中测验题压轴题精选讲座一几何与函数问题

1、中测验题压轴题精选讲座一几何与函数问题作者：日期：“他山之石可以攻玉”【编者的话】新课改后的中考数学压轴题已从传统的考察知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：（1）运动观点； （2）方程思想； （3）数形结合思想； （4）分类思想；（5）转化思想等。但纵观全国各省、市的中考数学试题，它的压轴题均是借鉴于上年各地的中考试题演变而来。所以，研究上年各地的中考试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的

2、动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向。只的这样，学生能力得以的培养，解题方法、技巧得以掌握，学生才能顺利地解答未来中考的压轴题。2008 年全国各地中考试题压轴题精选讲座一几何与函数问题【知识纵横】客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。【典型例题】【 例 1】 （上海市） 已知24abad，90dab，adbc（

3、如图）e是射线bc上的动点（点e与点b不重合），m是线段de的中点（ 1）设bex，abm的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（ 2）如果以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的圆外切，求线段be的长；（ 3）联结bd，交线段am于点n，如果以and， ，为顶点的三角形与bme相似，求线段be的长【思路点拨】 （1）取ab中点h，联结mh； （2）先求出de; （3）分二种情况讨论。b a d m e c b a d c 备用图【 例 2】（山东青岛） 已知：如图（1） ， 在rtacb中，90c，4cmac，3cmbc，点p由b出发沿ba方向向点a匀速运动，速度为1cm/

4、s；点q由a出发沿ac方向向点c匀速运动，速度为2cm/s；连接pq若设运动的时间为(s)t（02t） ，解答下列问题：（1）当t为何值时，pqbc？（2）设aqp的面积为y（2cm） ，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段pq恰好把rtacb的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图（ 2） ，连接pc，并把pqc沿qc翻折，得到四边形pqp c，那么是否存在某一时刻t，使四边形pqp c为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由图（ 1）图（ 2）【思路点拨 】 （1）设 bp 为t，则aq = 2t，证apq abc；

5、（2）过点p作phac于h（3）构建方程模型，求t；（4）过点p作pmac于，pnbc于n，若四边形pqp c是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值。【 例 3】 （山东德州） 如图（ 1）, 在abc中，a90，ab4，ac3，m是ab上的动点（不与a，b重合），过m点作mnbc交ac于点n以mn为直径作o，并在o内作内接矩形ampn令amx（1）用含x的代数式表示np的面积s；（2）当x为何值时，o与直线bc相切？（3）在动点m的运动过程中，记np与梯形bcnm重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？a b c m n d o a b c

6、m n p o a b c m n p o a q c p b a q c p b p图（ 1）图（ 2）图（ 3）【思路点拨】 （ 1）证amn abc； （2）设直线bc与o相切于点d，连结ao，od，先求出od （用x的代数式表示） ，再过m点作mqbc于q，证bmqbca；（3）先找到图形娈化的分界点，x2。 然后分两种情况讨论求y的最大值： 当 0 x2 时， 当 2x 4 时。【学力训练 】1、 （山东威海）如图，在梯形abcd中，ab cd ，ab 7，cd 1，ad bc 5点m，n分别在边ad ，bc上运动，并保持mn ab ，me ab ，nf ab ，垂足分别为e，f（1

7、）求梯形abcd的面积；（ 2）求四边形mefn面积的最大值（ 3）试判断四边形mefn能否为正方形，若能，求出正方形mefn的面积；若不能，请说明理由2、 （浙江温州市）如图， 在rtabc中，90a，6ab，8ac，de，分别是边abac，的中点， 点p从点d出发沿de方向运动， 过点p作pqbc于q，过点q作qrba交ac于r，当点q与点c重合时，点p停止运动设bqx，qry（ 1）求点d到bc的距离dh的长；（ 2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（ 3）是否存在点p，使pqr为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由3、 （湖南郴州）

8、如图，平行四边形abcd中，ab5，bc 10，bc边上的高am=4，e为 bc边上的一个动点（不与b、c重合） 过e作直线ab的垂线，垂足为ffe与dc的延长线相交于点g，连结de，df （ 1） 求证：bef ceg（ 2） 当点e在线段bc上运动时，bef和ceg的周长之间有什么关系？并说明你的理由（ 3）设bex，def的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时 ,y有最大值，最大值是多少？mbdcefgxac d a b e f n m a b c d e r p h q 4、 （浙江台州）如图，在矩形abcd中，9ab，3 3ad，点p是边bc上的动点（点p不

