概率论与数理统计之随机事件的概率

1、本资料来源第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件的概念随机事件的概念事件的关系和运算事件的关系和运算 随机事件的概率随机事件的概率条件概率条件概率事件的独立性事件的独立性1.3 随机事件的概率随机事件的概率1.3.1 概率的统计定义1.3.2 概率的古典概型定义1.3.3 概率的几何概型定义1.3.4 概率的公理化定义).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下1. 定义定义 频率的定

2、义与性质频率的定义与性质 1.3.1 、概率的统计定义概率的统计定义在随机试验中在随机试验中, ,若事件若事件A出现的频率出现的频率1.定义定义1.2 则定义事件则定义事件A的概率为的概率为p, ,记作记作P( (A)=)=p .01p着试验次数着试验次数n的增加的增加, ,趋于某一常数趋于某一常数p,nm随随实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊nHnf204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21210PP( )(),();0()1;p A(1) 对任一事件对任一

3、事件A ,有有性质性质1.1 (概率统计定义的性质概率统计定义的性质)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 个事件个事件对于两两互斥的有限多对于两两互斥的有限多说明说明 概率的统计定义直观地描述了事件发生的概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.1.3.2 、古典概型、古典概型1.古典概型定义若随机试验若随机试验 E 具有下列具有下列两个两个特征：特征：1) 有限性有限性 样本空间样本空间 中，只有有限个样本点：

4、中，只有有限个样本点：n ,21,21n 即即2) 等可能性等可能性 ,21发发生生的的可可能能性性相相等等n 则称则称E所描述的概率模型为所描述的概率模型为古典概型古典概型. (定义定义1.3)设试验设试验 E 的样本空间的样本空间 由由n 个样本点个样本点构成构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本个样本点点, 则事件则事件 A 出现的概率记为出现的概率记为: .)(所所含含样样本本点点的的总总数数样样本本空空间间所所包包含含样样本本点点的的个个数数 AnmAP称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 2. 古典概型中事件概率的计算公式例1滨江宾馆共有

5、职工滨江宾馆共有职工200人，其中女性有人，其中女性有160人人. 现从所有职工任选一人，选得现从所有职工任选一人，选得男性的概率是多少？男性的概率是多少？解解样本点总数：样本点总数：n = 200(人人)事件事件A =“选得男性选得男性”A所包含的样本点数所包含的样本点数(即男性职工数即男性职工数)为：为：m = 200-160=40(人人)nmAP )(2 . 05120040 2 古典概率的计算公式：古典概率的计算公式：nmAP )(1 判断判断古典概型的两个依据：古典概型的两个依据： 的的有限性；有限性； 样本点样本点 的的等可能性等可能性.3 乘法原理、排列与组合复习乘法原理、排列与

6、组合复习(1) 乘法原理乘法原理设完成一件事须有设完成一件事须有n个步骤，若第一步有个步骤，若第一步有步步有有种种方方法法，第第种种方方法法，第第二二步步有有nmm21共共有有种种方方法法，则则完完成成这这件件事事nmnmmmN 21.种种方方法法注注(2) 排列排列1) 无重复排列无重复排列. 从从 n 个不同的元素个不同的元素中，中，naaa,21无放回地任取无放回地任取m个，有个，有顺序地排成一列的排列方法种数：顺序地排成一列的排列方法种数：)1()1( mnnnPmn!nPnn 全全排排列列：4问：由问：由1，2，3，4四个数字能组成多少四个数字能组成多少无重复数字出现的两位数？无重复

7、数字出现的两位数？解解十位十位132423143124123个位个位123424 P共有：共有：个无重复数字的两位数个无重复数字的两位数.例例2进一步问：从这四位数字中，取到的无重复进一步问：从这四位数字中，取到的无重复的两位数字的个位数字是的两位数字的个位数字是2的概率为多少？的概率为多少？A解解 样本点总数：样本点总数：n =A所包含的样本点数：所包含的样本点数：m =313 PnmAP )(25. 041123 123424 P2) 重复排列重复排列. 从从n个不同的元素个不同的元素中，中，naaa,21有放回地任取有放回地任取m个，个，每次取一个，有顺序地每次取一个，有顺序地排成一列的

8、排列方法种数：排成一列的排列方法种数：mnnnn 有有3个球，分别染着红、黄、蓝个球，分别染着红、黄、蓝3种颜色种颜色. 从这从这3个不同颜色的球中有放回地任取个不同颜色的球中有放回地任取两次两次，每次取一个球每次取一个球,记下球的颜色和它出现的次序记下球的颜色和它出现的次序.问：最多能出现多少种花样？问：最多能出现多少种花样？m个个解解)(933种种 例3(3) 组合组合从从n个各不相同的东西中，任取出个各不相同的东西中，任取出m个个(不不计顺序计顺序),问：共有多少种取法？问：共有多少种取法？每一种取法称为一个每一种取法称为一个组合组合.组合组合(总总)数数：!mPCmnmn )!( !m

