定积分中奇偶函数和周期函数处理方法

1、定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一) 、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我 们有如下结论1、若/(x)是奇函数(即/(x)=-(-x),那么对于任意 的常数a,在闭区间 -,上， /(x)JX=OO 2、若几Q是偶函数(即/()=(-),那么对于任意的常数a,在闭区间ra,a 上%禺=2 f(x)dx °3、若代Q为奇函数时，/(x)在ra,c的全体原函数均为偶函数；当/(x)为偶函 数时，/(Q只有唯一原函数为奇函数即j7(r)Jr.事实上：设“(XMX = I处W + C,其中C为任意常数。当/'

2、;(Q为奇函数时，为偶函数，任意常数C也是偶函数=>(x)的全体JO原函数fit)dt + C为偶函数；当f(Q为偶函数时，/OW为奇函数，任意常数CHo时为偶函数=> CW+c既为非奇函数又为非偶函数，>()的原函数只有唯一的一个原函 数即是奇函数。4、若y(x)是以T为周期的函数(即/(T + x)=(x),且在闭区间,±连续可 积，那么f×)dx = £ f(×)dx = f(x)dx O25、若/(0是以T为周期的函数(即f(T + x)= f(x)t那么IMW以T为周期 的充要条件是(r>r = oJO事实上：jv+7

3、f(t)dt = £ f(t)dt + £+F f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt ,由此可得页脚0'7 MW = 07( o f(t)dt o(二) 、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的 性质进行计算即可，但要注意积分区间。2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶 函数和的形式，则分开积分会简化计算。3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设 P(X)= /(x)+ /(-X),(X)= /(x)-(-X),则 /(x

4、)=P°)；9(x),从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。(三) 、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期(特别是三角函 数与复合的三角函数的周期)，并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周 期函数定积分的问题。二、典型例题例1设/(x)/在-,上连续可积，证明：若/为奇函数则(x>x = 0(2)若/为偶函数，则£/(XHr = 2 f(x)dx O 证明:因为 /(x) = -(-x),而f(x)lx = °af(x)dx+£f(x)dx=£ fx)dx + £'

5、f(x)dx =x)+ £" f(x)dx 对前一项中令t = -xf“ f(x)d(r x) = /(- t)dt = y(-x)dx = 一 f(x)dx所以 E fgx = -£ f(x)d×+ f(x)d× = 0 因为 /(x)=(-x),而 £ /(XHr = af(X)dx +fx)dx=-£ f(x)dx+ £' f(x)dx = a fx)d(r x)+ £* f(x)dx ,对前一项中令X = T 相似的 有- “ f(x)d(-x) = £/(- t)dt = f(

6、x)dx,所以 £ fx)dx = 2 fx)dx.例 2 设/在(-oo,<x>)上连续，且以 T 为周期，证 f(x)dx = fx)dx = f(x)dx。证明：由 ,+r f(x)dx = ° f(x)dx + f(x)dx + f×)dx ,在上式右端最后一个积分中，令 x = T + t 则有f(x)dx =f(T + t)dt = f(t)dt = -£ fx)dx,即有f(x)dx = £ f(x)dx + If(X冷 _ f f(x)dx = £ f(x)dx,成立再证/(XMr = J訂(XMX ,因为

7、(= J? fdx + JL/(x)对于 Jr/(2 2 2令 t = x-T 则 rfx)dx = f(t + )dt ,因 为 f(x + )= f(x)所以有 (r + >r = f(x)dx, £ f(x)dx =f(x)dx + E f(x)dx = Tf(X)dx。2 2 2 2例 3 求定积分 1 = J： (x4 + X2 + COSX)dx o解：被积函数为偶函数，/ =丄(jt4 +x2 + COSX)dx =(x4 + x2 + CoSX)IX=2+ -+sinx3+ Silll15例4求定积分 = ISiIIXIJX,其中”为自然数。解：注意到ISInx

8、l是偶函数且以兀为周期，因此利用性质可以简化计算羽”打/r/ = ISiIl XltZX = 7?ISill Xldr = ； ISill xdx = 2j2 ISill xdx = 2n SilI XdX = 2n .例5 计算：f sinz, XCOSPt XdX （自然数或加为奇数）。 JO解：由周期函数积分性质得 IIl In =Silln XCOSMl XdX = f sin" XCOSn, XdX n'm JOJF当"为奇数时，由于被积函数为奇函数，故Iltm = 0 当加为奇数时(设m = 2k + l,k = 0,1,2 )时Ill m = sin&

