等比数列定义学习教案

1、会计学1等比数列等比数列(dn b sh li)定义定义第一页，共17页。创创设设请请境境一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。将一张报次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。将一张报纸对折会有那么大的厚度么？这就是我们今天要解纸对折会有那么大的厚度么？这就是我们今天要解决的问题，让学生决的问题，让学生(xu sheng)带着这大大的疑问带着这大大的疑问来展开新课。来展开新课。第1页/共17页第二页，共17页。一、等差数列一、等差数列(dn ch sh li)的定义的定义1 1、文字、文字(wnz)(wnz)叙述

2、：叙述：如果一个如果一个(y )(y )数列从第数列从第2 2项起，每一项与它前一项起，每一项与它前一项的差等于同一个项的差等于同一个(y )(y )常数，那么这个数列就叫做等差常数，那么这个数列就叫做等差数列。数列。2 2、符号表示：、符号表示：anan-1=d(常数常数)an是等差数列是等差数列以上数列是不是等差数列？以上数列是不是等差数列？这些数列有何共同特点？这些数列有何共同特点？从第二项起，每一项与它前一项的从第二项起，每一项与它前一项的比比等于同一个常数。等于同一个常数。回答问题回答问题(1) 5, 25, 125, 625, 二、观察下列数列：二、观察下列数列：(5) 1, ,

3、, , .-1214-1813221,21 ,21 ,21 1, )2(nn31,31,31- ,31- )3(22(4) -1,-2,-4,-8,-2n-1等比数列的定义等比数列的定义：如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，每一项与它项起，每一项与它前一项的前一项的比比等于同一个常数，那么这个数列等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列就叫做等比数列第2页/共17页第三页，共17页。定义定义(dngy)等比数列等比数列(dn b sh li)等差数列等差数列(dn ch sh li)an是等是等差差数列数列an1an=d(常数常数)an+1an=q ( 常数常数)an是等是等比比数列

4、数列0通项通项公式公式an=a1+(n-1)dan=a1.qn-1公式公式推导推导方法方法注意：注意：（1 1）等比数列的任何一项都不为）等比数列的任何一项都不为0 0，故公比也不为，故公比也不为0 0。（2 2）公比）公比q q是每一项与它前一项的比，不能颠倒次序，是每一项与它前一项的比，不能颠倒次序，换句话说：每一项等于前一项与公比换句话说：每一项等于前一项与公比q q的积。的积。（3 3）式子）式子是判断或证明一个数列是等比数列的方法。是判断或证明一个数列是等比数列的方法。an+1an=q ( 常数常数)an是等比数是等比数列，列，0数列例子第3页/共17页第四页，共17页。(1) 5,

5、 25, 125, 625, 二、观察下列数列：二、观察下列数列：(5) 1, , , , .-1214-1813221,21 ,21 ,21 1, )2(nn31,31,31- ,31- )3(22(4) -1,-2,-4,-8,-2n-1递增a 101nqa递减a 1001nqa1001qa或101qa或当 q0 时,数列(shli)an为摆动数列(shli).第4页/共17页第五页，共17页。指出下列数列是不是等比数列，若是，说明指出下列数列是不是等比数列，若是，说明(shumng)公比；若不是，说出理由公比；若不是，说出理由 (3) 2, -2, 2, -2, 2(1) ,2, 4,

6、16, 64, (2) 16, 8, 1, 2, 0,不是不是(b shi)是是不是不是(b shi)不一定不一定(4) a, a, a, a, a 0a练一练练一练第5页/共17页第六页，共17页。定义定义(dngy)等比数列等比数列(dn b sh li)等差数列等差数列(dn ch sh li)an是等是等差差数列数列an1an=d(常数常数)an+1an=q ( 常数常数)an是等是等比比数列数列0通项通项公式公式an=a1+(n-1)dan=a1.qn-1公式推公式推导方法导方法第6页/共17页第七页，共17页。二、等差数列二、等差数列(dn ch sh li)的通项公式：的通项公式