9、nmn mn或记为或记为mnnmnCC 111 mnmnmnCCC1,11 nnnnCnPC排列与组合的区别是：前者与次序有关，排列与组合的区别是：前者与次序有关，后者与次序无关后者与次序无关.组合的性质：将将4本不同的书分给甲，乙两人本不同的书分给甲，乙两人.若甲得一本，乙得若甲得一本，乙得3本，问：共有多本，问：共有多少种分法？少种分法？解解).(4143314种种共有分法数：共有分法数： CC从从4本书中任取本书中任取1本给甲的方法数本给甲的方法数例4多重组合数：多重组合数：将将n个不同的东西个不同的东西(如：书如：书)中的中的n1个分给个分给A1，n2个分给个分给 A2，nk个分给个分

10、给Ak( n1+n2+ +nk=n), 共有分法：共有分法：kknnnnnnnnnnCCCN121211 !21knnnn 3. 常见的三种常见的三种古典概型基本模型古典概型基本模型(1) 摸球模型；摸球模型；(2) 分房问题；分房问题；(3) 随机取数问题随机取数问题.问题问题1 设袋中有设袋中有M只白球和只白球和 N只黑球只黑球, 现从袋中现从袋中无放回无放回地依次摸出地依次摸出m+n只球只球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个个白球白球, ,n个黑球的概率个黑球的概率?(1) 无放回地摸球无放回地摸球基本事件总数为基本事件总数为: :A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为解解设设

11、 A = 所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球 摸球模型nmNMC nNmMCC .)(nmNMnNmMCCCAP 故故同类型的问题还有：同类型的问题还有：4) 产品检验问题产品检验问题；6) 扑克牌花色问题；扑克牌花色问题；5) 鞋子配对问题；鞋子配对问题；7) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题英文单词、书、报及电话号码等排列问题.1) 中彩问题；中彩问题；2) 抽签问题；抽签问题；3) 分组问题；分组问题；(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中现从袋中有放有放回回地摸球地摸球3次次,求前求前2 次摸到

12、次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解,2第第三三次次摸摸到到红红球球次次摸摸到到黑黑球球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为310101010 基本事件总数为基本事件总数为,101010103 A 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 同类型的问题还有：同类型的问题还有：2) 骰子问题骰子问题.1) 电话号码问题；电话号码问

13、题；3) 英文单词、书、报等排列问题英文单词、书、报等排列问题.1 先求样本空间先求样本空间 所含的样本点总数所含的样本点总数.有有n个人，每个人都以同样的概率个人，每个人都以同样的概率 1/N被分配在被分配在N(nN)间房中的每一间中，试求间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：下列各事件的概率：(1) 某指定某指定n间房中各有一人；间房中各有一人；(2) 恰有恰有n间房，其中各有一人；间房，其中各有一人；(3) 某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人.解解 分房模型分房模型把把n个人随机地分到个人随机地分到N个房间中去，每一个房间中去，每一种分法就对应着一个样本点种分法就对应着一个样

14、本点(基本事件基本事件)，由于每个人都可以住进由于每个人都可以住进N间房中的任一间房中的任一分析分析间，所以每一个人有间，所以每一个人有N种分法，种分法，n个人共个人共有有 NN N=Nn 种分法，即种分法，即样本点总数：样本点总数：nN2 (1) 设设 A=“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”则则 A所含样本点数：所含样本点数：!nPnn nNnAP!)( (2) 设设 B=“恰有恰有n间房，其中各有一人间房，其中各有一人”分析分析对于事件对于事件B，由于未指定哪，由于未指定哪n个房个房间，所以这间，所以这n间房可以从间房可以从N个房间个房间中任意选取，共有中任意选取，共有 nNC

15、种分法种分法.而而对于每一选定的对于每一选定的n间房，其中各间房，其中各有一人的分法有有一人的分法有 n!种，所以事件种，所以事件B所含的所含的样本点数样本点数：!nCnN nnNNnCBP!)( (3) 设设 C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”.分析分析“某指定房中恰有某指定房中恰有m(m n)人人”,这这m个人可以从个人可以从n个人中任意选出个人中任意选出，共共有有mnC种选法，而其他的种选法，而其他的n-m个人可以任意地被分到余下的个人可以任意地被分到余下的N-1间房中去，共有间房中去，共有mnN )1(种分法，种分法，所以事件所以事件C所含的样本点数所含的样本点数