9、quot; X(I- si2 X)CI Sill X = 7?(Sill XY_JT = 0-,其中R(U)为“的某个多项式(不含常数项) 因此ZZMn=O例6求定积分x3÷÷siq Oj4 x +1例7求定积分吃念如解：I氏严因为2：冷十解:因为被积函数是为奇函数,3且在对称区间故丄十弘“2 + 4-x2是偶函数，所以1=2 fJO例 8 求定积分 I = £ (x-3)4 arctan(x - 3)dx。解：设 t = x-3 贝U I=(X-3)4 arctan(x-3)dx = 34 arctanrJf因 为/(X)= X4 actaX是奇函数所以/ =

10、0 例9求定积分l XSinXdXoJO 1 +cosx-解：令 X= + /,则 dx = dt f 因为 X , ,所以 w2 2 2 -+ t COS/2丿彳 l + si2f 7 f COSt I f；：MOSf df =,-jl + sir2COSt .> 4龙 P d sin f = ,arctan(siJ° 1 + sinf例 io 求定积分 I=PJTX2+3分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性 质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)二Inz)+)和一个偶 JC +3 函数U(X) = FE之和。解:Ill(X +l +

11、 x2) + x2+3-.二 0 + 2 ( -dx =2 f (1 - 一-)dx = 2x arctan JQX' +3 JO X' +333= 2->391 1 _ y例 求定积分 I=PI (>1-4x2 + COShl)dx。 M1 ¼ X分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到 /(x) =COSln- 为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而1 + x在一雳上积分恰好是以原点为圆心，半径为上半圆周面积,1 1、，s=-,(-)=2 28解：I 二!* (71-4x2 + COSIil Mr j-1 + x1

12、 1 =f21 yl-4x2dx + 21 COShl xJ一J-一 1 + rI-X1 =PI yl-4x2dx ÷ 0 =2H=2xI = 7例 12 设/(x)在-,(>)上连续，证明fx)dx = £/(%)+ /(-X)I , 并由此计算ET-解：若记P(X)=/(x)+(-x), (x)=(x)-(-x),显而易见 P(X)为偶函数，g(x)为奇函数，而且/(X)= P;"x)所以有af(X)dx =|£ P(X冷+扛 q(x)ix = £ P(X)dx = f(x)+ /(-xZx 利用上述公式可得R -：_- dx = F

13、 -_- + -_-VX =卩 2 ,dx = 2 P sec2 XdX = 2tanx = 2 J-I+ smx Jo 1 + Siii% I-SiilX Jo COSjrJo例 13 求定积分 l='xl(l + er)Jx o分析：此题的积分区间-2,2关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将 其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道W(X)= i()-(-)为奇函 数，而 VV(X)=i(x)+(-x)为偶函数解:MX) = M-/(- x) = *xh(l + e)+x(l + e-Ar)I = XhI

14、(I + ev)-1X2I = XIlI(I + ex)j x(l + ex)-x2 + x2cx = xn(l + ex)-x2 +丄 x2dx=0 + 2x 丄 x2dx =-Jt 2Jo 23例 14 求定积分Ill = XISillXltZx 其中 n eN o分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采 用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。n-x = t 则 dx = -dtIlI =XISilI xdx = -£，T (n -=一tintdt + n ISillrlJr = -£ XISiIIXIJX+ISiIl XlJX移向得：2Ill=n

15、-2龙ISillxdx = n'龙SilIXdX = 2n2所以In =n2例 15 求定积分 In = (r + Jr)ISin xdx O解：/”=(+ 2x)ISin xdx =XlSill XlJX + 叮 ISiII XIJX=XSillXJx+SinXdX = 2xcosx SinX+2r = 2r+2r = 4龙例16求定积分/=一上严一dxJo a si x + b cos X解：注意到被积函数是以龙为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简 化计算Cr sin2 x+b2 cos2 XdxdxCr si2 x + b2 cos2 Xd(tanx)b2 +a2 tan2

16、 Xdx/ 、2ab1 +tanx3 Jd(tanx)-arcttanxab bab例 17 求定积分 (x3 + si2 X)COS2 XdX O解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算+ si2 X)COS2 XdX = rx3 cos2 xdx+ si2 xcos2 XdX = 0 + 2si2 x(l 一 si2 X)JXJ7 = 2JSiIrXJX-2psin4 xJx = I例18证/(x)是以T为周期的周期函数，则fx)dx = /?£ fx)dx o证明：因为"f (x)dx =工"故只需证明C f (X冷=£f (X)d&

