第五章线性参数的最小二乘法处理

1、祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法最小二乘法鸟爼合测量教修貝标最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学 科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和 计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数 据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手 段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学 习，用户可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在 组合测量问题的数据处理中的应用。V A 主菜单结束6-#祺差理沦鸟敷据处理:最小二乘法原理:线性参数的最小二乘法:非线性参数的最小二乘法:组合测量最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻 找最可信赖值的问题。对某量进行测量，得到一组数据西,花，不存 在系统误差和

2、粗大误差，相互独立，且服从正态 分布，其标准差为56,b“测得值兀落入召,召+旳的概率Pi=帚 exp（-聽）dx6“兀厶刁v A 主菜单结束6-#祺差理沦鸟敷据处理眾小二乘该原理（ 、2 II 匕丿叫真耳冬=Min比匕2 = Min测得值花，心 同时出现的概率为(dx)nP=YPi = ny最可信赖值满足权因子叫.ocl/b：丫分=（兀一无）2 =Min叱 OCl/b：虽然是在正态分布下导出最小二乘法'实际上, 按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成 一种准则。主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法第二节钱徃泰做的最小二乘法爼合测量基滓槪念组合测量，指直接测量一组被测量的

3、不同组合值， 从它们相互所依赖的若干函数关系中，确定出各被 测量的最佳估计值。如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法=03（必）=-0.4仇）£+兀3二05（歹3）兀2 + 兀3 二 _°3 （J；4）待求量测得值待解的数学模型%1兀2为了获得更可靠 的结果，测量次 数总要多于未知 参数的数目 丿主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法正视方程爼主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法钱徃测量方戏狙线性测量方程组的一般形式

4、为矩阵形式主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法Ax = y含有随机误差>1a $12 ° '*at°21 22* * * 2t兀2V2y =坷內 + ai2x2 + + aitxt =心內主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法测量残差方程组ty - Ax = vx- 一 E aijxj=叫 7=1I = 19 2, , M主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法6-9主菜单 结束祺差理沦鸟救据处理第上

5、章最小二乗法正规方程饱最小二乘法原理式不等权(y- Ax j1 ( y Ax ) = Min(y - Ax f w( y - Ax ) = Min求导、F正规方程组 AtAx = ATyATwAx = ATwy正规方程组解 x=xAyx = (ATwA)'ATvyyAtA = C6-10主菜单 结束祺差理沦鸟敷据处理v A 主菜单结束6-17祺差理沦鸟敷据处理5n-tS =-t工匕(加权)-未知量个数 »方程个数2、待求量的标准差估计Jj=巒 误差传播系数.(MA)j对角元素 接测量量的标准差3、待求量与的相关系数_ 一研；M(Ma) 1元素v A 主菜单结束6-#祺差理沦鸟

6、敷据处理v A 主菜单结束6-19祺差理沦鸟敷据处理"0.3 _'I 0 0-0.4A =0 1 00.51 0 1-0.30 1 1y - Ax = vy =V2V =V3V4【例6- 1】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量召，兀2,兀3 5进行 了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值X=0Q2 号电容值=-04 , 1号和3号并联电容值力=。2号和3号 并联电容值力二-。3。试用最小二乘法求召心宀 及其标准 偏差。【解】 列出测量残差方程组Vj = 0.3-Xj= 一0.4%2V3 = 0.5 - （%! +兀3）V 0.3（兀2 + 兀3）矩阵形式正规方穆

7、组»OHi0.3"10 100.8-0.40 10 1-0.70.50 0 110.20.3.'1 0 0_"10 10'2 0 10 1 00 10 10 2 11 0 10 0 111 1 2110 1 1>C = ArA ='2 o r 0.8 "0 2 1兀2-0.71 1 2兀3.0.2v A 主菜单结束6-21祺差理沦鸟敷据处理正规方程组解0.750 0.250 -0.500C x= 0.2500.750 -0.500-0.500 -0.5001.000x = C'iAry_0.750 0.250 -0.

