第十二章习题课09[1]610

1、1 1、五种标准类型的一阶微分方程的解法、五种标准类型的一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法(2) 齐次方程齐次方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法作变量代换作变量代换xyu 一、一阶微分方程一、一阶微分方程 主要内容主要内容(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(xqyxpdxdy 形如形如, 0)( xq当当齐次齐次, 0)( xq当当非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxpcey（使用分离变量法）（使用分离变量法）非齐次微分方程的

2、通解为非齐次微分方程的通解为 dxxpdxxpecdxexqy)()()(（常数变易法）（常数变易法）(4) 伯努利伯努利(bernoulli)方程方程nyxqyxpdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n时时，当当1 , 0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxqezydxxpndxxpnn(5) 全微分方程全微分方程形如形如0),(),( dyyxqdxyxp其中其中dyyxqdx

3、yxpyxdu),(),(),( 注意：注意：xqyp 全微分方程全微分方程解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxqxdyxpyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxpdyyxqxxyy 通解为通解为.),(cyxu 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. 可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如0),(),( dyyxqdxyxp).(xqyp 非全微分方程非全微分方程 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxqyxdxyxpyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),

4、(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子积分因子三种三种基本类型基本类型变量可分离变量可分离一阶线性一阶线性全微分方程全微分方程其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化其余类型的方程可借助于变量代换或积分因子化成基本类型成基本类型三种基本类型代表三种三种基本类型代表三种典型解法典型解法分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分法全微分法变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解

5、法)()1()(xfyn 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解),()2(yxfy 型型特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数解法解法),(xpy 令令,py 代入原方程代入原方程, 得得).(,(xpxfp 二、高阶微分方程二、高阶微分方程 ),()3(yyfy 型型特点特点.x不不显显含含自自变变量量,dydppy 解法解法),(xpy 令令代入原方程代入原方程, 得得).,(pyfdydpp 2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxqyxpy形如形如也也是是解解则则是是解解若若22

6、1121,ycycyyy 是是通通解解则则是是两两无无关关解解若若221121,ycycyyy （2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxqyxpy 形如形如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解的的特特解解是是则则的的特特解解分分别别是是若若)()()()(),(,21212121xfxfxfyyyxfxfyy 3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfypypypynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方

7、程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.0 qyypy特征方程为特征方程为02 qprr 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxrececy2121 xrexccy2)(21 )sincos(21xcxceyx 推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n

8、01)1(1)( ypypypynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 ik复根重共轭若是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(111011104 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.型型)()()1(xpexfmx , )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()

9、()2(xxpxxpexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk 设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时iik二、典型例题二、典型例题例例1 求一微分方程使其通解为求一微分方程使其通解为321cxcxcy 解解 由由321cxcxcy 213)(cxcycx 求导得求导得13)(cycxy 再求导再求导0)(23 ycxyyycx 2再求导再求导22)(2)( 21yyyy 2)( 32yyy 例例2 2.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxy

10、xy 求通解求通解解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu 分离变量分离变量齐次方程齐次方程,cos2cossinxdxduuuuuu 两边积分两边积分,lnln)cosln(2cxuu ,cos2xcuu ,cos2xcxyxy 所求通解为所求通解为.coscxyxy 例例3 3.32343yxyyx 求通解求通解解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy 伯努利方程伯努利方程,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原

11、式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程对应齐方通解为对应齐方通解为,32cxz 利用常数变易法利用常数变易法,)(32xxcz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxc ,73)(37cxxc 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xcxy 例例4 4. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解解解)2(3yxyyp ,64yx )3(422yxyxxq ,64yx )0( y,xqyp 方程为全微分方程方程为全微分方程.全微分方程全微分方程利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为, 01

12、)32(2423 dyydyyxdxyx, 0)1()(32 ydyxd即得即得故方程的通解为故方程的通解为.1232cyyx (2) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),()1 ,0(3cdyyxydxyxyx ,312142203cdyyxydxxyx 即即.113212cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.1232cyyx 例例5 5. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解解解, 22 yyp, 22 xxq,xqyp 非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx

13、 积分因子法积分因子法222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lncxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxceyx 例例6 解方程解方程0)(22 ydydxxyx分析分析 本题看起来简单本题看起来简单 但具体求解时发现但具体求解时发现不是变量可分离不是变量可分离也不是齐次型也不是齐次型不是一阶线性不是一阶线性也不是全微分方程也不是全微分方程怎么办？怎么办？必须对方程进行必须对方程进行变形变形解一解一 分项组合分项组合0)()(22 ydyxdxdxyx0)(21)(2222 yxddxyx0)(22222 yxyxddxcyxxln)ln(222

14、通解为通解为xceyx222 解二解二 变量代换变量代换)(22xxydxdyy 令令uy 2)( 222xxudxdu 一阶非齐次线一阶非齐次线性微分方程性微分方程相应齐方程相应齐方程02 udxduxceu2 令令xexcu2)( xexxxc22)( 2)( cexxcx 22)(22xceux 222xceyx 例例7 设曲线积分设曲线积分 ldyxxxfdxxyf)(2)(2在右半平面内与路径无关在右半平面内与路径无关其中其中 f (x) 可导可导且且f(1)=1 求求f (x) 解解 由曲线积分与路径无关的条件知由曲线积分与路径无关的条件知)(2)(2xxxfxxyfy )(2)(

15、2)(2xfxxf xxf 即即1)(21)( xfxxf一阶线性微分方程一阶线性微分方程)32(1)(23xcxxf 代入代入f(1)=1 得得31 c故故213132)( xxxf例例8 解方程解方程0,0 xyxdxdy 并求此曲线并求此曲线 y = y (x) 和直线和直线 x = 0 ,x = 1 y=0所围部分绕所围部分绕 x 轴旋转一周所成旋转体轴旋转一周所成旋转体的体积的体积解解xdxdy cxy 221特解为特解为221xy 2021022102 dxxdxyv例例9 9.212yyy 求通解求通解解解.x方程不显含方程不显含,dydppypy 令令代入方程，得代入方程，得,

16、212ypdydpp ,112ycp 解得，解得，, 11 ycp, 11 ycdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211cxycc 例例10 设二阶非齐次线性方程的三个特解为设二阶非齐次线性方程的三个特解为xxyxxyxycos,sin,321 求其通解求其通解解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解相应齐方程的解故故xyysin12 xyycos13 是齐方程的两个解是齐方程的两个解齐通解齐通解xcxcysincos21 且线性无关且线性无关非齐通解非齐通解xxcxcy sincos21例例1111. 1)1()1(,2 yyexe

17、yyyxx求特解求特解解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexccy 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexccy , 1)1( y, 1)31(21 ecc,6)1()(3

18、221xexxcccy , 1)1( y, 1)652(21 ecc,31121 ecc,651221 ecc由由解得解得 ,121,61221ecec所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 例例12 设设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分使曲线积分dyxfydxxfxfxelx)()()(2 )(常数常数 与路径无关与路径无关解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得)()(2)(xfxfexfx 即即xexfxfxf )()(2)(这是一个二阶常系数

19、非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解齐通解xexccy )(21时时1 xexy 2*21xexxccxf )2()(221时时1 xey 2*)1(1 xxeexccxf 221) 1(1)()( 例例1313).2cos(214xxyy 求解方程求解方程解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xcxcy 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，21

20、4 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxcxcy 例例1414.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为

21、的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解程程是原方程对应的齐次方是原方程对应的齐次方显见显见221, 1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxccy 1. 已知函数已知函数 y(x) 满足方程满足方程 且当且当 x=1时，时， y

22、 = e2, 则当则当 x = -1时，时，y =( ) (a) 0 ( b) 1 (c) -1(d) e-1,lnxyyyx2. 已知方程已知方程 xy +y =4x 的一个特解为的一个特解为 x2,对应的齐次对应的齐次方程有一个特解为方程有一个特解为lnx, 则原方程的通解为则原方程的通解为( ). (a) c1lnx+c2+ x2 ( b) c1lnx+c2x+ x2 (c) c1lnx+c2 ex+ x2 (d) c1lnx+c2 e-x + x2补充练习补充练习3. 设线性无关的函数设线性无关的函数 y1 ,y2, y3都是方程都是方程 y +p(x)y +q(x)y=f(x) 的的

