yi=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角 =0 °，直线与X轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由1、亠点的坐标求'的值；已知及中的三个量可求第四个量;已知' 及EE的横坐标(或纵坐标)可求I片马(4)证明三点共线.知识点四：两直线平行商设两条不重合的直线；V的斜率分别为匸匸.若：，则与的倾斜角'1与二相等.由V I，可得-L 一 ：l 'J，即-.因此，若

5、：，则 1一1 .反之，若 1一"【，则j .要点诠释：1. 公式； '三：-= 成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为"-"：；勺三【；不重合;2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，'匸的倾斜角都是讦r，则；. 知识点五：两直线垂直商例1 如图，直线11的倾斜角=30，直线11解：11的斜率k, =ta门彳。.3 ,3-12，求 11、设两条直线；的斜率分别为.若”一：；：，则1T2的倾斜角 -=9030 =120 ,二 12 的斜率 k2 =tan ： 2 = tan120 3.n n例2. ( 1)已知直线l的倾斜角的变化范围为：一，一

6、)，求该直线斜率的变化范围;6 3(2)已知直线|的斜率k -1,、3)，求该直线的倾斜角的范围.3, 3).n n解：(1)：；三,),. tan -6 3(2 )T k = tan ：£ 三一1,、3),3 兀 ,r n ,二)0,)-43例3已知：.和k分别是1的倾斜角和斜率，当(1) sin :-3；(2) COS：=53-；(3)5cos，- - 3时，分别求直5线1的斜率k 3解：当sin = 时，T50 ：180，二3 k = ta n ：=43当COS时50 _ <180，二0 乞：90，/-k = ta n ： = 33当COS 二时，/ 0 ：180 ， 9

7、0 ： 180， k = tan :二-453要点诠释：1公式:-.：I成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在；2. 当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.率与直线的倾斜角（賀J除外）为一一对应关系，且在范围内分别与倾斜角的变三、规律方法指导S 1 直线的斜率小于零；当二.时，直线的斜率为零；当 二. 时，直线的斜率不存在直线的斜化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在卩 別或卩）口。丿范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.2 直线的斜率可用于直线的平行 （重合）、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方 程

8、的求解等.3我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；4. 判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；5. 平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意三：经典例题透析类型一：倾斜角与斜率的关系已知直线的倾斜角的变化范围为-匚，求该直线斜率的变化范围；类型二：斜率定义已知 ABC为正三角形，顶点 A在x轴上，A在边BC的右侧，/ BAC的平分线在x轴上，求边 AB与AC所在 直线的斜率类型三：斜率公式的应用求经过点貝第:山尸a；,'- I亠直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.直线与方程：一、知识要点：1. 倾斜

9、角与斜率2. 直线方程式的5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它 形式转化的条件）3 两条直线平行、垂直的条件 （与斜率及系数的关系）4.距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式练习1. 已知直线经过点 A（0,4）和点B （1, 2）,则直线AB的斜率为（ ）A.3B.-2C. 2D.不存在D . 2x y -5 = 0 )2. 过点（-1,3）且平行于直线x -2y 3 = 0的直线方程为（）A. x -2y 7 =0 B. 2x y-1=0 C. x-2y-5=0a=()3.在同一直角坐标系中，表示直线y =a

10、x与y = x a正确的是（4.若直线 x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则2 23A.B.C.-3 325.过（xi, yi）和（X2, y2）两点的直线的方程是 （a.八y2 yix2 -%RSy2 yiC.(y2 -yi)(x -xj -化 Xi)(y -yj =0D.(X2 为)(x Xi) (y2 yj(y yj =o6、若图中的直线 Li、L2、L3的斜率分别为A、Ki< 心< K3B、K2< Ki< K3C、K3< K2< KiD、Ki< K3< K27、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（A、3x+2

11、y-5=0C、 3x+2y+5=0B、2x-3y-5=0D、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=09、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5； C.a=2,b=5;b,则( )D.a= - 2,b= _ 5.10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是( )A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程

12、是( A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=0:填空题（共20分，每题5分）12.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程13两直线2x+3y k=0和x ky+12=0的交点在 y轴上，则k的值是14、两平行直线 x 3y -4 =0与2x 6y -9 =0的距离是课后作业一、选择题1. 设直线ax by 0的倾斜角为 j ,且sin爲" cos > =A.ab =1B.a - b = 1C.ab=0D.a-b=02. 过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y，3=0的直线方程为A.2xy -1= 0B.2x y5

13、=0C.x2y-5=0D.x-2y 7=03. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y -1 =0，则a,b满足（）0平行，则m的值为（）A.0B. -8C.2D. 104.已知 ab : 0, bc ： 0 ,则直线ax by = c通过()A.第、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限键入文字5. 直线X =1的倾斜角和斜率分别是()A. 450,1B. 1350, -1C. 90°，不存在D. 180°，不存在A. m = 0B.2 26. 若方程(2m m-3)x，(m -m)y-4m，1=0表示一条直线，则实数 m

14、满足()3m =-2“3门C. m = 1D. m = 1， m = -， m = 02课后检测：一、选择题1.若直线过点(1,2)，(4,2 , 3),则此直线的倾斜角是()A 300B450C600D900则系数a=、232.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，-3 B 、-6 C 、一 3 D 2P (-1 , 2)到直线8x-6y+15=0的距离为(723 )的对称点为P(6,9)，贝U(B m=3, n=10D m=3, n=51)为端点的线段的垂直平分线方程是(B 3x+y+4=0D 3x+y+2=03点、-6B 1 C 1 D24. 点M (4, m)关于点N(A m=3, n=10C m=3, n=55. 以 A(l,3) , B(5,A 3x-y-8=0C 3x-y+6=0n,且|MP|=|6.过点M(2 , 1)的直线与x轴，y轴分别交于P , Q两点,则I的方程是()A x-2y+3=0B 2x-y-3=0C 2x+y-5=0D x+2y-4=07.直线mx-y+2m+1=(经过一定点，则该点的坐标是A (-2 , 1) B (2, 1) C (1, -2) D (1, 2) 8.直线2x y m = 0和x 2y n = 0的位