9、与点b，点c重合） ，过点p作直线pqbd，交cd边于q点，再把pqc沿着动直线pq对折，点c的对应点是r点，设cp的长度为x，pqr与矩形abcd重叠部分的面积为y（ 1）求cqp的度数；（ 2）当x取何值时，点r落在矩形abcd的ab边上？（ 3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？参考答案【典型例题】【例 1】 （上海市）（1）取ab中点h，联结mh，m为de的中点，mhbe，1()2mhbead又abbe，mhab12abmsab mh，得12(0)2yxx；（2）由已知得22(4)2dex以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的圆外切，1122

10、mhabde，即2211(4)2(4)222xx解得43x，即线段be的长为43；（3）由已知，以and， ，为顶点的三角形与bme相似，又易证得damebmd q c b p r a b a d c （备b a d c （备由此可知，另一对对应角相等有两种情况：adnbem；adbbme当adnbem时，adbe，adndbedbebemdbde，易得2bead得8be；当adbbme时，adbe，adbdbedbebme又bedmeb，bedmebdebebeem，即2beem de，得解得12x，210 x（舍去）即线段be的长为 2综上所述，所求线段be的长为 8 或 2【例 2】 （

11、山东青岛） （1）在 rtabc中，522acbcab，由题意知：ap = 5 t，aq = 2t，若pqbc，则apq abc，acaqabap，5542tt，710t（2）过点p作phac于haph abc，bcphabap，3ph55t，tph533，ttttphaqy353)533(221212（3）若pq把abc周长平分，则ap+aq=bp+bc+cq)24(32)5(tttt，解得：1t若pq把abc面积平分，则abcapqss21，即253t3t=3 t=1代入上面方程不成立，不存在这一时刻t，使线段pq把 rtacb的周长和面积同时平分（4）过点p作pmac于，pnbc于n，若

12、四边形pqp c是菱形，那么pqpcpmac于m，qm=cmpnbc于n，易知pbnabc图b a q p c h abbpacpn，54tpn，54tpn， 54tcmqm，425454ttt，解得：910t当910t时，四边形pqp c 是菱形此时37533tpm，9854tcm，在 rtpmc中，9505816494922cmpmpc，菱形pqp c边长为9505【例 3】 （山东德州） （1）mnbc，amn=b，anmc amn abc amanabac，即43xan an43xs=21 332 48mnpamnssx xx （ 0 x 4）（2）如图（ 2） ，设直线bc与o相切于

13、点d，连结ao，od，则ao=od =21mn在 rtabc中，bc 22abac=5由（ 1）知amn abc ammnabbc，即45xmn 54mnx， 58odx过m点作mqbc于q，则58mqodx在 rtbmq与 rtbca中，b是公共角， bmqbca bmqmbcacp b a q p c 图m n a b c m n d 图（ 2 ）o q a b c m n p 图（1）o 55258324xbmx，25424abbmmaxxx4996当x4996时，o与直线bc相切（ 3）随点m的运动，当p点落在直线bc上时，连结ap，则o点为ap的中点mnbc，amn=b，aomapc

14、 amo abp12amaoabapammb 2故以下分两种情况讨论： 当 0 x 2 时，283xsypmn 当x 2时，2332.82y最大 当 2x 4 时，设pm，pn分别交bc于e，f 四边形ampn是矩形，pnam，pnamx又mnbc， 四边形mbfn是平行四边形fnbm4x 424pfxxx又pef acb 2pefabcspfabs 2322pefsxmnppefyss222339266828xxxx当 2x4 时，29668yxx298283xa b c m n p 图（ 4 ）o e f a b c m n p 图（3）o 当83x时，满足2x4，2y最大综上所述，当83

