2022年2022年Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载§13.5常微分方程.拉氏变换与级数试验 学习目标 1. 会用 mathematica 求解微分方程（组）；2. 能用 mathematica 求微分方程（组）的数值解；3. 会利用 mathematica 进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幂级数和傅里叶级数的绽开；一. 常微分方程（组）mathematica 能求常微分方程 （组）的精确解,能求解的类型大致掩盖了人工求解的范畴, 功能很强；但不如人敏捷（例如在隐函数和隐方程的处理方面）,输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同；另外,mathematica 求数值解也很便利,且有利于作出解的图形；

2、在本节中,使用laplace 变换解常微分方程（组）的例子也为非常胜利的,过去敬而远之的方法如今可以轻而易举的实现了；求精确解的函数调用格式如下：dsolveeqn,yx ,x求方程 eqn 的通解 y（x）,其中自变量为 x；dsolveeqn ,yx 0= =y 0 ,yx ,x求满意初始条件y（x0）= y0的特解 y（x）；dsolveeqn1 ,eqn2, ,y 1x ,y2x , ,x求方程组的通解； dsolveequ1 , y1x 0= =y 10, , y 1x ,y2x , ,x求方程组的特解；说明：应当特殊留意,方程及各项参数的表述方式很严格,简单显现输入错误；微分方程的

3、表示法只有通过例题才能说清晰；例1解以下常微分方程（组）：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） y2 y x51 2 ,（ 2） y1y, （3）yz ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2x1xyzx3 yzy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）z的通解及满意初始条件y（0）=0, z（ 0） =1 的特解；y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： in1 ：=dsolvey x= =2yx/ （x+1）+（x+1）（ 5/2）, yx ,x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1=y x2 13x 7 / 21x2 c1

4、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in2 ：=dsolvey x= = （1+yx2 ）/x+x3 ）yx ,yx ,x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out2=y x11c1x211x2 , y x11c1x211x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in3 ：=dsolvey x= =zx , zx= = -yx,yx ,zx ,xout3=yxc1cosx+ c2sinx,zx c2cosx- c1sinxin4 ：=dsolvey x= =zx , zx= = -yx ,y0= =0 ,z0= =1 ,yx ,zx ,x out4=yxsinx ,

5、 zx cosx提示：仔细观看上例,可以从中学习输入格式,未知函数总带有自变量,等号用连续键入两个等号表示,这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号,连续两撇表示二阶导数,这与习惯相同；自变量.未知量.初始值的表示法与一般变量相同；说明：输出结果总为尽量用显式解表出,有时反而会使表达式变得复杂,这与教科书的习惯不同；当求显式解遇到问题时,会给出提示；通解中的任意常数用c1 ,c2 ,表示；例2求解以下微分方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） y3 y3 yy x5ex ,（ 2） x2 y 21 ,（ 3）yxy ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解

6、： in1 ： =dsolve y x +3y x +3y x + yx = = （x - 5）exp-x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx ,x1x25x2x3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1=y xe x x25x22e x x231 e x5x3x 4e xc1e x xc 2e x x 2234c3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in2 ： =simplify%精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out2=y x1 e x 2420x3x424c124xc 224x 2c 3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

7、下载in3 ： =dsolvex2 + y x2 = = 1 , yx ,x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out3=y x1 x1x22arcsin x 2c1 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 y x1 x1x22arcsin x 2c1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in4 ： =dsolvesqrty x = = x yx ,yx ,x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out4=y x3x3c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制,但

8、为输出的答案未必符合习惯,例如第一个方程的答案需要化简,有时即使化简后也未必与教材上的答案一样；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3求微分方程 dydx2xy2xe x的通解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： in1 ：=dsolveyx+2x yx= = x e （-x2）, yx ,x66精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1=yx 1 e2x 2 x2e x 2c1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这就为所给微分方程的通解；式中的c1 为通解中的任意常数；x上述命令也可以输入为：dsolvedyx + 2x yx= =x e（

