数学分析教学课件—14-1

1、1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 0()nnaxx 三、幂级数的运算一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质 一、幂级数的收敛区间幂级数的一般形式为幂级数的一般形式为20010200()()()nnnaxxaa xxaxx为方便起见为方便起见, , 下面将重点讨论下面将重点讨论00 x , , 即即20120(2)nnnnna xaa xa xa x换成换成x0,xx 的情形的情形. .因为只要把因为只要把(2)中的

2、中的就得到就得到(1).0(),(1)nnaxx首先讨论幂级数首先讨论幂级数(2)的收敛性问题的收敛性问题. . 显然形如显然形如(2)的任的任 0 x 意一个幂级数在意一个幂级数在 处总是收敛的处总是收敛的. . 除此之外除此之外, , 它它 还在哪些点收敛还在哪些点收敛? ? 我们有下面重要的定理我们有下面重要的定理. . 定理定理14.1 14.1 ( (阿贝耳定理阿贝耳定理) ) 若幂级数若幂级数(2)在在 0 xx收收敛敛, ,| |xxx 则对满足不等式则对满足不等式 的任何的任何, ,幂级数幂级数 (2)收敛而且绝对收敛收敛而且绝对收敛; ;若幂级数若幂级数(2)在在 xx时发散

3、时发散, , 则对满足不等则对满足不等| |xxx式式 的任何的任何 , ,幂级数幂级数(2)发散发散. . 且有界且有界, , 即存在某正数即存在某正数 m, 使得使得|(0,1,2,).nna xmn| |,xxx对对任任意意一一个个满满足足不不等等式式的的设设1,xrx则有则有|.nnnnnnnnnnxxa xa xa xmrxx由于级数由于级数0nnmr收敛收敛, , 故由优级数判别法知幂级数故由优级数判别法知幂级数 证证 0,nnnnna xa x设设级级数数收收敛敛 从从而而数数列列收收敛敛于于零零(2)当当| |xx时绝对收敛时绝对收敛. 下面证明定理的第二部分下面证明定理的第二

4、部分. 设幂级数设幂级数(2)在在 xx 时时 0 x0| |xx发散发散, 如果存在一个如果存在一个 , 满足不等式满足不等式 , 且使且使 级数级数00nnna x收敛收敛, 则由定理得第一部分知则由定理得第一部分知, 幂级数幂级数 (2)应该在应该在xx 时绝对收敛时绝对收敛, 与假设矛盾与假设矛盾. 所以对一所以对一 切满足不等式切满足不等式| |,xxx的的幂级数幂级数(2)都发散都发散. 注注 由定理由定理14.1知道知道: : 幂级数幂级数(2)的收敛域是以原点的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质为中心的区间！这是非常好的性质. .若以若以2r表示区表示区 间的长度间

5、的长度, , 则称则称r为幂级数的为幂级数的收敛半径收敛半径. . 事实上事实上, , 收收 敛半径就是使得幂级数敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的收敛的所有点的绝对值的 上确界上确界. . 所以有所以有0r 0 x (i) 当当时时, 幂级数幂级数(2)仅在仅在 处收敛处收敛;(ii) ,(2)(,);r当当时时 幂幂级级数数在在上上收收敛敛 (iii)0,(2)(,);rr r当当时时 幂幂级级数数在在内内收收敛敛 对对 xrx一切满足不等式一切满足不等式 的的, 幂级数幂级数(2)都发散都发散; 至至 xr (,)r r 于于, (2)可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.

6、 因此称因此称 为幂级数为幂级数(2)的的收敛区间收敛区间. . 怎样求得幂级数怎样求得幂级数(2)的收敛的收敛 半径和收敛区间呢半径和收敛区间呢? ? 定理定理14.2 对于幂级数对于幂级数(2), 若若lim,(3)nnna 则当则当1(i) 0,(2);r 时时 幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径(ii)0,(2);r 时时 幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径(iii),(2)0.r 时时 幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径证证 0|,nnna x对对于于幂幂级级数数由由于于lim |lim | |,nnnnnnna xaxx 根据级数的根式判别法根据级数的根式判别法, 当当| 1x 时时,

