第二章地图的数学基础

1、第一节 地球体第二节 我国大地坐标系统第三节 地图投影第四节 地图比例尺l地图投影地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的重要的数学基础，地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法。l一、 地图投影的基本概念l二、 地图投影变形l三、 地图投影分类l四、 地图投影的应用地球表面展开成平面地球表面展开成平面l一、一、 地图投影的基本概念地图投影的基本概念l地图投影地图投影：就是按照一定的数学法则,将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面点的地理坐标（，）与地图上相对应的点的平面直角坐标（x，y）或平面极坐标（ ，）间，建立起一一对应函数关系。

2、投影通式：),(fy),(fx21从球面投影到平面地图投影地图投影l（一）变形的性质l（二）投影变形的相关概念（一）投影变形的性质由地球球面投影到平面上，无论采用什么投影方法，必然产生变形。 变形性质：长度变形、角度变形、面积变形变形性质：长度变形、角度变形、面积变形变形示意图（二）投影变形的相关概念（二）投影变形的相关概念地球仪上经纬线的特点: 1.所有经线圈是大圆且长度相等；所有 纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小。 2.经线和纬线是相互垂直的。 3.纬差相等经线弧长相等；同一条纬线 上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐

3、渐缩小。 4.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。XmX为经线长度比；为纬线长度比YnY 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆nYY 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆。代入： X2 + Y2 = 1，得，得22221XYmnmXX特别方向：特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向和经向、纬向 长轴方向（极大长度比）a短轴方向（极小长度比）b经线方向 m

4、 ；纬线方向 n据，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = abl在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和大小。l （1）椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b；l （2）椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变形；l （3）椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两方向线夹角之差为角度变形。 地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds,如图所示。 平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：=ds/ds 长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向

5、的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。ds ds2.长度比最大长度比（最大长度比（a a）、最小长度比（）、最小长度比（b b）经线长度比（经线长度比（mm）、纬线长度比（）、纬线长度比（n n）投影后经纬线成正交者，经纬线长度比就是最投影后经纬线成正交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为投影后经纬线不直交，其夹角为,则经纬线长则经纬线长度比度比 mm、n n和最大、最小长度比和最大、最小长度比a a、b b之间具有如下关之间具有如下关系：系： mm2 2+n+n2 2=a=a2 2+b+b2 2 m mn nsin=asin=ab b

6、 面积比： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比，用P 表示面积比：面积比：P = ab = m n ( = 90) P = m n sin ( 90)面积比和面积比和1的差值，用的差值，用Vp 表示。 面积比是变量，随位置的不同而变化。= 0 不变 0 变大 0 变小1-PVP3. 面积比tanyxtanyxxaxyby 投影面上任意两方向线夹角与球面上相应的两方向线夹角投影面上任意两方向线夹角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。表示角度最大变形。 设设A点的坐标为（点的坐标为（x、y）A点的坐

7、标为点的坐标为(x 、y )，则：，则：tantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab将上式两边各减和加 tan 即：将两式相除，得：sin()sin()ababsin()abab(1802 )(1802 )2()sin2ababtan(45)2ba22222sinsin22sinmnmnmnmnqq以表示角度最大变形：若已知 m, n, q ，则： 球面上两条相互垂直的微小线段投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。 aobcd5.主方向在主方向上，具有极

8、大和极小长度比。在主方向上，具有极大和极小长度比。abcdo 设想ac、bd二垂线相对位置保持不便，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原来的钝角变为锐角。一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。abcdoaobcd变形值相等的各点的连线。变形值相等的各点的连线。 常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。三、 地图

9、投影分类按构成方法分类按变形性质分类1、按地图投影构成方法分类地图投影按其经纬网构成分类几何投影几何投影非几何投影非几何投影利用光源把地球椭圆面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。这是最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。 方法：假设将地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在球心、球面、或球外安置一个光源，将地球仪上的经纬线、控制点、地物及地貌图形投影到球外的一个平面或可展曲面上，即成为地图。根据几何投影面形状，分为：（1）方位投影 （2）圆柱投影（3）圆锥投影根据投影面和球面的相对位置关系：（1）方位投影可分为三类： 正轴方位投影：投影面与地轴垂直。 横

10、轴方位投影：投影面与地轴平行。 斜轴方位投影：投影面与地轴斜交。（2）圆柱（锥）投影可分为三类： 正轴圆柱（锥）投影轴和地轴一致 横轴圆柱（锥）投影轴和地轴垂直并通过地心； 斜轴圆柱（锥）投影轴通过地心，和地轴斜交。正轴横轴斜轴正轴 横轴 斜轴 正轴 斜轴 横轴 不借助于任何几何投影面，而是根据一定的投影条件，采用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。伪方位投影经纬线图x=cos y=sin纬线仍为同心圆伪圆柱投影伪圆柱投影纬线为平行直线，中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。伪圆锥投

11、影1.纬线为同心圆弧；2.中央经线为直线；3.其余经线为对称于中央经线的曲线。多圆锥投影示意图多圆锥投影形状(角度）不变面积不变特定方向距离不变()等角投影（正形投影）角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件为： w=0 sin(w/2)=(ab)/（a+b)=0 a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、风向图等地图。面积变形较大投影前后图形面积大小相等，没有面积误差。 等积投影的条件是： Vp=p - p=1因为： p=ab， 所以： a=1/b或或b=

12、1/a 由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。长度、面积和角度都有变形，但又都不大。任意投影中，有一种等距投影等距投影即在特定方向上没有长度变形。等距投影的面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。多用于一般参考用图和教学地图。（1）在等积投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等积特性。（2）等积投影的形状变形比较大，等角投影的面积变形比较大。（3）在任意投影上不能保持等角和等积的特性 等角投影 等积投影 等距投影 任意投影由变形椭圆看投影变形四、地图投影的选择与应用在地图制作过程中，选择地图投影时要考虑哪些因