23、 解解, c1,c2是任意常数是任意常数, 则方程的通解为则方程的通解为( ). (a) c1y1+c2y2+ y3; (b) c1y1+c2y2 (1 c1 c2 ) y3 (c) c1y1+c2y2 (c1 + c2 ) y3 (d) c1y1+c2y2+(1 c1 c2 ) y3 4. 若连续函数若连续函数f(x)满足关系式满足关系式 则则f(x)等于等于( ). (a)2ln)2()(20 xdttfxf2lnxe (b) (c) (d)2ln2xe2lnxe2ln2xeb5. 设设 f(x)具有二阶连续偏导具有二阶连续偏导,且且 f(0)=0, f (0)=1 为全微分方程为全微分方

24、程.求求f(x)及全微分方程的通解及全微分方程的通解.0)()()(2dyyxxfdxyxfyxxy2sincos2)()()(22 xxxxfxxfxfxqyp6. 函数函数 f(t)在在0,+ )上连续上连续,满足方程满足方程 求求 f(t).dxdyyxfetftyxt22224224)21()(tttyxrdrrfrdrrfddxdyyxf202020422)21(2)21()21(22222424) 14()( ),(88)(ttetttfttftetf ,2sintanyxydydx .cos2cosycyx求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos

25、 例例7解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 解方程解方程2)(1yy 例例8 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 例例9 解方程解方程3)(yyy 积分得积分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1例例10 解方程解方程 2 yy解解 令令 p y 2dppdx24dpdx 214()px c 12cxy 2231)(3

26、4ccxy 32251)(158cxccxy 12px c 04. 3costan. 23. 122 dyxxydxxxyyxyyxxxeyyyyyxxyyx2cos52. 603. 52. 4 练习：练习： 001.102. 92. 811. 72 kxfkxfxdydxyxydxdyyxy11 . 求连续函数 xfy 使适合关系式12.求微分方程0 yy积分曲线与直线y=x相切于原点o(0,0)13.1 xeyy的特解形式 013 xdtttyxyx14 .（1997数学1）在某地人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总数为n，在t=0时刻已掌握新技术的人数为在任意时

27、刻t已掌握新技术的人数为x(t),其变化率与已知新技术人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数k0,求x(t)0 x. :1的的通通解解求求下下列列一一阶阶常常微微分分方方程程例例yedxdyx 21)1()1( .)2)(1( :,ln1ln2ln ,12 ,112 ,112 : :cexcxexdxedyexdxedyxdxedyyyyyyy即得通解即两边积分分离变量得解xyxedxdy2)2( .)412(ln ,)412(, , :2222cxeycxee dxxedyedxxedyexxyxyxy所以说求通解为即得通解方程化为分离变量解yyxyx 22 (3)(3). 0, 0(

28、 ,1 ,111 1,01,0 , , :222222222cxyxyxxcxuudxxduuuudxduxuxuudxduxuxdxduxudxdyxyuxyyxy 最最后后通通解解可可化化为为，取取负负）取取正正；得得积积分分化化简简即即时时当当时时当当于于是是则则令令原原方方程程可可写写为为解解0)sin( xdydxxxy (4)(4).cos(sin1sinsin1cxxxxycxdxeeyxyxdxdyxdxxdx , , 2 2, , , : :得得通通解解为为按按线线性性方方程程的的通通解解公公式式将将方方程程化化为为线线性性方方程程方方法法一一种种解解法法所所以以有有全全微微

29、分分方方程程也也是是方方程程可可化化为为线线性性方方程程解解.sincos ,)sin0( )sin(,.1 ,sin 00),()0,0(cxyxxxcxdydxxxcxdydxxxyxqypxqxxypxyyx 即即得得通通解解得得按按全全微微分分方方程程求求解解公公式式故故原原方方程程是是全全微微分分方方程程设设方方法法二二 ).1( , : )1( ycecdyyeecdyyeexyxdydxydyydydy所所以以原原方方程程可可写写为为解解0)( dxdyyx (5)(5)0)()1(32 dxxxydyx (6)(6)cyxxxdyxdxxxyxuxqypyx )1 ( )1 (

