数学建模综合评价类问题课件

1、 姓名： 常志勇 统计学系 电话： 电子邮箱： 0.评价问题 “评价”为衡量评定人或事物的价值。新华字典 如：咱们班谁最高？谁家最有钱？ 谁是高富帅？一个树的价值是？第一节第一节 综合评价方法的基本概念 综合评价的问题综合评价的问题: :对被评价对象所进行的对被评价对象所进行的客观、公正、合理客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象被评价对象( (或系统或系统) )，每个被评价对象往往都涉及到，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）多个属性（或指标）。 综合评价的目的综合评价的目的: :根据系统的属性判断确

2、定这些系统的运行根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排排序或分类序或分类。这类问题又称为这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题多属性（或多指标）的综合评价问题。如：如：教师绩效测评教师绩效测评。 综合评价的应用综合评价的应用: :研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。管理、工

3、程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。 构成综合评价问题的五个要素分别为构成综合评价问题的五个要素分别为: :被评价对象、评价指标、被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。权重系数、综合评价模型和评价者。1.1.被评价对象被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于对象是属于同一类的，且个数要大于1 1，不妨假设，不妨假设一个综合评价问题中有一个综合评价问题中有 个被评价对象（或系个被评价对象（或系统），分别记

4、为统），分别记为 。 2.2.评价指标评价指标 评价指标评价指标是反映被评价对象是反映被评价对象( (或系统或系统) )的运行的运行( (或发展或发展) )状况的基本要素。通常的问题都是有状况的基本要素。通常的问题都是有多多项指标项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个综合评价问题的评价指标一般可用一个一个向量向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为系统的状态，即称为综合评价的指标体系。综合评

5、价的指标体系。 n12,(1)nS SS n 3 3权重系数权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用 来表示评价来表示评价指标指标 的的权重系数权重系数，则应有则应有 且且 。jw(1,2,)jxjm0(1,2,)jwjm11mjjw 评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性评价指标体系应遵守的原则：系统

6、性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 个评价指标（或属个评价指标（或属性），分别记为性），分别记为 ，即评价指标向量为，即评价指标向量为 。 12,(1)mx xxm m12( ,)Tmx xxx 注意到注意到: :当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最

7、后决策的正确性。决策的正确性。4.4.综合评价模型综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题对于多指标（或多因素）的综合评价问题, ,就是要通过建立合就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合整体的综合评价指标评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。 不妨假设不妨假设n n个被评价对象的个被评价对象的m m个评价指标向量为个评价指标向量为 指标权重向量为指标权重向量为 ，由此构造综合评价函数为，由此构造综合评价函数为 。 12( , ,)Tmx xxx

8、12(,)Tmw www( , )yfw x 如果已知各评价指标的如果已知各评价指标的 个观测值为个观测值为 5 5 ，其中，其中 ，则可以计算出各系统的综合，则可以计算出各系统的综合评价值评价值 ， 。根据。根据 值的大小将这值的大小将这 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。5.评价者评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关

9、。系数的确定都与评价者有关。 n (1,2, ;ijxin1,2,)jm( )( ,)iiyfw x( )12(,)iTiiimxxxx(1,2, )in(1,2, )iy inn综合评价的一般步骤：综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值综合评价模型；计算各系统的综合评价值, ,并给出综合评价结

10、果。并给出综合评价结果。构造权重的方法构造权重的方法多元统计方法，如多元回归、主成分分析、多元统计方法，如多元回归、主成分分析、因子分析等。因子分析等。模糊数学方法：由模糊数学发展而来，包括模糊数学方法：由模糊数学发展而来，包括模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。简易方法：主要包括头脑风暴法、层次分析简易方法：主要包括头脑风暴法、层次分析法、法、Topsis法、秩和比法等法、秩和比法等1. 其他，如：数据包络分析法，熵值法等其他，如：数据包络分析法，熵值法等 第二节第二节 模糊综合评判综合评判是综合决策的内容。模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元

11、决策下面以电脑评判为例来说明如何评价。某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、多媒体部件等）”；”价格”。于是请同宿舍几个同学一起去买电脑。1u=“运算功能（数值、图形等）”；2u=“存储容量（内、外存）”；3u=“运行速度（CPU、主板等）”；4u=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；5u=“价格”。,54321uuuuuU 称因素集。为了数学处理简单，先令评语集,4321vvvvV 其中1v=“很受欢迎”；2v=“较受欢迎”；3v=“不太受欢迎”；=“不受欢迎”；4

12、v任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。若一个给定的电脑，对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有人认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为,1u1u)0 , 3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0(1R同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置 和价格2u3u4u分别作出单因素评价，得5u) 1 . 0 , 5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0(2R) 1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 0(3R)3 . 0 , 6 . 0 , 1 . 0 , 0(4R组合成评判矩阵4,R3,R2,R1,R5(

13、0.5,0.3,0.2,0.0)R 5RR0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0R对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于是得各因素的权重分配向量：(0.1,0.1,0.3,0.15,0.35)A 作模糊变换：存储容量 运行速度 外设配置 价格运算功能 BA R(0.1 0.1 0.3 0.15 0.35)0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 .