9、 - x2）, yx ,x ；例4求微分方程 xy+ y - e = 0 在初始条件 y|x=1 = 2e 下的特解；解： in1 ：=dsolvex*yx+yx-ex= =0 ,y1= =2e , yx ,x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1= yx eexx二. 常微分方程（组）的数值解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 ndsolve 用于求给定初值条件或边界条件的常微分方程（组）的近似解,其调用格式如下：ndsolveeqns,y 1,y2, ,x ,xmin ,xmax求常微分方程（组） 的近似解；其中微分方程和初值条件的表示法犹如dsolve,未

10、知函数仍有带自变量和不带自变量两种形式,通常使用后一种更便利；初值点x0 可以取在区间 xmin ,xmax 上的任何一点处,得到插值函数 interpolatingfunctiondomain, table类型的近似解,近似解的定义域domain 一般为domain, table,也有可能缩小；例5求常微分方程 y= x2 + y2,满意初始条件y（ 0） = 0 的数值解；解： in1 ： =s1=ndsolvey x= =x2+yx2,y0= =0 ,y,x , -2,2out1=yinterpolatingfunction-2. ,2. , < > in2 ： =y=y /

11、 . s11 out2=interpolatingfunction-2.,2. , < >in3 ： =plotyx , x ,-2, 2 ,aspectratioautomatic , plotrange-1.5 ,1.5图 13-43微分方程的解曲线out3= -graphics-上例中包含很多值得学习的有用内容,其中其次项参数使用y 而不为 yx ,比用 yx 好；假如求解区间改为 x,-3,3 ,就会显现警告提示,实际得不到-3,3上的解； out1 说明返回的解放在一个表中,不便使用,实际的解就为插值函数：67精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载interpol

12、atingfunction-2. ,2. , < >in2 的结果为用 y 表示解函数的名字,因此in3 顺当画出解曲线如图13-43 所示；例6求常微分方程组：xy1 x3x3yx满意初始条件 x（0） =0,y（0）=1 的数值解；解： in1 ： =s1=ndsolvex t= = yt - （ xt3/3 - xt ）,yt= = - xt ,x0= =0 , y0= =1 ,x , y , t ,-15,15out1=xinterpolatingfunction-15. ,15. ,< >, yinterpolatingfunction-15. , 15. ,

13、< >in2 ： = x=x / . s11 , 1y=y / . s11,2 out2=interpolatingfunction-15., 15. ,< > out3=interpolatingfunction-15., 15. ,< > in4 ： =parametricplotxt , yt ,t , -15,15 ,aspectratioautomatic图 13-44解的相轨线out3= -graphics-说明：上例为求一个闻名方程组的近似解,其中in2 也可以改用一个赋值式 x ,y=x , y / . flattens1 ,一次得到两个函数

14、； 通过求数值解简单得到它的相图,in4 绘制明白的相轨线如图 13-44 所示,图中说明原点为奇点,极限环的外形也已经得到；为了应对复杂的情形,需要设置可选参数：workingprecision参见数值积分部分的介绍；accuracygoal运算结果的肯定误差；precisiongoal运算结果的相对误差；maxsteps最大步数；68精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载startingstepsize初始步长；以上可选参数的默认值都为automatic ,其中 accuracygoal 和 precisiongoal 的默认值比workingprecision 小 10,当解趋于

15、 0 时应将 accuracygoal 取成 infinity ；对于常微分方程,最大步长默认值为1000；这个函数也可以解偏微分方程,最大步长默认值为200；例7解以下微分方程（组）：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） y1i ,满意初始条件y（ 0） =1 的特解；4 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x3x3 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）yxz26.5 xy ,满意初始条件x（0）=z（0） =0,y（0）=1 的特解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zxyz解： in1 ： =ndsolvey x= =i/4yx

16、, y0= =1 , y,x ,1 ,accuracygoal20, precisiongoal20,workingprecision 25 out1=yinterpolatingfunction0 , 1.000000000000000000000000000,< > in2 ： =y1 / . %out2=0.968912424710644784118519 + 0.2474039592545229296234109in3 ： =ndsolvex t= = -3 （xt -yt ）,yt = = -xt zt+36.5xt -yt,zt = = xt yt- zt,x0 = =