7、级数级数 0|nnna x| 1x 收敛收敛. 当当时时, 级数发散级数发散. 于是于是0 | 1x (i) 当当时时, 由由得幂级数得幂级数(2)收敛半收敛半 径径1;r 0,x 当当时时对对任任何何皆皆有有| 1,x (ii) 所以所以;r ,0 x 当当时时 则则对对除除外外的的任任 x何何皆皆有有(iii) | 1,0.xr 所所以以注注 由定理由定理14.2可知可知, 一个幂级数的收敛域等于它的一个幂级数的收敛域等于它的 收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点. .在第十二章在第十二章2第二段曾经指出第二段曾经指出: 若若 1|lim,|nn

8、naa 则则有有lim |.nnna 因此也可用比式判别法来得出因此也可用比式判别法来得出幂幂级数级数(2)(2)的收敛半径的收敛半径. . 究竟用比式法还是根式法究竟用比式法还是根式法, ,可可以参考第十二章的相关说明以参考第十二章的相关说明. . 2,nxn级级数数由由于于2121(),(1)nnannan 例例1 1r ( 1,1) 所以其收敛半径所以其收敛半径, 即收敛区间为即收敛区间为 ; 而当而当222( 1)111,nxnnn 时 有由于级数收敛时 有由于级数收敛 所所21nxxn在时也收敛.在时也收敛. 2nxn以以级数级数 于是级数于是级数的收敛域为的收敛域为 1,1. 因此

9、幂级数因此幂级数(4)的收敛区间是的收敛区间是( 1,1) . 但级数但级数 (4) 当当 1x 1x 时发散时发散, 时收敛时收敛, 从而得到级数从而得到级数(4)的收的收 敛域是半开区间敛域是半开区间 1,1) . 照此方法照此方法, 容易验证级数容易验证级数!nnxn xn与与r 0r 的收敛半径分别为的收敛半径分别为与与.例例2 设有级数设有级数2,(4)2nxxxn11limlim1,nnnnanran由于由于*定理定理14. 3( (柯西柯西- -阿达玛阿达玛( (cauchy-hadamard) )定理定理) ) 对于幂级数对于幂级数(2), 设设lim |,(5)nnna 则有

10、则有1(i)0,;r 当当时时 收收敛敛半半径径(ii)0,;r 当当时时(iii),0.r 当当时时注注 由于上极限由于上极限(5)总是存在总是存在, , 因而任一幂级数总能因而任一幂级数总能 由由(5)式得到它的收敛半径式得到它的收敛半径. .*例例3 设有级数设有级数2342122242121,323232nnnnxxxxxx1lim |,2nnna2r 2x 由于由于 所以收敛半径所以收敛半径. 因因时时, , 级数都发散级数都发散, , 故此级数的收敛域为故此级数的收敛域为 ( 2, 2). 例例4 求幂级数求幂级数2213nnnxn 的收敛半径和收敛域的收敛半径和收敛域.解解 (i

11、)先求收敛半径先求收敛半径. .2zx 213nnnzn 方法方法1 设设, 幂级数幂级数的收敛半径为的收敛半径为221lim |3|9lim 19,3nnnnnnnrn 29xz 29xz 从而从而时原级数收敛时原级数收敛, 原级数发原级数发 2213nnnxn 3.r 散散, 所以所以的收敛半径为的收敛半径为方法方法2 应用柯西应用柯西-阿达玛定理阿达玛定理(,0),nna奇奇数数时时 由于由于 221lim |lim3nnnnnnan 22111lim,3313nnnn所以所以, 收敛半径为收敛半径为3.r 3x (ii) 再求收敛域再求收敛域. 当当时时, 相应的级数都是相应的级数都是

12、 22133nnnn 223lim13nnnn , 由于由于, 因此该级数发散因此该级数发散, 所以原级数的收敛域为所以原级数的收敛域为( 3, 3) . 下面讨论幂级数下面讨论幂级数(2)的一致收敛性问题的一致收敛性问题. .定理定理14. 4 若幂级数若幂级数(2)的收敛半径为的收敛半径为0r , 则在它则在它 (,)r r , (,)a br r 的收敛区间的收敛区间内任一闭区间内任一闭区间上上, 级数级数(2)都一致收敛都一致收敛. .证证 max|,|(,), , xabr ra b设设那那么么对对于于上上 任一点任一点x, 都有都有|.nnnna xa x由于级数由于级数(2)在点