14、 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.15

15、0.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.00.35,0.10.3,0.150.2,0.050.0)15. 0 , 3 . 0 , 3 . 0 ,35. 0(若进一步将结果归一化得：)14. 0 ,27. 0 ,27. 0 ,32. 0(B结果表明，该用户对这种微机表现为“最受欢迎”的程度为0.32，“较受欢迎”和“不太受欢迎”的程度为0.27，“不受欢迎”的程度

16、为0.14。按最大隶属原则，结论是：该电脑“很受欢迎”。模糊数学知识简介 设设U是论域，映射是论域，映射A(x)：U0,1确定了一确定了一个个U上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的隶的隶属函数，它表示属函数，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经可见经典子集就是模糊子集的特殊情形典子集就是模糊子集的特殊情形.例 设论域U = x1 (1

17、40), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：140190140)(xxA100200100)(xxA65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA隶属函数的确定隶属函数的确定 1. 1. 模糊统计方法模糊统计方法 2. 2. 指派方法指派方法 3. 3. 借用已有的借用已有的“客观客观”尺度尺度

18、(A) = A = x | A(x) - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一个经典集合，由隶是一个经典集合，由隶属度不小于属度不小于 的成员构成的成员构成. . 例：论域例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6( (学生集学生集) )，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩好的学生习成绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者) = u5

19、 , u6,A0.6 (60分以上者分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.常用的综合评判模型 1、主因素决定型 2、主因素突出型 3、加权平均型),( M),(M),(M),( M第三节第三节 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Proce

20、ss) AHP一种一种定性与定量相结合的、定性与定量相结合的、系统化、层次化系统化、层次化的分析方法的分析方法目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例. . 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C

21、，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11Aijjiijn

22、nijaaaaA1, 0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CC

23、a 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,) 1(21jiijwwa/令权向量),(21Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij, 2 , 1,满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的

24、归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1

25、/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为

26、n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij , 形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR = CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选

27、择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.073权向量权向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验组合权向量组合权向量记第记第2层

28、（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为Tnwww),()2()2(1)2(同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 权向量权向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.

29、00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw组合组合权向量权向量第第1层层O第第

30、2层层C1,Cn第第3层层P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量,)3()3(1)3(nwwW构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩阵层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深

31、入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组

32、合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。二二. . 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。 构造成对比较阵

33、是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择过河的效益过河的效益 A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交

34、交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择(2002(2002年赛年赛) )过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构

35、）过河代价层次结构例例3 横渡横渡江河、海峡江河、海峡方案的抉择方案的抉择待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价三三. 层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接是否为正向量？一致性指标能否反映正

36、互反阵接近一致阵的程度？近一致阵的程度？ 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ 为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析法？1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理定理1 1 正矩阵正矩阵A 的的最大特征根最大特征根 是正单根，对应是正单根，对应正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1 (,lim定理定理2 2 n阶阶正互反阵正互反阵A的最大特征

37、根的最大特征根 n , = n是是A为一致阵的充要条件。为一致阵的充要条件。 正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指标一致性指标 定义合理定义合理1nnCI2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。其某种意义下的平均。（1）和法）和法取列

38、向量的算术平均取列向量的算术平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量归一化归一化算术算术平均平均wAw精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010(2)根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均(3)幂法幂法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，

39、设置精度，设置精度 )()1(kkAww2) 计算计算nikikkwww1)1()1()1(/3）归一化）归一化nikikiwwn1)()1(15) 计算计算简化简化计算计算4）若）若 ，停止；，停止；否则，否则，k:=k+1, 转转2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应问题问题一致阵一致阵A, 权向量权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用拟

40、合方法确定用拟合方法确定w非线性非线性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai线性化线性化对数最小二乘对数最小二乘结果与根法相同结果与根法相同 按不同准则确定的权向量不按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。同，特征向量有什么优点。成对比较成对比较Ci:Cj (直接比较）直接比较） aij 1 1步强度步强度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较aij(2) 2步强度步强度更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度步强度kaaAkijkijk),()()(多步累积效应多步累积效应体现体现多步累积效应多步累积效应), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量体现特征向量体现多步累积效应多步累积效应当当k足够大足