含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

1、china og/含字母系数的一元二次方程常见错解剖析河北省滦平县第二中学(068250)许志儒一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影 响，往往会忽视含冇字母系数的一元二次方程中的隐含条件,致使解答陷入误区。 具体表现主要有以下几方面：一、忽视二次项系数ao导致字母系数取值范围扩大例1.已知关于x的一元二次方程(a2-l)x2+2(a + 2)x + l = 0有实根，求a的 取值范围。错解：因为方程有实根，所以$()即 4(a+ 2)2 -4(a2 -l)>0»wa>-4剖析：由一元二次方程的定义知：a2-10o而上述解题过程恰恰忽略了这一点，

2、正确解法应为：依题意得：严一i"a = 4(a + 2)2-4(a2-l)>0解得口 bh±14(注：例1等价于：已知关于x的方程(a2-l)x2+2(a + 2)x + l = 0两个实 数根，求a的取值范围)二、忽视$()导致错解例2.已知：x、x?是方程x2 - (k - 2)x + k2 + 3k + 5 = 0的两实根，求xj+x；的 最大值。错解：由根与系数的关系得：xj + x2 = k-2, x,x2 = k2 + 3k + 5所以 x： + x； =(x + x2)2 -2xjx2= (k-2)2 -2(k2 +3k + 5)= -k2-10k-6=

3、-(k + 5+19所以当k = -5时，xj+x；有最大值19。剖析：当k = -5时，原方程变为x2+7x + 15 = 0,此时<(),方程无实根! 错因是忽略了$()这一重要前提，由于方程有叨实根，故$(), bu：-(k-2)2-4(k2+3k+5)>04解得一4 w k 5 3chinaoglii.com所以当k = -4时，x： +x；有最大值18o三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例3.已知关于x的方程kx2-2(k + l)x + k-l = 0,当k为何值时,方程有实数根？错解：因为方程有实数根，所以()即-2(k + i)2 -4k(k-l

4、)>0解得k-丄，又因为kho3所以ka丄且kho3剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数 根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论。(1) 当k=0时，原方程变为一元一次方程-2x = l,其实根为x = -,故2k可取0。(2) 当kho时，原方程为一元二次方程，须满足$(), h|jk>-l且kho,3综合(1)、(2)矢山k>-o3四、忽视对一-元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩人例4.若二次方程x2-6x + 5-m = 0的两实根都人于2,则m的取值范围为错解：设方程两实根为勒、x2,则x, >2, x2

5、>2所以 x|+x2>4, x,x2 > 4x, + x2 = 6 > 4依题意得v x1x2 = 5- m > 4a = 36 - 4(5 - m) > 0解得-4 s m v 1剖析：当m=0时，原方程为x2 -6x + 5 = 0,其根为x=l, x2 = 5 ,显然不 合题意，错因在于：由x)> 2 , hx2 > 2得x+x2>4, xtx2 >4成立；反z,由 x x2 >4则不一定有x >2且x? >2成立。正解：设方程的两实根为右、x2,则x-20, x2 - 2 > 0a = 36-4(5-m

6、)>0依题意得(x|2)(x22)>0(x| 2) + (x2 - 2) > 0x + x? = 6, x,x2 = 5- mchina og/解得一4 5 m v 3例5.已知方程x2-ax+4-a2= 0的两实根屮仅有一根为负数，求a的取值范围。错解：设方程两实根为x】、x2,因两根中仅有一根为负数，故另一根为0或 正数，故有：xjx2 = -a2 +4 < 0解得a2或必-2剖析：当x, > 0且xqvo时有x,x2 <0成立；反之当xjx2 <0时则不能保证两 根小必有一个为负数！x)+ x2 = a < 0 xjx2 = -a2 +4

7、=正确解法应分两种情况：(1)当 v 0, x2 = 0 时,即 a = -2(2)当 xi<0, x?。时，wxjx2 = -a2 +4 < 0 解得a>2或av-2,综合(1)、(2)知:五、忽视题目屮的隐含条件导致错解例6.已知a、b是方程x2+(k-l)x + k + l = 0的两个根且a、b是某直角三角 形的两条直角边，其斜边长等于1,求k的值。错解：因为a、b是方程x2+(k-l)x + k + l = o的两个根所以a + b = l-k, ab = k + l又由已知得:a2+b2 =1所以(a + b)2-2ab = l即 k? -4k-2 = 0解得k

8、= 2 ± v&剖析：由于a, b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以 a>0, b0,从而 a + b>0, abo,当 k = 2 +拆时 a + b = 1 - k =-1 - v6 < 0 , 故k = 2 +拆不合题意，舍去。当 k = 2-v6 时，a + b=l-k = v6-l, ab 二 k + 1 二 3 亦0 ,故 k 的值为 2 - v6 o注：通过以上儿例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程右关基本知识、 基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目屮的隐含条件，并对所解答案 进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题屮 的合理运用。(初三)101 远程教