8、500 _0.8_0.325 _0.250 0.750 -0.500-0.7-0.425-0.500 -0.5001.000_0.2_0.150xx = 0.325, x2 = 0.425, x3 = 0.150代入残差方程组）计算Vj = v2 = v3 = v4 = 0.025+ 巧=0.00250.0025V 4-3crvl =sdn = 0.0433 CTv2 = S 厶=0.0433cx3 = s d33 = 0.050V A 主菜单结束6"23祺差理沦鸟敷据处理第三节族钱性炙敷的最小二乘诊测量残差方程组 I非线性函数X =%（*）+匕X =（兀,兀"，兀）泰勒展

9、开X =%(x®)+5+叮x（°）X 二 aiAS +ai2S2 + + 4禺 +U 按线性参数最小 二乘法解得 £ = 6s占） x(1) = x(0) +E迭至足为代£精止取兀的初始似值兀【例6-2】在例8T的基础上，再增加一次测量串联电容XX2XX2）5测得北=014。试用最小二乘法求 召宀，无3及其标准偏差。【解】列出非线性测量方程组x = 0.3x2 = 0.4x + 七=050（兀）=兀1%（兀）=壬+吃兀2 +兀3 = 03xx2(p4(x) = x2 +x3= 0.14兀+x2xx2v A 主菜单结束6"25祺差理沦鸟敷据处理对

10、前4个线性测量方程组，按例8-1求出解，作为初次近似解 X(O) =(0.325, - 0.425,0.150) 在兀® =(0.325,-0.425,0.150)附近，取泰勒展开的一阶近似X = - %(X(O) ) = 0.3 -0.325 = -0.025 如=1 知=0 知=0°33 =1= y2 一©(兀)=°4 + 0.425 = 0.025勺1 =。 如=1 a23 =。% = % 一 (x®)= °5 (°325+0.150) = 0.025 a3i=l a32=°乂 =儿 一 (x(0) )-0.

11、3-(-0.425 +0.150) = -0.025。41 = 0 a42 =1 a43 = 1必=必一05(宀=°14 = 1.241250.325x0.425、,0.325 0425 /a5X= 18.0625 g = 10.5625 % = 0 一 6-18写出线性化残差方程组整理得正规方程组328.254 190.785-22.4201'190.785 113.566 1£2-13.1171八12-0解出% = -0.0473s2 = 0.03636 = 0.0418彳)=#°)+ 刍=0.2777, *)=0.4613, £)= 0.1

12、918000.025 Vj100.025 vo01*20.025 v311*30.025 一 v10.562501.24125-鸟101018.0625主菜单 结束祺差理沦鸟敷据处理表82第上章最小二乗法6姒送代褚皋代数 迭次S2S3xl兀200000. 325-0.4250. 1501-0. 0473-0. 03630. 04180. 278-0. 4610. 1922-0. 0713-0. 03730. 05430. 206-0.4990. 2463-0. 0472-0. 05550. 02640. 159-0. 5040. 27340. 001980. 001050. 006280. 1

13、61一 0.4940. 2665-0. 00113-0. 00142-0. 001270. 160-0. 4950. 26860. 0003150. 0004190. 0003670. 160-0. 4950. 267V A 主菜单结束6"29祺差理沦鸟敷据处理V A 主菜单结束6"#祺差理沦鸟敷据处理第四节组合测量问麵惑用举例621【例6-3】要求检定丝纹尺0, h 2, 3刻线间的距知兀2以3离。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小占乘法求及其韦酱偷養乙=0985 4 = 1-020 厶° = 2.016 厶=1.981 h = 3.032

14、V A 主菜单结束6"33祺差理沦鸟敷据处理V A 主菜单结束6"#祺差理沦鸟敷据处理V A 主菜单结束6"#祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法v A 主菜单结束6"35祺差理沦鸟救据处理第上章最小二乗法针篇步骤【解】列出测量残差方程组儿=厶_兀1 v2= L2- x2叫=厶_兀3v4 = L4-（xl+x2） 叫=厶一（吃+花）V6 =厶6 一（兀1 +兀2+花）1.01250.985viV21.020L 2.0161.9813.302001A 110011L - Ax = vV =叫V4V6v A 主菜单结束6"#祺差理沦鸟敷据处理解出针耳

15、偌皋一 0.500-0.250o100 1 0 f0.9856.063 宀-0.2500.500-0.250A1 L =010 1 111.0208.0140-0.2500.500001 0 112.0166.033J1.9813.032'0.500一0.25006.063 1.028'x =-0.2500.500-0.2508.0140.983.0-0.2500.500.6.0331.015x = C1ArL =（ArA），ArLxx = 1.02 &勺=0.983, %3 = 1.013代入残差方程组可得片二厶一西二 1.015 1.028 = 0.013 v2 = L1 x2 = 0.985 0.983 = 0.002 v3 = x3 = 1.020 1.013 = 0.007v4 = L4 -