求数列通项公式的三种常用方法

1、、求数列通项公式的三种常用方法1利用Sn与an的关系;2、累加（乘）法;3、构造法（或配凑法、待定系数法）1、利用Sn与an的关系求通项公式:利用Tse当n=1时；，当n _2时.注意：当S|也适合Sn-Sn-1时，则无需分段（合二为一）例1、设数列an的前n项和为Sn=2n2，g为等比数列，印=0且b2（a?（I）求数列an和bn的通项公式;解: (1)当n 2时,an 二Sn -sn=2n2 -2(n -1)2 二 4n -2,当n = 1时,a1 = S = 2;也满足上式。故an的通项公式为an =4n-2,设bn的公比为 q , 则qdbnd =4, .41故 h = dq = 2

2、"TTjn 1 ,442 即bn的通项公式为0二4例 2、数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1 =1,Sn 二 3an -1, n = 1,2,3,，求:(1) a2的值。(2)数列an的通项公式；1 111 解: (1 )由 a1 = 1, an 1Sn, n = 1,2,3,得 a2 S 3.3333由 an1 an =3(SnSnJ=3an( n 一 2),33得an |an,(n 一 2),即a 又a2 二1,所以 ann _2).33 32, a3, a4,是以a2为首项,=4为公比的等比数列3n,所以，数列an的通项公式为an J；i_(f n >23(3)例3

3、已知函数f (x) = a x 2 + bx 3的图象关于直线3列 an,若其前n项和Sn满足Sn = f (an)(I)求a , b的值；(n)求数列an的通项公式；n =1,(n 二 N3x=-2)对称，且过定点(1,0);对于正数(I 函数f (x)的图象关于关于直线 a电2a3x=2对称,其图象过点(1,0),由得a=32 , 2则 a+b3 =0 12 -2x3b=3a 16 , b= o1 + -2 1 an 4 -21,Sn"(an)=6a1 2(n)由(I)得 f(x) xSz=6an2 -31 2 2 1 (an -an j ) an6 21二(an anJ)= 0

4、，(an an 4 )(an 一 an3) = 0 2nJ =3 , an是公差为3的等差数列，且两式相减得an 1 / 2匚(an -a6Van 0,. an-anJ)12 丄 122 cai = $a1a1a1 一 3a1 - 4 =623 a1 = 4 (a1 =1 舍去) an =3n+12、累加(乘)法：例如：1、an 1 = an2n-1.2、a. 1 = a3n+2.3、n-1anan 2-1.4、a. 1 一 an0n(n+1)例如：1 an41 = 2nan.2、 an 1n+1an3、配凑法或待定系数法或构造法:例如：1an 1= 2an12、2 an 1 = an1.3、

5、3 an 1 = an2.解：方法一配凑法(或拆配法):an 1 = 2an 1.-an i+2an 2即ani+1=2 (an 1)an+1 +1 =2an 1令bn二an 1,则有也=2,bn故bn是以b1=a11=2为首项，以q=2为公比的等比数列因此 bn 二 0 qn=2 2n-1=2n.从而an - 1= 2n.即an=2n-1.解：方法二待定系数法.设an2an 1 可化为 an 1+A =2(an - A.贝 U 2A -A=1 即 A =1故 an1+1 =2an * 2可化为 an1+1 = 2 (a. T).即 az+1 =2.an 1令bn二an 1,则有也=2,bn故

6、bn是以b1=a11=2为首项，以q=2为公比的等比数列。因此 bn 二 D qn=2 2n-1=2n.从而 an 1=2n.即 an=2n-1.例如：1an 2 二 3an+1 -2an.2、3an 2 二 4an+1 -an .3、an 2 二 2an+1 +3an 配凑法4、3an 2 二 7an+1 -2an 2、解：方法一t 3an 2 二 4an 1 -an-3an 2-3an 1 = an 1-an即 3 ( an -2 -an -1)= an 1 -an -an 2 -an -1an 1 -an令bn =3时£.,则有= 1 ,bn 3故bn是以b1= 32-31为首

7、项，以q= 1为公比的等比数列3因此 bn = b qn =从而an，1-3n=bn（转化成为类型1 ,用累加法可求出3.）解：方法二配凑法I I » 3an 2 二 4an 1-an.3an 2-an 1 3an 1 -an.令 bn = 3an 1-an,则 bn=3a2-a=C（常数）故bn每一项均等 于3a2-a1的常数列。因此 3an 1-an=C转化成为类型2,再用类型2的方法可求出an.解：方法二待定系数法.设3an2 -4an屮-an可化为|aP =1a=1j 3即n 1或tI40 =丄0 +o(二3.3.卜二1b=1得an42 -an413二 4an 1 -an化为