13、素？1、地图投影选择的依据（1）制图区域的地理位置、形状和范围（2）制图比例尺（3）地图的主题与内容（4）地图的出版方式制图区域的地理位置的影响 决定投影的种类，例如：l在极地，应选正轴方位；l在赤道，应选横轴方位、正轴圆柱；l在中纬，应选正轴圆锥或斜轴方位。形状的影响l中纬地区l如沿纬线延伸，应选正轴圆锥；l如沿经线延伸，应选多圆锥投影；l如呈圆形，则应选斜轴方位。l低纬地区，l如沿赤道延伸，应选正轴圆柱；l如呈圆形，选横轴方位为宜范围对投影选择的影响l范围不大，无论什么投影，各处变形差异都不太大。l范围大，需慎重选择。比例尺对投影选择的影响l大、中比例尺地形图，应选变形很小的投影。l小比例

14、尺图，由于概括程度高，定位精度相对低，如选正轴圆锥投影。地图内容（用途）对投影选择的影响主题和内容影响投影选择：如交通图、航海图、航空图、军用地形图等多采用等角投影；自然和社会经济地图的分布图、类型图、区划图等一般采用等积投影。世界时区图，为使时区的表现得清楚，选择正轴圆柱投影。中国政区图，为能完整连续地表示，应选用斜轴方位。教学用图，选择变形不大的任意投影，如等距投影。出版方式影响单幅图的投影选择比较简单；系列图或图集中的一个图组，应选择同一变形性质的投影，便于比较；整个地图集，是由不同主题的图组所构成，在投影选择上要有变化，应采用同一系统的投影，根据情况，在变形性质上变化。等角正轴切方位投

15、影（又称球面极地投影）特点：极点为中心，纬线为同心圆，经线为辐射的直线; 中心部分变形较小，向外变形逐渐增大。用于编绘两极地区国际：万地形图。2、常用地图投影 等积斜切方位投影 特点： 投影中心随需要而定。 中央经线为直线，在中央经线上自投影中心向上、向下的纬线间隔逐渐减小。主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大区域图。陆半球图 水半球图等积斜切方位投影的应用等积斜切方位投影的应用投影中心：东105，北30；：, V 中国全图 等角正轴切圆柱投影（墨卡托投影）等角正轴切圆柱投影（墨卡托投影）荷兰地图学家墨卡托于荷兰地图学家墨卡托于15691569年所创一种地图投影。年所创一种地图投影。 墨卡托投影特

16、点：墨卡托投影特点： （1 1）赤道投影为正长；）赤道投影为正长； （2 2）纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投）纬线投影成和赤道等长的平行线段，即离赤道越远，纬线投影的长度比也越大；影的长度比也越大； （3 3）从赤道向两极，纬线间隔越来越大。）从赤道向两极，纬线间隔越来越大。 在墨卡托投影中，面在墨卡托投影中，面积变形最大，如在纬度积变形最大，如在纬度6060度地区，经线和纬线长度度地区，经线和纬线长度比都扩大了比都扩大了2 2倍，面积比倍，面积比P=mP=m* *n=2n=2* *2=42=4，扩大了，扩大了4 4倍，倍，愈接近两极，经纬线扩大愈接近两极，经纬线扩大的越

17、多，在的越多，在=80=80度时，经度时，经纬线都扩大了近纬线都扩大了近6 6倍，面积倍，面积比扩大了比扩大了3333倍，所以墨卡倍，所以墨卡托投影在托投影在8080度以上高纬地度以上高纬地区通常就不绘出来了。区通常就不绘出来了。 格陵兰岛南美洲墨卡托投影应用：1. 广泛应用于航海和航空方面。2. 还用于编制赤道附近等国家和地区的地图。3. 作世界时区图和卫星轨迹图。 墨卡托投影被广泛应用于航海和航空方面，这是因为在墨卡托投影中等角航线表现为直线。 等角航线，就是地球表面上与经线交角都相同的曲线。 等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，因为有这个特征，航行时，

18、在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。 等角航线不是地球上两点间的最短距离，等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。 高斯克吕格投影高斯克吕格投影假设一个椭圆柱横套在地球椭球面上，使其与某一条经线相切，将椭球面上的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱展成平面；（1）中央经线和赤道被投影为互相垂直的直线，而且是投

19、影的对称轴；（2）投影后没有角度变形；（3）中央经线上没有长度变形，离开中经越远变形越大，最大变形在赤道上。投影特点：投影特点 伪圆柱投影桑逊投影 等角割圆锥投影等角割圆锥投影 1）相割的两条纬线为标准纬线，长度比为1，没有变形。 2）两条标准纬线之间纬线长度比小于1，两条标准纬线之外，纬线长度比大于1，离开标准纬线长度变形逐渐增大。经线的变形长度也是如此。 3）从两条标准纬线向外，纬线间距是逐渐增大的。从两条标准纬线逐渐向里，纬线距离是缩小的。 双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地双标准纬线等角圆锥投影，广泛应用于中纬度地区的分国地图和地区图。图和地区图。伪圆锥投影 （等积）彭纳投影亚洲部分用于编制中、小比例尺较大地区的地图（如亚洲与欧洲地图）。多圆锥投影五、地图投影变换方法传统地图投影变换公式法过程图数字地图投影变换一、地图比例尺的概念地图上一直线段与地面上相应直线段水平投影长度之比 。M1Dd二、地图比例尺分类 （1）按地图投影变形分类l主比例尺投影面上没有变形的点或线上的比例尺。l局部比例尺投影面