16、：mnmnNC )1(nmnmnNNCCP )1()(同类型的问题还有：同类型的问题还有：1) 球在杯中的分配问题；球在杯中的分配问题；2) 生日问题；生日问题；3) 旅客下站问题；旅客下站问题；5) 性别问题性别问题4) 印刷错误问题；印刷错误问题；(球球人，杯人，杯房房)(日日 房，房，N=365天天)( 或或 月月 房，房，N=12月月)等等等等.随机取数模型随机取数模型 从从0, 1, 2,9共共10个数字中任取个数字中任取 一个，一个，假定每个数字都以假定每个数字都以1/10的概率被取中，取的概率被取中，取后还原，先后取出后还原，先后取出7个数字，试求下列各个数字，试求下列各事件的概

17、率：事件的概率：(1) 7个数字全不同；个数字全不同；(2) 不含不含4和和7；(3) 9恰好出现恰好出现2次；次；(4) 至少出现至少出现2次次9.解解样本空间所包含的样本点总数：样本空间所包含的样本点总数：107(1) A=“7个数字全不同个数字全不同”A所包含的样本点数：所包含的样本点数：710P45678910 ! 310!1010)(77710 PAP(2) B=“ 不含不含4和和7” )(BP2097. 010877 (3) C=“9恰好出现恰好出现2次次” )(CP7527109 C(4) D=“至少出现至少出现2次次9”.732DDDD 7727109)(kkCDP )7(9

18、kkDk次次”恰恰好好出出现现“(方法方法1)()()()(732DPDPDPDP (方法方法2)10DDD )(1)(DPDP )()(110DPDP 72777109)(kkkCDP7617771091091 C1497. 0 1.3.3 、几何概型、几何概型1. 几何概型定义几何概型定义若试验若试验E E具有下列特征：具有下列特征：1)1)无限性：无限性： E的样本空间的样本空间 是某是某几何空间几何空间中中的一个区域，其的一个区域，其包含无穷多个包含无穷多个样本点，每个样本点样本点，每个样本点由区域由区域 内内的点的随机位置所确定；的点的随机位置所确定；2)2)等可能性：等可能性： 每

19、个样本点的出现是等可能的，每个样本点的出现是等可能的，即样本点落在即样本点落在 内内几何度量几何度量相同相同的子区域是等可能的，的子区域是等可能的，则称则称E所描述的概率模型为所描述的概率模型为几何概型几何概型，并称并称E为几何概型随机试验.注注. .几何空间几何空间一维一维二维二维三维三维几何度量几何度量长度长度面积面积体积体积2. 几何概率几何概率定义定义. . 对于随机试验对于随机试验E，以，以m(A)表示的几何表示的几何度量，度量， 为样本空间为样本空间. 若若 0 m( )0)的一些平行线，的一些平行线，向平面任意投一长为向平面任意投一长为l(la)的针，试求针的针，试求针与平行线相

20、交的概率与平行线相交的概率.alMx sin2l解解设设M表示针落下后，针表示针落下后，针的中心，的中心，x 表示表示M与最与最近一平行线的距离，近一平行线的距离， 表示针与这平行线的夹表示针与这平行线的夹角，则角，则样本空间样本空间 ：l/2 0,20ax针与一平行线相交针与一平行线相交 sin20lx 设设 A=“针与一平行线相交针与一平行线相交”，则，则 sin20:lxA 0 x a/2A sin2lx )()()( SASAPaladl 22sin20 1.3.4、概率的公理化定义、概率的公理化定义1.定义定义. 设设E是随机试验，是随机试验， 是它的样本空间，是它的样本空间，对于对

21、于E的每一事件的每一事件A赋予一个实数，记赋予一个实数，记作作P(A)，若，若P(A)满足下列三条公理：满足下列三条公理：(1) 非负性非负性：对于每一事件对于每一事件A，有，有 0 P(A) 1;(2) 规范性规范性：P( )=1;(3) 可列可加性可列可加性：,21，对对于于两两两两互互斥斥的的事事件件AA jiAAji时时，即即), 2, 1,( ji,则有则有 )()()()(2121mmAPAPAPAAAP则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率.2. 概率的性质概率的性质(1) P()=0证证P( )=P( )+P()+P()+ = + + + P( )=1 P()=0(2) 有

22、限可加性有限可加性:，则则为为有有限限个个两两两两互互斥斥事事件件，设设mAAA,21 miimiiAPAP11)()( mmAAAAAA2121证证+ mmAAAPAAAP2121()(+ + ) )()()(21mAPAPAPP()+ P()+ )()()(21mAPAPAP (3) 逆事件的概率逆事件的概率: 对于任意事件对于任意事件A，有，有)(1)(APAP 证证 AAAA,1)()()( PAPAP)(1)(APAP 即即(4)()()(BPAPBAPAB ，则则若若证证AB )(BABBAA BBABAB)(又又)()()(BAPBPAP )()()(BPAPBAP 即即推论推论