8、 an 2 -an 1=3( an 1 -an)3将3an 2-=11:-=3an 2- an 1 二：(an 1 -> an)=-(an .1 -an)即 an 2-an1 =-3an 1 -an 3an i -anbn+11令bnf则有bn =3,故0是以b1=a2-a1为首项，以q= 1为公比的等比数列。3因此 bn = b qn=.从而 an -1 -an =.即已转化为类型1,用累加法可以求出an .解：方法四待定系数法.设 3an .2 二 4an 1 -an可化为 an .2-' an .1 二(an 1- an).ia则IpI3卜=1$=1即一 1或 1 :二一用

9、=I 3 I 31:-=取t 3P=13 an 42-an-H = 3aH -an将 3an 2 二 4an 1-an化为3an 2-an 1 3an 1 -an 令bn二3an1-an,则bn是每项为3a2-a1的常数列。 即已经转化为类型2，再用类型2的方法可以 求出an.注意：1、有时可能将两种或者多种方法综合使用：例 设数列Q*的前n项和为Sn，已知a1 = 2, a 8, Sn ! 4S 5Sn n - 2 ,Tn是数列Jog 2 an ?的前n项和.（i）求数列a ? 的通项公式;(2)求Tn ；(3)1、(1 '1N ( 1 )1 -<T2丿1 -I求满足1010的

10、最大正整数2013n的值.(1)解:当 n _ 2 时,Sn 1' 4Sn J 5Sn ,4 q - Sn.（配凑法或待定系数学法）a1 = 2 2 242 ,a2-a? = 4a<|.数列aj是以a1= 2为首项，公比为4的等比数列.2nd2ndn 4=2(2)解:由(1)得：log 2 an = log 2 22n2n - 1,- Tn二 log 2 a1log 2 a? ' |l|log13 川 2n - 1n 1 2n -1(3)解：IH - 1小21丄介2III ”1 - 1 12< 2丿'、3 ）< n丿2 2 22 - 13 - 14-

11、110分1 -3 -2 -4 -3 ，5- n -1ji n 1小2小2,2, ,223411( n11分n 12n令牙1010，解得：n ： 287 -.2013713分故满足条件的最大正整数 n的值为287.14分例如: 设数列：an 的前n项和为Sn，数列 g的前n项和为Tn，满足人=2& - n2, n N * (1 )求a1的值；(2)求数列 a 1 的通项公式。2 *【解析】(1)在 丁*=2£ -n, n N 中，令 n = 1=2&-1= a1 = 12 2(2) Tn =2Sn -n , Tn.1 =2Sn.1 -(n 1)，相减得：Sn2Sn -

12、(2n 1) 从而 Sn 2 =2Sn 1 (2n 3)，相减得：an.2 =2an2 a1 =1= S2 = 2S1 3 ：= a2 = 4，得 an = 2an 2a. 1 =2an 2= a. 12 =2&2)得：数列an 2是以印 2 =3为首项，公比为2的等比数列n 1n 1an 2=3 2 uan=3 2-2【评注】本题主要考查数列的有关知识，涉及了“数列前n项和”概念的正确理解，重点考查了数列 的前n项和为Sn与通项an的关系，以及由一阶常系数线性递归关系 求通项公式的常用方法一一配凑法或待定系数法、累加法等，还考查了等比数列的有关知识。=n2ann _ 1 an，即例4

13、已知数列、an 的首项aj =1，前n项和Sn2(I)求数列 a】 的通项公式;12解:由a-2，2Si d _ (n-0 an A ,2 2得：an =Sn -Sn=n an - (n -1)an _ an an 4 出 a3 a2 a1an 4 an -2a2 a1n -1 n -22 124厂丽托1n(n 1)例5若数列laj的前n项和为Sn,印=2且Sn14an-2(n -1,2,311).(I )求 a2,ag ；(II)求证：数列an -2an是常数列;注意：2、有时要根据递推关系的结构特点进行适当的“变形”处理:例如已知数列曲，寺(n N)求证：数列丿丄 > 为等差数列;0 '设bn =an色十(n N +),数列也的前n项和为Sn，求满足Sn a的最小2012 正整数n .a证明与求解：由a1 = 1与an dn 得an = 01分,(2n -1)(2n 1)2an +112an 十11八=2 +3分，a n +an