13、在点x绝对收敛绝对收敛, 由优级数判别法得级由优级数判别法得级 数数(2)在在 , a b上一致收敛上一致收敛. 定理定理14. 5 若幂级数若幂级数 (2) 的收敛半径为的收敛半径为0r , 且在且在 xr xr 0,r(或或)时收敛时收敛, 则级数则级数(2)在在(或或 , 0r )上一致收敛上一致收敛.xr 0,xr 证证 设级数设级数(2)在在时收敛时收敛, 对于对于有有00.nnnnnnnxa xa rr00,nnnnxa rrr已已知知级级数数收收敛敛, ,函函数数列列在在上上递减且一致有界递减且一致有界, , 即即210.nxxxrrr故由函数项级数的故由函数项级数的阿贝耳判别法

14、阿贝耳判别法, 级数级数(2)在在0,r上一致收敛上一致收敛. .对于一般幂级数对于一般幂级数(1)的收敛性问题的收敛性问题, , 可仿照上述的办可仿照上述的办 法来确定它的收敛区间和收敛半径法来确定它的收敛区间和收敛半径. . 请看例子请看例子. . 例例5 级数级数22(1)1(1)(1),(6)22222nnnnxxxxnn由于由于 1112(1)(),12(1)22nnnnnnn 所以级数所以级数(6)的收敛半径的收敛半径2r , 从而级数从而级数(6)的收敛的收敛 |1| 2x ( 1, 3). 区间为区间为即即( 2)1111( 1).223nnnnn 当当 x = 3 时时, ,

15、 级数级数(6)为发散级数为发散级数211111.223nnnnn 于是级数于是级数(6)的收敛域为的收敛域为 1, 3). 1x 当当时时, 级数级数(6)为为 收敛级数收敛级数 二、幂级数的性质根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数根据一致收敛函数项级数的性质即可以得到幂级数 的一系列性质的一系列性质. . 由定理由定理14.4、14.5和和13.12立刻可得立刻可得 定理定理14.6 (i) 幂级数幂级数(2)的和函数是的和函数是(,)r r 内的连续内的连续 函数函数; ; (ii)若幂级数若幂级数(2)在收敛区间的左在收敛区间的左(右右)端点上收端点上收 敛敛, , 则其和函数

16、也在这一端点上右则其和函数也在这一端点上右( (左左) )连续连续. .在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前, , 先来确先来确 定幂级数定幂级数(2)在收敛区间在收敛区间(,)r r 内逐项求导与逐项内逐项求导与逐项 求积后得到的幂级数求积后得到的幂级数2112323(7)nnaa xa xna x与与231120(8)231nnaaaa xxxxn的收敛区间的收敛区间. .定理定理14.7 幂级数幂级数(2)与幂级数与幂级数(7)、(8)具有相同的收具有相同的收 敛区间敛区间. .证证 这里只要证明这里只要证明(2)与与(7)具有相同的收敛区间就具有相同

17、的收敛区间就可可以了以了, , 因为对因为对(8)逐项求导就得到逐项求导就得到(2).首先证明幂级数首先证明幂级数(7)在幂级数在幂级数(2)收敛区间收敛区间(,)r r 中中 每一点都收敛每一点都收敛. . 设设00(,),0 xr rx , 由阿贝耳定理由阿贝耳定理(定理定理14.1)的的 证明知道证明知道, , 存在正数存在正数m与与 r(r 1), 对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有 0|.nnna xmr于是于是10000|,|nnnnnnmna xa xnrxx0.nnnr根据比式判别法可知级数收敛根据比式判别法可知级数收敛 由级数的比由级数的比 较原则及上述不等式较原则及上

18、述不等式, 就推出幂级数就推出幂级数(7)在点在点0 x绝对绝对 0 x(,)r r 收敛收敛(当然也是收敛的当然也是收敛的!). 由于由于为为中任一点中任一点, 这就证明了幂级数这就证明了幂级数(7)在在(,)r r 上收敛上收敛.其次证明幂级数其次证明幂级数(7)对一切满足不等式对一切满足不等式|xr 的的x都都 不收敛不收敛. . 如若不然如若不然, 幂级数幂级数(7)在点在点00(|)xxr 收敛收敛, 则存在则存在0,| |.,xxxr使使得得由由阿阿贝贝耳耳定定理理 幂级数幂级数(7)在在 |,xxnx时时绝绝对对收收敛敛. .但但是是, ,取取时时 就就有有1| |,|nnnnn