30、)(),( , 1 , 1 :4413310302由由通通解解公公式式所所以以因因为为方方法法一一解解.43 ,)( , 1)( ,1)( ,1 ),( ),(43 )()(),( , 43433232cyxxxyyyyxyxxyuyxyuyxxxyydxxxyyxuxxyxu 原原方方程程通通解解为为于于是是故故又又因因故故由由于于方方法法三三 ., 0)()()(, 0)(44133144133132cxxxyyxdxdxyddydxxdxxydxxdydy 从从而而原原方方程程的的通通解解为为即即原原方方程程可可写写为为方方法法二二.022222的的特特解解条条件件满满足足初初始始求求微

31、微分分方方程程例例 1 1) )( ( yxexyyyx ).12( , 1 ,)2().2( ,2 .2 , ,2 :222222221222222 xeyccxeycxecdxexeezxexzdxdzdxdyydxdzyzyxexyyxxxxdxxxdxxx所所以以所所求求特特解解解解得得代代入入初初始始条条件件因因此此所所以以从从而而则则令令原原方方程程可可写写为为解解)()()()(302xyxyxdtttyxyyx求求满足满足设设例例 , , ).1(2)( , 2 , 2)2( . 0)0(2)()( )( ),(2)( , 0)0( ,0 :22222222xxxxexycce

32、cdxexeyyxxxyxyxyyxyxxxyyx 所以所以又由初始条件得又由初始条件得按线性方程的通解公式按线性方程的通解公式的特解的特解满足满足是方程是方程因此因此对方程两边求导得对方程两边求导得有有时时当当解解 .,0)(tan)(2sin )(, 2)0(, )( 4解解并并求求此此全全微微分分方方程程的的通通分分方方程程是是全全微微使使试试确确定定且且具具有有连连续续的的导导数数设设例例 dyx ydxxxxxx,cos)cos2( 2sin)( ,2)0(,tan)(2sin)( )(,tan)(2sin)( : tantanxxccdxxeexxxxxxyxxxyxxxdxxdx

33、 由由线线性性方方程程通通解解公公式式有有满满足足即即充充要要条条件件使使方方程程为为全全微微分分方方程程的的解解 .2cos1 ,)cos2( ,cos20 0cos2)2sin(2, 0cos2)tancos22(sin , cos2)( 0,c 22 , 2(0) 200122222xcycyxcxdydxxdyydxxxdyydxxxxxxcxy 即即按全微分方程求解公式按全微分方程求解公式即：即：是全微分方程是全微分方程原方程原方程时时当当所以所以得得即即由于由于 . ., , p pq q q q, , , , 5 5求求此此曲曲线线方方程程轴轴平平分分恰恰被被且且线线段段轴轴的的

34、交交点点为为处处的的法法线线与与在在该该线线上上任任一一点点一一曲曲线线通通过过点点例例yxyxp),()3 , 2( .172 , 17, 3)2(,2 , 02 .)(01)0 ,( ,),(, )( :2222 xycycxyxyyxxyyxqyxpqpxyy故故所所求求曲曲线线方方程程为为解解得得代代入入分分离离变变量量积积分分得得即即，则则有有为为点点的的坐坐标标知知又又处处的的法法线线两两点点的的直直线线是是曲曲线线在在点点过过则则由由题题意意知知设设所所求求曲曲线线方方程程为为解解116 yxy ( (1 1) ): : 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解例例.2)( ,2

35、 , , , 111 ,1 , :22cxyxcxudxuduudxdudxdydxduyxu 故故得得积积分分得得即即于于是是则则令令解解2)( yexy (2)(2). ),1( , 12 , ,21,2 :2222xcxecxxcdxeeuuxdxdudyedueuexyexeyydxxdxxyyyyy 即即所所以以于于是是则则令令即即，原原方方程程可可化化为为解解).()()(1)(:, )()( )(, )( :72121为任意常数为任意常数方程的通解方程的通解必为该必为该证明证明相同的特解相同的特解的两个不的两个不是是设设例例cxycxcyyxqyxpyxyxy 的通解的通解必为方