17、#215; k=0由题设可知 f(x)=f(x+kT)现令x = f + R7 当 X = JtTBf, t = 0； 当 X = (R+ 1)T 时，t = T 且dx = dr f： (XHx= *(f +RtW = *(fW所以有 (XylX=0r f(d=Wf例19设/(x)是以；r为周期的周期函数，证明£ (Sill X + x)f(x)dx = £(2x + )fx)dx。分析：j(SilIX + x)f(x)dx =(2% + )fx)dx 等价于(SinX + ×)f×)d + 厂(Sill X + x)fx)dx = £(2%

18、 + )fx)dx 所以 厂(SiII X + x)f(x)dx= £ (x+ -Sillx)fx)dx 即 £ (Sillw + w)f(Wf = £ (x+-sin,x)f(x)dx 由题设2证明：” (SiIl X + x)f (x)dxJO 叮(Sin x + 令U = X+ TT,贝 | £ (Sill Ll + W )/(Sill(x÷ )+x + (Sill X + x)f(x)dx =(Si JOJO= (2x+)f(x)dxJo例 20 设函数 5(X)= £ ICOSrlJrf(x + n)= f(x) 可令 u

19、= x+JOx)f(x)dx + r (Sill X + x)f(x)dx =I (Sin X + x)f(x)dx + (SillH + u)f()du )f (X + )dx = £ (x+ ,-six)f(x)dxSill X + x)f(x)dx + f (x+ -sin. x)f(x)dxJO(1) 当 n 为正整数,且n/r xM(n + l)龙时,证明 2n (x)2(n +1);C l 1. S(X)求Iilll-r-wc X证明：(1)因为 ICOSXl0 , Ln x <(t + l) ,所以 ICOSXpX £ ICOSXltx < ICO

20、SXIJX ,又因为具有周期，在长度的积分区间上 积分值相等： cos XlJX =ICOSXlJX,从而ICOSxdx = /?£ ICOSxdx £2 COSXdX - J； COSXtZXj = n(l - (-1) = 2n同理可得到(1, ICOS xdx = 2(JI +1)由有当“is去极限，由夹逼定理得,( + )X nr-wc X 例 21 设函数/G)在(8,8)上连续，而且F(X) = J)r(x-2r)/(r>r O证明：若/(x)为偶函数,则F(X)也是偶函数；若/(x)单调不减，则F(X) 单调不减(1)证明：令t = -ut贝UF(- x

21、) =2t)f(t)dt = jv (x - 2m)(- u)du = j(x- 2h)(ww = F(X) 故F(X)为偶函数。(2) 由于被积函数连续，所以F(X)可导，且F(X)=f(t)dt -= £' f(t)dt ÷ (x - 2x)(x) = £' f(t)dt - Xf(X)=£/(/)- f(x)M >0,因此 F(X)在(-8,8)上单调不减例22设/(x)在(-oo,)上连续，以T为周期，令F(X)=J)7(r>r,求证：F(X) 定能表成：F(X)= kx+(x)i其中k为某常数，处x)是以T为周期的

22、周期函数；吧廿MW *打(必；若有f(x)O (x(-oo,oo), n为自然数，则当nT<x<(n + l)时，有町 f(x)dx < £' f(t)dt < (W +1)£ f(x)dx o证明：(1)即确定常数k,使得讽X)=F(X)-也以T为周期，由于T因此，取R =丄C f(t)dt f (x)= F(X)-kxi则0(兀)是以T为周期的周期函数。 此时 T JOF(X)= *f"W x+於)£rf(t)dt = y£÷(P)且处0在(-8,8)上连续并以T为周期，于是 (P(X)在(P(X)

23、在,T有界，在(-co ,+co)也有界。因此 吧=+”(讪+塑丄於)=+”侧XRLXo '0ITLx '0(3) 因 /(x0),所以当 nTx<(n + l) 时，TnTX(n+l)rTnf(t)dt = f(t)dt < f(t)dt < f(t)dt = ( +1) f(t)dtOOOOo例23设/(x)是(-oo,)±的连续函数，试运用周期函数性质证明 "f(aCOSX + bSilI x)dx = 2” f(ya2 +b2 SiilXjdJC7证明：因为 aCosx-bsmx = ya2 +b2 Sin(X+ ),其中 tan = y,+a = t,b2 + Z?2 Sill tltf(aCOS%÷ six)dx = jj /(J' +b' Sin(x÷ )x =匸M于(Ja? + b' Sillr)7r =C /%+，SIn td)+ Q"y(石则“/(Ja，+b' SiIltjdt = f+b2 SilIf)Wr,所以左端