17、 z0 = = 0 ,y0= =1 ,x , y, z ,t ,0,20 , maxsteps3000out3=xinterpolatingfunction0. , 20. ,< > , yinterpolatingfunction0. ,20. , < > , zinterpolatingfunction0. ,20. , < > ,in4 ： =parametricplot3devaluatext , yt ,zt / . % ,t ,0,20 , plotpoints 100069精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图 13-453 维相轨线

18、out3= -graphics3d-说明：以上范例中in1 取高精度,而且为复系数方程；in2 为求解在 x=1 时的近似值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求精确解能得到精确值1ie 4 ,读者可以求1ie 4 的近似值与 out2 的结果比较, 验证近似解的精确精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载度的确很高； in3 在求解时增大步数,胜利地得到了由in4 绘制的如图 13-45 所示的解的相轨线； in4 所示的绘图语句与前面例子中的不同,现在只要会仿照使用它们就行了,要想弄清原理请参阅相关mathematica 书籍；三. 拉氏变换mathematica 可以进

19、行拉普拉斯变换,其变换使用的函数调用格式如下：laplacetransformf,t, s求函数 f（t）的 laplace 变换,返回自变量为s的函数；inverselaplacetransformf,s,t求函数 f（s）的 laplace 逆变换,返回自变量为 t 的函数；其中函数 f（ t）和 f（ s）也可以为函数表,这样可一次变换多个函数；例8求函数 t 4 和 et sint 的拉氏变换；解： in1 ： =laplacetransformt4, t,sout1= 24s5in2 ： =laplacetransformexpt sint , t,s精品学习资料精选学习资料 - -

20、 - 欢迎下载out2=212ss2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in3 ： =inverselaplacetransform%1, s,t out3=t 4in4 ： =inverselaplacetransform%2, s,t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out4=1 iie 12i t 1e2 it 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in5 ： =fullsimplify% out5=e t sint例9求函数 f（ t）= t3 eat 的拉氏变换；解： in1 ： = laplacetransformt3 expa t , t,s精品学习

21、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1=6as4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上只为直接进行拉氏变换和逆变换的例子；以下使用拉氏变换解常微分方程,解法原理见本书理论篇,这里完全实现了运算机求解；例10用拉氏变换解微分方程：70精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x+ 3x + 3x+ x = 1 满意条件 x0 = x0 = x0 = 0 的解；解： in1 ： =f1=laplacetransform xt +3x t+ 3x t+xt ,t,s out1=laplacetransformxt ,t,s +s3laplacetransformxt ,t,s

22、 + 3（slaplacetransformxt ,t, s - x0 ）- s2x0 +23（s laplacetransformxt ,t,s - s x0 - x 0 ）-s x0- x 0in2 ： =s1=laplacetransform1, t,sout2= 1sin3 ： = x0= x 0= x0=0 ；solvef1= =s1,laplacetransformxt ,t,s精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out4=laplacetra nsform x t、 t 、 s1s1s3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

23、 欢迎下载in5 ： =inverselaplacetransform1s1s 3, s, t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out5= 11 e t 22t2t 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：上例中的laplacetransformxt ,t, s就为教材中的 x （s）, in3 解出 x（s）,其余过程与教科书完全相同；现在可以将一切运算留给运算机,同学只要弄清解法原理及过程；技巧：充分利用复制.粘贴功能,可以加快输入速度,防止键入错误；上例中in5 就可以从 out4 中将表达式复制过来；例11求微分

24、方程组：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2xxyy2 y0 2x2e t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载满意条件 x（0）=3,x （ 0）=2,y（0）=0 的特解；解： in1 ： =f1=laplacetransformx t - 2x t - y t + 2yt ,x t + y t - 2xt ,t,s；in2 ： =s1=laplacetransform0,- 2exp-t ,t,s；in3 ： = x0=3 ； x0= 2 ；y0=0 ；solvef1= =s1 ,laplacetransformxt ,t, s, laplacetransformy