23、1(单调性单调性)()(APBPAB ，则则若若证证由性质由性质4，及，及 P(A B)0, 知命题成立知命题成立.(5) 概率的加法公式概率的加法公式:对于任意两个事件对于任意两个事件A, B，有，有)()()()(ABPBPAPBAP 证证)(ABABA )(BABABBABB ABBBABABAB AABABBA)(又又)(ABBABA )()()(ABBPAPBAP BAB )()()(ABPBPABBP )()()()(ABPBPAPBAP 从从而而B AAB推论推论2.)()()(BPAPBAP 一般地，一般地， niiniiAPAP11)()(推论推论3.有有，个个事事件件对对于

24、于任任意意,21nAAAn njijiniiniiAAPAPAP111)()()( nkjikjiAAAP1)(例例10已知已知分分别别在在下下列列三三种种,21)(,31)( BPAP.)(的的值值情情形形下下，求求ABP互互斥斥；与与BA)1(；BA )2(.81)()3( ABP解解 AB)1(AB ,BAB 21)()( BPABP故故ABA；BA )2()()(ABPABP )()(APBP 3121.61BAB )()()()(ABPBPABBPABP .838121 .81)()3( ABP例例11, 0)(,41)()()( ABPCPBPAP已知已知全全，求事件求事件CBAB

25、CPACP,161)()( .不不发发生生的的概概率率解解)()(CBAPCBAP )(1CBAP )()()()()()()(1ABCPACPBCPABPCPBPAP ABABC 0)()(0 ABPABCP)()(CBAPCBAP 从而从而0)()(0)()()(1 ACPBCPCPBPAP.83)16243(1 0)( ABCP例例12发发生生，同同时时发发生生则则与与已已知知AAA21)1(1)()()(21 APAPAP证明：证明：，则，则若若AAAA 321)2(2)()()()(321 APAPAPAP证证，则则由由已已知知条条件件知知AAA 21)1()()()()()(212

26、121AAPAPAPAAPAP 1)()(21 APAP)1)(0(21 AAP，则，则AAAA 321)2(1)()()()(213321 AAPAPAAAPAP1 1)()()(213 APAPAP2)()()(321 APAPAP备用题备用题例例5-1(中彩问题中彩问题) 从从1,2,33共共33个数字中任取个数字中任取一个，假定每个数字都以一个，假定每个数字都以1/33的概率被的概率被取中，取后不放回，先后取出取中，取后不放回，先后取出7个数字，个数字，求取中一组特定号码求取中一组特定号码A的概率的概率.（考虑顺序）（考虑顺序）例例5-2 把把10本书任意地放在书架上，求其中本书任意地

27、放在书架上，求其中指定的指定的3本书放在一起的概率本书放在一起的概率.解解设设 A=“指定的指定的3本书放在一起本书放在一起”所所含含的的样样本本点点数数：A3388PPm !10! 8! 3)(AP067. 0151 例例5-3 (抽签问题) 在编号为在编号为1, 2, 3, , n 的的n张赠券中，采用张赠券中，采用无放回式抽签，试求在第无放回式抽签，试求在第 k次次(1kn)抽到抽到1号号赠券的概率赠券的概率.解解设设 A=“第第k次抽到次抽到1号赠券号赠券”则样本空间样本点总数：则样本空间样本点总数：knPn 所所含含的的样样本本点点数数：A1111PPmkn knknPPPAP111

28、1)( )1()1(1)1()1()2)(1( knnnknnn.1n 注注此题不能直接用组合方法此题不能直接用组合方法. 原因：题目强原因：题目强调了次序：调了次序：“第第k次抽到次抽到1号赠券号赠券”例例5-4 (分组问题) 将将20个球队分成个球队分成两组两组(每组每组10队队)进行比赛，进行比赛，求最强的两队分在不同组的概率求最强的两队分在不同组的概率.分析：分析：.1910102012918 CCCP在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种knDNkDCC 于是所求的概率为于是所求的概率为.nNknDNkDCCCp 解解在在

29、N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种种nNC?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 例例5-5 (产品检验问题) 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的纪念章号的纪念章,任选任选3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率;(2)求最大号码为求最大号码为5的概的概率率.解解(1)总的选法种数为总的选法种数为,310Cn 最小号码为最小号码为5的选法种数为的选法种数为,25Cm

30、例例5-623456789101(2)最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为,24C故最大号码为故最大号码为5的概率为的概率为故小号码为故小号码为5的概率为的概率为31025CCP .121 .201 2345678910131024CCP (1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 例6-1 球放入杯子问题个个2种种 24个个2种种 22因此第因此