36、程必为方程即即的通解的通解方程方程必为必为所以所以的一个特解的一个特解为非齐次方程本身为非齐次方程本身的非零解的非零解为方程对应齐次方程为方程对应齐次方程由条件知由条件知证明证明)()()()1()(,)()()()()(,)(, 0)()()( :21221221xqyxpyxycxcyyxqyxpyxyxyxycyxyyxpyxyxy ., 823221求求此此微微分分方方程程三三个个解解程程的的是是某某二二阶阶常常系系数数线线性性方方已已知知例例xxxxxxxeexeyexeyexey .22 .2 22 2)()()( , ).(2, , , :2xxxxxxxxxxxxxxxxxee

37、yyyxeexexeexeexexexexfxeyxfyyyxeee 因因此此所所求求微微分分方方程程是是得得代代入入上上式式将将故故此此方方程程是是解解是是非非齐齐次次方方程程的的一一个个特特且且线线性性无无关关的的解解是是相相应应齐齐次次方方程程的的两两个个与与由由题题设设知知解解3 (1) 9432xyyyx 求求解解下下列列高高阶阶微微分分方方程程例例 211431732313113133333432343733)( , ),( ,)(3)( ,3, , : ccxccxcdxcxxycxxdxdypcxxcdxexepxpxpdxdxpdxdpxpdxdpypydxdxxx 积积分分

38、后后得得既既有有方方程程故故即即则则原原方方程程化化为为令令解解yyyyy 22 (2)( ,ln ,)11( ,)( ),( , ,1, 0 , , :1121112111122cyececyxccyycdxcdycyydxcyydycyydxdypcyypydydpppypdydpypdydppyp , yxcxc 包包含含即即得得通通解解即即从从后后一一等等式式得得或或即即得得或或即即则则原原方方程程化化为为令令解解.21(2) , 0) 2( , 0 (3)2 yyyyxyx8ln)4ln(, 8ln , 0)2( ,)4ln( 42, 2, 21)2( ,22 ),2(1111)(,

39、 111, 1 , 0 , , : 2222212121111222 xycycxyxxdxdycyxcxdxdyxcxppxdxpdpxdxdppppxdxdppxpdxdpxdxdpypy所求特解为所求特解为得得代入代入所以所以，即即解得解得初始条件初始条件代入代入即即由求解公式得由求解公式得即，即，方程可化为方程可化为伯努利方程伯努利方程为为即即原方程化为原方程化为令令解解2)0(, 3)0(, 044 (1): 10 yyyyy方程方程解下列常系数线性齐次解下列常系数线性齐次例例.)83( ,8, 3, 2)0(, 3)0( ),22( ,)( , 2 , 044 :221212222

40、1212xxxexyccyyxccceyexccyrrrr 所求特解为所求特解为所以所以得得按初始条件按初始条件且且故通解是故通解是两个特征根是两个特征根是特征方程是特征方程是解解0256 (2) yyy).4sin4cos( ,43 , 0256 :2132, 12xcxceyirrrx 故特解是故特解是特征根是特征根是特征方程为特征方程为解解022 (3) yyyyxcxcecyirirrrrrrrxsincos , , 2 0) 1)(2(22 :3221321223 故故通通解解是是特特征征根根是是特特征征方方程程是是解解.sin)( )2( );21()( )1(:)(23 :112xxfxexfxfyyyx 的通解的通解求求例例).1( , 1 ,2122 21)()2()(,2)(,2)( )()(),( )21()( )1(. 023 :221*221 xxeececyyybaxbaxaxxqpxqaxqbaxxqbaxxxqbaxxeyxexfececyyyyxxxxxxx所所求求通通解解是是即即求求得得待待定定系系数数得得恒恒等等式式代代入入方方程程设设的的通通解解先先求求出出解解 ).2sin32(cos40141 .403,401,41 , 026,2162,212 ,2cos212122sin)26(2cos)62