25、t ,t,s ；in5 ： =inverselaplacetransform71精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载flattenlaplacetransformxt ,t,s,laplacetransformyt ,t,s / . % ,s,t out5=5 - e -t - 3et + 2e2t, e-t（- 1 + et ）2（1 + 2 et ） in6 ： =simplify%out6= 5 - e -t - 3et + 2e2t,e-t - 3et + 2e2t 说明：在上例中,不显示任何中间结果,语句比较简练；其中,in1 和 in2 分别对方程组的左边和右边进行拉氏变

26、换,in3 解出 x （s）和 y （s）；in5 比较难懂,可以参看前面的例题,这里为从out3 中自动将解 x （s）和 y（ s）提取出来,再进行拉氏逆变换；out5 为x （ t）, y（t） ,out6 将答案化简；本例已经将求解过程一般化,只需转变方程组和初值的数据,就可以解其它方程组了；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 求和与求积求有限或无穷和.积的函数为：四. 级数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sumf ,i ,imin ,imax求i maxi i minf i ,其中 imin 可以为 -,精品学

27、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载imax 可以为（即 +）,但为必需满意imin imax；基本输入模板中也有求和专用的符号,使用模板输入更便利；sumf ,i ,imin ,imax , j ,jmin , jmax ,求多重和,也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载productf , i ,imin , imax求i m axfi i mini ,基本输入模板中也有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求积符号；productf ,i ,imin , imax ,j ,jmin ,jmax ,求多重积,也可以使用基本

28、输入模板连续多次输入求积符号得到；例12求以下级数的和与积：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n（1）k 1k2 ,（ 2）1 ,（ 3）k2k 11k 1 k,（ 4）12ek；k 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： in1 ： =sumk2, k ,1,n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out1=1 n 16n12 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in2 ： =k1 / k 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2out2=672精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

29、载in3 ： =k1 / k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sum： div ：sum does not converge.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out3=1k 1 k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in4 ： =kexp1 / k 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2out4= e 6说明：上例中第三个级数发散,mathematica 给出提示,并在不能给出结果时将输入的式子作为输出；nsum 和 nproduct 得到数值解；2 将函数绽开为幂级数将函数绽开为幂级数的函数调用

30、格式如下：seriesf, x ,x0, n将函数 f（x）在 x0 处展成幂级数直到n 次项为止；seriesf, x ,x0, n ,y , y0,m将函数 f（x,y）先对 y 后对 x 绽开；例13绽开以下函数为幂级数：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） y=tgx,（ 2）ysin x , （3）y = f（x）,（ 4） xxyy = e ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： in1 ： =seriestanx,x , 0, 9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3out1= xx 32 x 51517 x 731562 x92835o

31、x10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in2 ： =seriessinx /x ,x , 0, 9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2out2=1x6x 4120x 65040x8362880o x10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in3 ： =seriesfx , x ,1,7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out3=f 1f 1 x11 f1 x21 21 f 3 1 x613精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1f 4 1 x24141120f 5 1 x15精品学习资料精选学

32、习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1f 6 1 x1 6f 7 1 x1 7o x1 8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7205 0 4 0in4 ： =seriesexpx y ,x , 0, 3 ,y ,0,273精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载out4= 1 yo y 3 xyo y3x2 2o y3 x3o x 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2说明：上例中 in3 说明也可以绽开抽象的函数；对已经绽开的幂级数进行操作的两个函数为：normalexpr将幂级数 expr 去掉余项转换成多项式；serie

33、scoefficientexpr,n找出幂级数 expr 的 n 次项系数；例14将 y = arcsinx 绽开为幂级数,只取前9 项并去掉余项； 解： in1 ： =seriesarcsinx , x ,0,9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3out1=xx63x 5405 x711235x 91152o x10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in2 ： =normal%精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3out2=xx63x5405 x711235x 91152精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载in3 ： =seriescoefficient%1,5out3=3403 傅里叶级数求傅里叶级数就为求出傅里叶系数,傅里叶系数为一个积分表达式,所以利用积分函数integrate 就可以实现；例如,设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为,脉冲幅度为e,周期为t,这种信号在一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载个周期 t , t 内的表达式为22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f t e| t |20| t |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求其傅里叶级数时,可以先求出傅利叶系数；为了和mathematica 中的常数 e