第1,2章线性空间与线性变换内积空间

1、课程概述矩阵论矩阵论课程是专门为工科研究生开设的数课程是专门为工科研究生开设的数学课程。学课程。矩阵论矩阵论的内容是根据国家教育部课程指导的内容是根据国家教育部课程指导委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要求编写而成。求编写而成。矩阵论矩阵论介绍的理论是现代数学的重要基础介绍的理论是现代数学的重要基础。矩阵论矩阵论是工科研究生必备的核心基础知识是工科研究生必备的核心基础知识，是工科研究生的必修课。，是工科研究生的必修课。I. 先修课程矩阵论矩阵论主要以大学主要以大学线性代数线性代数为先修课为先修课程，可以同济大学数学系编著的程，可以同济大学数学系编著的

2、线性代数线性代数教材书为参考书。教材书为参考书。矩阵论矩阵论还以大学还以大学高等数学高等数学为先修课程为先修课程，可以同济大学数学系编著的，可以同济大学数学系编著的高等数学高等数学教教材书为参考书。材书为参考书。本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程或已经掌握相关的知识。或已经掌握相关的知识。II. 主要内容： 一一. 集合与映射集合与映射1.集合集合集合集合：作为整体看的一堆东西：作为整体看的一堆东西.集合的元素集合的元素：组成集合的事物：组成集合的事物. 设设S表示集合，表示集合，a表示表示S的元素，记为的元素，记为aS读为读为a属于属于S；用记号

3、；用记号 a S 表示表示a 不属于不属于S. 集合的表示：集合的表示：(1 ) 列举法列举法 具有的性质aaM 例如例如 空集合空集合：不包含任何元素的集合，记为：不包含任何元素的集合，记为子集合子集合：设：设 表示两个集合，如果集合表示两个集合，如果集合 都是集合都是集合 的元素，即由的元素，即由 ，那么就称那么就称 的子集合，记为的子集合，记为12),(yxyxP21SS与1S2S21SaSa21SS是212121SSS且SSS相等相等：即：即1221SSSS或 (2) 特征性质法特征性质法集合的交：集合的交：集合的并：集合的并：集合的和：集合的和：例如例如 2121SxSxxSS且21

4、21SxSxxSS或2121,SySxyxSS 7 , 6 , 5 , 4 , 34 , 3 , 23 , 2 , 14 , 3 , 2 , 14 , 3 , 23 , 2 , 12.数域数域数域数域：是一个含：是一个含0和和1,且对加，减，乘，除（且对加，减，乘，除（0不为除数）封闭的不为除数）封闭的数集数集.例如：有理数域例如：有理数域Q，实数域，实数域R，复数域，复数域C.3.映射映射映射映射：设：设S 与与S 是两个集合，一个法则（规则）是两个集合，一个法则（规则） ，它使，它使S中的每个元素中的每个元素a 都有都有 S中一中一个确定的元素个确定的元素 a 与之对应，记为与之对应，记为

5、 称为集合称为集合S到到 S 的的映射映射，a 称为称为a 在映射在映射 下的下的象象，而，而a 称为称为 a 在映射在映射下的一个下的一个原象原象.:SS aaaa或)(变换变换：S到到S自身的映射自身的映射.例如：例如： 将方阵映射为数将方阵映射为数 将数映射为矩阵将数映射为矩阵 可看成变换。可看成变换。其中其中相等相等：设：设 都是集合都是集合S到到 的映射，如果对的映射，如果对于于 都有都有 ，则称，则称 相等，记为相等，记为 .的实系数多项式的集合是次数不超过nPn21与SSa)()(21aa21与21nnnPtftftfKaaIaKAAA)(),()(,)(,det)(321乘法乘

6、法：设：设 依次是集合依次是集合S到到 ， 的的映射，乘积映射，乘积 定义如下定义如下 是是S到到 的一个映射的一个映射.注注： ， （ 是是 的映的映射）射）,1S21SS到Saaa),()(2S)()(32SS 到：5413要点：要点： 坐标与基有关坐标与基有关 坐标的表达形式坐标的表达形式 nR 3120A22111A11013A37342A41 ,.,n21nnnnC),.,(),.,(2121,.,21n,.,n21X).(n21Y).(n21 ,.,21nnnnnC),.,(),.,(212100120110130030002137 :： 。M=X ： AX=b Rn，、 ： )F