15、x时，y值最大，最大值是2【例 3】 （山东德州） （1） mnbc， amn=b， anm c amn abcamanabac，即43xan an43xs=21 332 48mnpamnssx xx （ 0 x4）（2）如图（ 2） ，设直线bc 与 o 相切于点d，连结 ao，od，则 ao=od =21mn在 rtabc 中， bc 22abac=5由（ 1）知amn abcammnabbc，即45xmn54mnx，58odx过 m 点作 mqbc 于 q，则58mqodx在 rtbmq 与 rt bca 中， b 是公共角， bmq bcabmqmbcac55258324xbmx，25

16、424abbmmaxx x4996 当 x4996时， o 与直线 bc 相切（3）随点 m 的运动，当p 点落在直线bc 上时，连结ap，则 o 点为 ap 的中点 mnbc， amn=b， aom apc amo abp12amaoabap ammb 2a b c m n d 图（ 2 ）o q a b c m n p 图（3）o a b c m n p 图（1）o 故以下分两种情况讨论： 当 0 x2 时，283xsypmn 当x 2时，2332.82y最大 当 2x 4 时，设 pm，pn 分别交 bc 于 e，f 四边形 ampn 是矩形， pn am，pnamx又 mnbc， 四边

17、形 mbfn 是平行四边形 fn bm4x424pfxxx又 pef acb2pefabcspfabs2322pefsxmnppefyss222339266828xxxx当 2x4 时，29668yxx298283x 当83x时，满足2x4，2y最大综上所述，当83x时，y值最大，最大值是2【学力训练 】1、 （山东威海） （1）分别过d，c 两点作 dgab 于点 g，chab 于点 h ab cd， dgch， dgch 四边形 dghc 为矩形， ghcd1 dgch， adbc， agd bhc90 ， agd bhc（hl ） a b c m n p 图（ 4 ）o e f c d

18、a b e f n m g h agbh2172ghab3 在 rtagd 中， ag 3，ad5， dg4174162abcds梯形（2） mnab，meab，nfab， menf，menf 四边形 mefn 为矩形 ab cd，adbc， a b menf， mea nfb 90 ， mea nfb（aas ） ae bf设 ae x，则 ef72x a a， mea dga90 ， mea dgadgmeagae mex346494738)2(7342xxxefmesmefn矩形当 x47时， me374，四边形mefn 面积的最大值为649（3）能由（ 2）可知，设aex，则 ef 7

19、2x， mex34若四边形 mefn 为正方形，则meef即34x7 2x解，得1021x ef21147272105x4c d a b e f n m g h 四边形mefn能为正方形，其面积为251965142mefns正方形 . 2、 （浙江温州市） （1）rta，6ab，8ac，10bc点d为ab中点，132bdab90dhba，bbbhdbac，dhbdacbc，3128105bddhacbc（2）qrab，90qrcacc，rqcabc，rqqcabbc，10610yx，即y关于x的函数关系式为：365yx（3）存在，分三种情况：当pqpr时，过点p作pmqr于m，则qmrm129

20、0，290c，1c84cos1cos105c，45qmqp，1364251255x，185x当pqrq时，312655x，6x当prqr时，则r为pq中垂线上的点，于是点r为ec的中点，a b c d e r p h q m 2 1 a b c d e r p h q a b c d e r p h q 11224crceactanqrbaccrca，366528x，152x综上所述，当x为185或 6 或152时，pqr为等腰三角形3、 （湖南郴州） （1）因为四边形abcd是平行四边形，所以abdg所以,bgcegbfe所以befceg（ 2）befceg与的周长之和为定值理由一：过点c作

21、fg的平行线交直线ab于h，因为gfab，所以四边形fhcg为矩形所以fhcg，fgch因此，befceg与的周长之和等于bcchbh由bc10，ab 5，am4，可得ch8，bh6，所以bcchbh24 理由二：由ab5，am4，可知在 rtbef与 rtgce中，有：4343,5555efbebfbegeecgcce，所以，bef的周长是125be， ecg的周长是125ce又bece10，因此befceg与的周长之和是24（ 3）设bex，则43,(10)55efxgcx所以211 43622(10)522 55255yef dgxxxx配方得：2655121()2566yxamxhgfedcb所以，当556x时，y有最大值最大值为12164、 （浙江台州） （1）如图，四边形abcd是矩形，abcdadbc，