19、nnna xa xa xx根据比较原则得幂级数根据比较原则得幂级数(2)在在xx处绝对收敛处绝对收敛. 这这与与所设幂级数所设幂级数(2)的收敛区间为的收敛区间为(,)r r 相矛盾相矛盾. 于是于是幂幂级数级数(7)的收敛区间也是的收敛区间也是(,).r r 定理定理14. 8 设幂级数设幂级数(2)在收敛区间在收敛区间(,)r r 上的和函上的和函 数为数为 f, 若若 x 为为(,)r r 内任意一点内任意一点, 则则(i) f 在在 x 可导可导, , 且且11( );nnnfxna x(ii) f在区间在区间0,x上可积上可积, 且且100( )d.1xnnnaf ttxn证证 由定

20、理由定理14.7, , 级数级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半具有相同的收敛半 使得使得|x| r r, 根据定理根据定理14.4, 级数级数(2), (7)在在-r, r上上 一致收敛一致收敛. .再由第十三章再由第十三章2的的逐项求导与逐项求积逐项求导与逐项求积 定理定理, , 就得到所要证明的结论就得到所要证明的结论(i)与与(ii).注注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区并没有要求在其收敛区 间上一致收敛间上一致收敛!)径径r. 因此因此, ,对任意一个对

21、任意一个 , 总存在正数总存在正数 r, (,)xr r 00nnna x(,)r r 推论推论1 设设 f 为幂级数为幂级数(2) 在收敛区间在收敛区间上的和函数上的和函数, 则在则在(,)r r 上上 f 具有任意阶导数具有任意阶导数, 且且 可任意次逐项求导可任意次逐项求导, 即即21123( )23,nnfxaa xa xna x223( )23 2(1),nnfxaa xn na x( )1( )!(1) (1)2,nnnfxn ann nax.推论推论2 设设 f 为幂级数为幂级数(2)在在0 x 某邻域内的和函数某邻域内的和函数, (0,1,2,)nan 0 x 则级数则级数(2

22、)的系数的系数与与f在在处的各处的各 阶导数有如下关系阶导数有如下关系:( )0(0)(0),(1,2,).!nnfafann注注 推论推论2还表明还表明, 若级数若级数(2)在在(,)r r 上有和函数上有和函数 f ,则级数则级数(2)由由 f 在在0 x 处的各阶导数所惟一确定处的各阶导数所惟一确定. 这是一个非常重要的结论这是一个非常重要的结论, 在后面讨论幂级数展开在后面讨论幂级数展开 时要用到时要用到. 三、幂级数的运算0nnna x0nnnb x0 x 定理定理14.9 若幂级数若幂级数与与在在的某的某邻邻域内有相同的和函数域内有相同的和函数, ,则它们同次幂项的系数相则它们同次

23、幂项的系数相等等,即即(1,2,).nnabn这个定理的结论可直接由定理这个定理的结论可直接由定理14. 8的推论的推论2得到得到.根据这个推论还可推得根据这个推论还可推得: 若幂级数若幂级数(2)的和函数为奇的和函数为奇 (偶偶)函数函数, 则则(2)式不出现偶式不出现偶(奇奇)次幂的项次幂的项.0nnna x0nnnb x定理定理14. 10 若幂级数若幂级数与与的收敛半径的收敛半径 分别为分别为ra 和和 rb, 则有则有 00,|,nnnnanna xa xxr000(),|,nnnnnnnnnna xb xabxxr000,|,nnnnnnnnna xb xc xxr0,min,.n

24、abnkn kkrr rca b 式中为常数式中为常数定理的证明可由数项级数的相应性质推出定理的证明可由数项级数的相应性质推出.例例6 几何级数在收敛域几何级数在收敛域( 1,1)内有内有21( )1.(10)1nf xxxxx对级数对级数(10)在在( 1,1)内逐项求导得内逐项求导得2121( )123,(11)(1)nfxxxnxx232!( )23 2(1), (12)(1)nfxxn nxx将级数将级数(10)在在0,(1)xx 上逐项求积得到上逐项求积得到000dd ,1-xxnntttt所以所以2311ln(| 1).(13)1231nxxxxxxn上式对上式对 也成立也成立(参见本节习题参见本节习题3). 于是有于是有1x 111( 1)ln1,223nn 111( 1)ln21.23nn 从这个例子可以看到从这个例子可以看到: 由已知级数由已知级数(10)的和函数的和函数, 通通 过逐项求导或逐项求积可间接地求得级数过逐项求导或逐项求积可间接地求得级数(11)、(12) 或或(13)的和函数的和函数.例例7 求幂级数求幂级数121( 1)nnnn x