7、(VWWWWWWn212121 ： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1 W2）=0 W1 W2=0： 若若 dim（W1 W2）=0 ，则和为直和，则和为直和 W=W 1W2=W1 W2， ： P13 1.2.6 设在设在Rnn中，子空间中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 证明证明Rnn=W1 W2。（i）m1im1iiiii)(TkkTATaaaTaaaTaaaTVVTnnnnnnnnnnnnn),.,(),.,(.,.,21212211222211221221111121记为的一组基。是上的线性变换，是线性空间设T的矩阵的矩阵, 0|,10

8、11221122211211RxxxxxxxXVBij线性空间VXBXXBXTTT ,)(两组基两组基 1， 2，, n ， 1， 2，, n ， （ 1 2 n）=（ 1 2 n ）CT（ 1 2 n ）=（ 1 2 n）AT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）B B=C1AC123 nmijnmijnjiijijbBaAbaBA)(,)( ,),(1,nTnTnTnnRyyYxxXYXyxyxyxYX),.,(,),.,(.),(112211nnynxyxyxYX.2),(22111 ),(),(设设 1， 2，, n 是内积空间是内积空间V的基，的基， ， V，则有，则有 =x1 1x2

9、2x n n = 1 2 nX； =y1 1y2 2y n n= 1 2 nY ， = =Y HAX， n1in1jjiji),(yx定义内积定义内积 在一个基在一个基 1， 2， n 中定义内积中定义内积 定义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A 。 度度量量矩矩阵阵 A ji0ji1F n),(),( ,432),0| ),(4321432144332211314321yyyyYxxxxXyxyxyxyxYXWxxxxxxXW（上定义在线性空间11122 22122212222111211121121222122例 2已 知的 子 空 间0在上 定 义 ( , ),其 中，,(1) 证 明 ：(

10、 , ) 是的 一 个 内 积 ；(2) 求的 一 组 标 准 正 交 基 .ijijijxxRWXxxxxxxyyWX Yx yXYxxyyX YWW2.4 正交补正交补定义定义: : 设设W, U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1) V , 若若 W, 都有都有(, , ) = 0, 则称则称 与与W 正交，记作正交，记作 W ;(2) 若若 W, U, 都有都有(, , ) = 0, 则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U ;(3) 若若W U，并且，并且W + U = V, 则称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则 W与与U 的和必

11、是直和。的和必是直和。55正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且 W|,WWV 56定理定理: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的有限维子空间，则的有限维子空间，则VWW向量的正投影向量的正投影定义定义: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，, WWV于是于是，其中其中有有 WWV ,则称向量则称向量 为向量为向量 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度| | | |为向量为向量 到到W 的距离。

12、的距离。Wd d O 垂线最短定理垂线最短定理定理定理: : 设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间， V , 为为 在在W|d d 上的正投影，则上的正投影，则 d d W, 有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当 = d d。，WW d d ,，d d ，d d d d （勾勾股股定定理理），222|d d d d |d d 即即Wd d 最小二乘法最小二乘法 12,n sijnAXb AaRbb bb （1） 可能无解，即任意可能无解，即任意 都可能使都可能使 12,nx xx 211221niiinniia xa xa xb （2） 不等于零，设法找实数组不等于零，设法找实数组 使使（2）最小最小 20001,nxxx这样的这样的 为方程组为方程组（1）的最小二乘解，的最小二乘解， 20001,nxxx此问题叫最小二乘法问题此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出问题提出，实系数线性方程组，实系数线性方程组2.问题的解决问题的解决设设 12111,.nnnjjjjnjjjjjYa xa xa xAX （3） 用距离的概念，（用距离的概念，（2）就是）就是 2.Yb 由（由（3）知）知 112212,sssYxxxA 找找 使（使（2）最小，等价于找子空间）最小，等价于找子空间 X12(,)sL 中向量中向量 使使 到它的距离到它的距离 比