7、：推导推导(tudo)公公式式由定义知由定义知：a2-a1=a3-a2=a4-a3=an-an-1=dan=a1+(n-1)d递推法递推法(不完全归纳法不完全归纳法)a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d =a1+3dan=an-1+d=a1+(n-1)danan-1=d叠加法叠加法当当n2时时a2a1=da3a2=da4a3=d+)ana1=(n-1)d当当n=1时，时，an=a1第7页/共17页第八页，共17页。定义定义(dngy)等比数列等比数列(dn b sh li)等差数列等差数列(dn ch sh li)an是等是等差差数列数列an1an=d(常数常数)an+1an

8、=q ( 常数常数)an是等是等比比数列数列0通项通项公式公式an=a1+(n-1)dan=a1.qn-1递推法递推法( (不完全归纳法不完全归纳法) )叠加法叠加法公式推公式推导方法导方法第8页/共17页第九页，共17页。二、等比数列二、等比数列(dn b sh li)的通项公式：的通项公式：推导推导(tudo)公公式式由定义由定义(dngy)知知：a2=a1qa3=a2qa4=a3qan=an-1q=a1q2=a1q3=a1qn-1递推法递推法( (不完全归纳法不完全归纳法) )an=a1.qn-1a2a1a3a2a4a3anan-1=qa2a1qa3a2qanan-1qana1qn-1当

9、当n2时，时，当当n=1时，时，an=a1累积法累积法第9页/共17页第十页，共17页。定义定义(dngy)等比数列等比数列(dn b sh li)等差数列等差数列(dn ch sh li)an是等是等差差数列数列an1an=d(常数常数)an+1an=q ( 常数常数)an是等是等比比数列数列0通项通项公式公式an=a1+(n-1)dan=a1.qn-1递推法递推法( (不完全归纳法不完全归纳法) )叠加法叠加法公式公式推导推导方法方法累积法累积法递推法递推法( (不完全归纳法不完全归纳法) )在通项公式中有四个元素在通项公式中有四个元素a an n,a,a1 1,n,d(q).,n,d(q

10、).给出任何给出任何3 3个个元素，都可求出第四个元素。（方程的思想）元素，都可求出第四个元素。（方程的思想）第10页/共17页第十一页，共17页。二、填空二、填空(tinkng)(tinkng)：（1）若）若a1=1,an=256,q=2,则则n=_分析分析(fnx)(fnx)（1 1）由已）由已知得：知得：9（2 2）由已知得：）由已知得：（2）若）若a1=2,a8=256, 则则q=_2562q8-1q7=12822562n-1注：在通项公式注：在通项公式an=a1qn-1an=a1qn-1中有中有四个元素四个元素an,a1,n,q.an,a1,n,q.给出任何给出任何(rnh)3(rn

11、h)3个元素，都可求出第四个元个元素，都可求出第四个元素。（方程的思想）素。（方程的思想）（3）若）若q=2,a8=256, 则则a1=_（3 3）由已知得：）由已知得：256a128-121、等比数列等比数列a an n中中第11页/共17页第十二页，共17页。2 2、等比数列、等比数列(dn b (dn b sh li)sh li)anan中中(1)a1+a2=30, a3+a4=60,则则 a5+a6=（2）若）若a2=2,a5=54, 则则an=_（1 1）由已知得：）由已知得：（2 2）由已知得：）由已知得：a1+a1q=30a1q2+a1q3=60a1(1+q)=30a1q2(1+

12、q)=60q2=2 a5+a6= a1q4+a1q5=q4(a1+a1q)=120120a1q=2a1q4=54an= 3n-1=23n-223a1=q=32323n-2注：（注：（1 1）由等比数列的任意两项，可以）由等比数列的任意两项，可以(ky)(ky)确定通项公式。确定通项公式。（2 2）由）由a2,a5a2,a5的关系的关系(gun x)(gun x)猜想任意两猜想任意两anan，am,am,的关系的关系(gun x)(gun x)，并加以证明，并加以证明( (课后自己推导课后自己推导) )。第12页/共17页第十三页，共17页。证明证明(zhngmng)：注：在已知等比数列中任意两项的注：在已知等比数列中任意两项的前提下，可以使用前提下，可以使用(shyng)此性质求出等比此性质求出等比数列中的任意一项数列中的任意一项第13页/共17页第十四页，共17页。*6 36333323:,16222 22n mnmnnnnaa qn mNaa qqqaaq另解例例2：在等比数列：在等比数列(dn b sh li)an中：中：362,16,naaa已知求第14页/共17页第十五页，