桁架结构优化设计

1、桁架结构优化设计般所谓的优化，是指从完成某一任务所有可能方案中按某种标准寻找最佳方案。结构优化设计的基本思想是，使所设计的结构或构 件不仅满足强度、刚度与稳定性等方面的要求，同时又在追求某种或 某些目标方面（质量最轻，承载最高，价格最低，体积最小）达到最 佳程度。对于图1-1的结构，已知L=2m，Xb=1m,载荷P=100kN,桁架 材料的密度 r=7.7x10-5N/mm3, S t=150Mpa, S=100Mpa , y 的范围：0.5m yb 三 1.5m。设计变量与目标函数（质量最小）预定参数（设计中已确定，设计者不能任意修改的量）：L, Xb,P, r, S t , S c设计变量

2、（可由设计者调整的量）yb, Ai, A2约束条件（对设计变量的约束条件）（1）强度条件约束（截面、杆件的强度）（2）几何条件约束（B点的高度范围）目标函数：桁架的质量W （最小）NiBlN2解：1.应力分析' F x = 0 - N 2sin v 1 - N isin v 2 = 0' F y = 0 - N 2 cos " - N 1 cos J2 - P = 0由此得:p sin 3|1sin( F V2)由正弦定理得:2 2N24B yBI由此得杆1和2横截面上的正应力PXB (I2B）IA,IA22最轻质量设计目标函数（桁架的质量）(1-1)(1-2)(1-

3、3)W = （A . Xb2 （I yB）2 A2 Xb2 yB2）2IS止IA12 yB约束条件-k'c 1IA20.5三 yb 1.5 (m)（于是问题归结为：在满足上述约束条件下，确定设计变量yb,A1, A2，使目标函数W最小。）3.最优解搜索采用直接实验法搜索。首先在条件（1-3）所述范围内选取一系 列y值，由强度条件（1-2）确定A1与A2，最后根据式（1-2） 计算相应 W,在yb-W曲线中选取使 W最小的yb与相应的A1与 A2，即为本问题的最优解。4.利用 MATLAB编程（1）分析目标函数和约束条件由已知L=2m , Xb=1m，载荷 P=100kN,桁架材料的密度

4、 r=7.7x10-5N/mm3, S t=150Mpa, 8 c=100Mpa, y 的范围：0.5m =yt> 三 1.5m。利用约束条件（1-2）。可以分析最优解时：Ai与A2取最小面积时，约束条件即取等号。即（1-2）中两(1-4)不等式取等号。如下px/ (i - yb)2lA!p2 2.Xb - yb '-ia2十Jc代人已知条件得:300A2 二21 yb200(1-5)将（9-25）代人（9-21 ）得W =7.710丄24(1 (2 - yb)3002.(1 yb)200(1-6)0.5三 yb 1.5 (m)式（1-6）即为所求目标函数，求出其最小值，就是本问

5、题的最优解。所以采样二次插值法求极值（3）流程图如图1-2图1-2二次插值法程序框图(3) MATLAB 程序程序中F为目标函数 W，而x为yb。目标函数化为计算机认识的函数为：F=256.66667*(5-4*x+xA2)A1.5+385*(1+xA2)A1.5;利用二次插值法求极小值functioneccz%目标函数syms x; %定义f=256.66667*(5-4*x+xT)+385*(1+x八2);a1=0.5;a2=1.5;%区间 0.5 三 yb 三 1.5a3=1; %中间点k=0;while (abs(a3-a1)>1.0e-7)%精度为 10-7f1=subs(f,

6、x,a1);%循环内为二次插值过程f2=subs(f,x,a2);f3=subs(f,x,a3);C1=(f3-f1)/(a3-a1);C2=(f2-f1)/(a2-a1)-C1)/(a2-a3);ap=0.5*(a1+a3-C1/C2);fp=subs(f,x,ap);if ap>a2;if f2>=fpa1=a2;f1=f2;a2=ap;f2=fp;elsea3=ap;f3=fp;endelseif f2>=fp;a3=a2;f3=f2;a2=ap;f2=fp;elsea1=ap;f1=fp;end end k=k+1a=apff=subs(f,x,ap)%输出循环次数

7、k ，最优解 x 以及最小值ff ) endMATLAB 程序输出最后结果如下：k =24a =0.8000ff =125.7667（最小值） 即目标函数最优解为： yb=0.8m 时，桁架重量最轻 Wmin=125.7667N 由（ 1-5）得 1，2 杆横截面分为2A 1=521mm22A 2=640mm 下面程序为用 MATLAB 画出 Yb 与 W 的函数关系曲线如图 1-3 画图程序：y=0:0.01:1.5;%范围及步长w=25.666667*（5-4*y+y八2）+38.5*（1+y八2）;% 目标函数plot（y,w, '-r'） %坐标点title（ 'Yb与W的函数关系'）%标题xlabe