微积分学基本定理ppt课件

1、9.5 9.5 微积分学根本定理微积分学根本定理一一个个实实例例一一、变上限的定积分变上限的定积分二二、基本定理基本定理三三、定定积积分分的的基基本本公公式式四四、一一个个实实例例一一、间间的的关关系系与与速速度度函函数数位位移移函函数数)()(tVtS物体所经过的路程显然有两种表达方式物体所经过的路程显然有两种表达方式:);()()(aSbStS将将其其表表示示为为应应用用路路程程函函数数第一种第一种:第二种第二种:badttV)(将将其其表表示示为为应应用用定定积积分分的的物物理理意意义义).()(),()()(tStVaSbSdttVba其其中中时时刻刻物物体体所所对对应应直直线线运运动

2、动一一物物体体在在直直线线上上作作变变速速t ,物物体体所所经经过过时时变变到到由由当当速速度度为为的的路路程程为为,),(),(battVtS?的的路路程程是是多多少少变上限的定积分变上限的定积分二二、.)()(babadttfdxxf且且存存在在则则有有定定积积分分上上可可积积在在若若badxxfbaf)(,因因而而有有上上可可积积在在,xaf存存在在,bax xadttf)( 定义定义 ,)()(,)(baxdttfx，baxfxa则则上上可可积积在在设设称称为为变变上上为为自自变变量量的的函函数数定定义义了了一一个个以以积积分分上上限限，x.或或积积分分上上限限函函数数限限的的定定积积

3、分分，.,)()(称称为为变变下下限限的的定定积积分分类类似似地地baxdttfx，bx .与统称为变限积分 定理定理9.9 上上的的连连续续函函数数是是与与则则上上可可积积在在若若,ba，baf 证明证明: , , , ,a bxxxa b 对上任一确定的点只要按变上限积分的定义有.)()()( xaxxxxxadttfdttfdttf .,)(,batMtfbaf 可可设设上上有有界界在在因因时时有有当当于于是是0, x;)()(xMdttfdttfxxxxxx , 0lim.00 xxMx由由此此得得到到时时则则有有当当.,.上上处处处处连连续续在在的的任任意意性性由由连连续续在在点点即

4、即证证得得bafxx 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF基本定理基本定理三三、微微积积分分学学基基本本定定理理 定理定理9.10 上上在在则则可可变变上上限限积积分分上上连连续续在在若若,ba，baf且且处处处处可可导导，.,),()()(baxxfdttfdxdxxa 分析分

5、析: 前提前提)()(,)(,xfxbaxbaf 可可导导且且在在连连续续在在只须只须).(lim,0 xfxbafx 连连续续在在 证明证明: , ,0 , a bxxxxa b 对上任一确定的当且时 , , , .xa bfa b由 在上的任意性 故 是 在上的一个原函数()( )( )( )xxxaaxxxf t dtf t dt ( ).xxxf t dt由变上限积分的定义1( )(), 01.xxxf t dtf xxxx 由积分第一中值定理00limlim()( ).xxf xxf xx ,fx由于 在点 连续 故有( )( )( ).xxxf x所以在 可导且要要性性微微积积分分

6、学学基基本本定定理理的的重重(i) 处理了原函数的存在性问题处理了原函数的存在性问题(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联络沟通了导数与定积分之间的内在联络(iii) 为寻觅定积分的计算方法提供了实际根据为寻觅定积分的计算方法提供了实际根据精僻地得出精僻地得出: 上的延续函数一定存在原函数上的延续函数一定存在原函数,且且, ba 是是 的一个原函数这一根本结论的一个原函数这一根本结论.)(x )(xf为微分学和积分学架起了桥梁为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学因此被称为微积分学根本定理根本定理.)(x 定理指出定理指出 是是 的一个原函数的一个原函数,而而 又是变上限又是变上限)

7、(xf)(x 积分积分,故故( )( ),( )( )baaabf x dxaf x dx( )( )( ).baf x dxba比较变速直线运动中比较变速直线运动中).()()(aSbSdttVba ).()()(abdxxfba 共同点共同点: 等式左端同是等式左端同是 a , b 上的定积分上的定积分,等式右端又等式右端又都是原函数在都是原函数在a , b 上的增量上的增量.定定积积分分的的基基本本公公式式四四、莱莱布布尼尼兹兹公公式式牛牛顿顿 定理定理9.11 上上的的在在是是且且上上连连续续在在若若函函数数,)()(,baxfxFbaf则则一一个个原原函函数数， baaFbFdxxf

8、).()()(分析分析: 前提条件前提条件.)()2(,)()1(,存存在在原原函函数数存存在在连连续续在在xfdxxfbafba .)(就就是是它它的的一一个个原原函函数数 xadttf 证明证明: 连连续续在在因因为为,)(baxf的的一一个个原原函函数数是是故故)()(xfdttfxa ，xfxF的的原原函函数数是是又又)()().(0)(aFCdttfa，xaa 得得到到则则由由在在上上式式中中令令移移项项得得).()()(aFxFdttfxa 即即得得令令b，x ).()()(aFbFdxxfba 此式称为定积分的根本公式此式称为定积分的根本公式.又称牛顿又称牛顿-莱布尼兹公式莱布尼

9、兹公式常表示为常表示为( )( )bbaaf x dxF x.)()(CdttfxFxa 所所以以例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：这是分析：这是 型不定式，运用洛必达法那么型不定式，运用洛必达法那么.例例题题五五、例例 2 2 设设)(xf在在),( 内内连连续续，且且0)( xf.证证明明函函数数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内内为为单单

10、调调增增加加函函数数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 0020( )( )( )( )( )( )xxxxfxf t dtfxtf t dtFxf t dt020()()( )(),( )xxfxxtft d tFxft d t)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上连续，且上连续，且1)( xf.证明证明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一个解上只

11、有一个解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.令令例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 3.微积分根本公式微积分根本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 六、小结六、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之