常州市教育学会高三数学学生学业水平监测

1、常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题2014 年 1 月参考公式：样本数据1x ，2x ， ，nx 的方差2211()niisxxn，其中 x =11niixn一、填空题：本大题共14小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 设集合21ax xxr，20bxx，则 ab = 2 若1i1iimn （ mnr， i 为虚数单位），则mn 的值为3 已知双曲线2221(0)4xyaa的一条渐近线方程为20 xy，则 a 的值为4 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80 名， 50 名现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学

2、生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为5 某市连续5 天测得空气中pm2.5（直径小于或等于2.5 微米的颗粒物 ）的数据（单位：3/gmm）分别为 115，125，132，128，125，则该组数据的方差为6 函数222sin3cos4yxx的最小正周期为7 已知 5 瓶饮料中有且仅有2 瓶是果汁类饮料从这5 瓶饮料中随机取2 瓶，则所取2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为8 已知实数x ，y满足约束条件333xyyx，则225zxy 的最大值为9 若曲线1c ：43236yxaxx 与曲线2c ：exy在1x处的切线互相垂直，则实数a 的值为10给出下列命题：（1）若两个平

3、面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面则其中所有真命题的序号为 11已知,6 6p pq，等比数列na中，11a，343tan 39aq，若数列na的前 2014 项的和为0，则q的值为12已知函数f(x)201,02(1) ,xxxx，若( 2)( )fff k ，则实数k 的取值范围为13在 abc 中，角 a， b，c 的对边分别为a， b，c，若t a n7t a

4、 nab，223abc，则 c 14在平面直角坐标系xoy 中，已知圆o：2216xy，点(1,2)p，m，n 为圆 o 上不同的两点，且满足0pmpn若 pqpmpn ，则 pq 的最小值为 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c设向量( , )ma c ，(cos,cos)nca （1）若 mn，3ca ，求角 a；（2）若3 sinm nbb ，4cos5a，求cosc的值16（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱111a b cabc 中

5、， abbc，e，f 分别是1a b ，1ac 的中点（ 1）求证： ef平面 abc；（ 2）求证：平面aef平面11aab b ；（ 3）若1222a aabbca，求三棱锥fabc的体积17（本小题满分14 分）设等差数列 na的公差为d，前 n 项和为ns ，已知35sa ，525s（1）求数列 na的通项公式；（2）若p，q为互不相等的正整数，且等差数列nb满足pabp ，qabq，求数列 nb的前n项和nt 18（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆abmopqlxy（第 18 题）fbcea1a1b1c（第 16 题）e:22221(0)xyabab的右准线为直线

6、l， 动直线 ykxm (00)km，交椭圆于 a，b 两点，线段 ab 的中点为m，射线 om 分别交椭圆及直线l 于 p，q 两点，如图若a，b 两点分别是椭圆 e 的右顶点，上顶点时，点q 的纵坐标为1e（其中 e为椭圆的离心率），且5oqom （1）求椭圆e 的标准方程；（2）如果 op 是 om，oq 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由19（本小题满分16 分）几名大学毕业生合作开设3d打印店， 生产并销售某种3d产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分

7、是其它固定支出20000元假设该产品的月销售量( )t x（件）与销售 价 格x（ 元 / 件 ） （xn） 之 间 满 足 如 下 关 系 ： 当3 46 0 x时 ，2()(5 )1 0 0 5 0txax；当6070 x时，( )1007600t xx设该店月利润为m（元），月利润=月销售总额月总成本（1）求m关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润m的最大值及此时产品的销售价格20（本小题满分16 分）已知函数( )lnaf xxxx，ar（1）当0a时，求函数( )f x的极大值；（2）求函数( )f x的单调区间；（3）当1a时，设函数( )(1)11ag xf xxx

8、，若实数b满足：ba且( )1bgg ab，( )22abg bg，求证：45b常州市教育学会学生学业水平监测数学（附加题）2014 年 1 月21【选做题】在a、b、c、d 四小题中只能选做两题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修 41：几何证明选讲如图，等腰梯形abcd内接于o， abcd过点 a 作o的切线交 cd 的延长线于点e求证： dae =bac. b选修 42：矩阵与变换已知直线:0l axy在矩阵a0112对应的变换作用下得到直线l，若直线l过点（ 1, 1），求实数 a 的值c选修 44：坐标系与参数方程在极

9、坐标系中，已知点(23,)6pp，直线:cos()2 24lprq，求点 p 到直线 l 的距离d选修 45：不等式选讲（第 21-a 题）aeocdb已知1x，1y，求证：22221xx yxyyxy【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分10 分) 如图，三棱锥p abc 中，已知平面pab平面 abc，acbc，ac=bc=2a，点 o，d 分别是ab，pb 的中点， poab，连结 cd（1）若2paa，求异面直线pa 与 cd 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角apbc 的余弦

10、值的大小为55，求pa23（本小题满分10 分）设集合a，b 是非空集合m 的两个不同子集，满足：a不 是b 的子集，且b也不是 a的子集（ 1）若 m=1234,a a aa，直接写出所有不同的有序集合对( a,b) 的个数；（ 2）若 m=123,na aaa，求所有不同的有序集合对( a,b) 的个数abcdop（第 22 题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14 小题，每小题5分，共 70 分1 0,12131415 531.6（写成1585也对）6 p7710812913e10（ 1）（ 2）119p1212(log9,4)134 14

11、 3 35二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（ 1） mn，coscosaacc由正弦定理，得sincossincosaacc化简，得sin2sin2ac2 分,(0,)a cp ，22ac或22acp，从而ac（舍）或2acp2bp4 分在 rtabc 中，3tan3aac，6ap6 分（ 2）3 cosm nbb ，coscos3 sinaccabb由正弦定理，得2sincossincos3sinaccab ，从而2sin()3sinacb abcp， sin()sinacb 从而1sin3b 8 分4cos05a，(0,)ap ，

12、(0,)2ap，3sin5a10 分sinsinab，ab，从而ab，b 为锐角，2 2cos3b 12 分 coscos()coscossinsincababab=4223138 253531514 分16证明：（ 1）连结1ac 直三棱柱111abcabc 中，11aac c 是矩形，点 f 在1ac 上，且为1ac 的中点在1abc 中， e，f 分别是1a b ，1ac 的中点，efbc 2 分又 bc 平面 abc， ef平面 abc，所以 ef平面 abc4 分（2）直三棱柱111a bcabc 中，1b b平面 abc，1b bbcefbc，abbc， abef，1b bef6

13、分1b babb， ef平面11abb a 8 分ef 平面 aef，平面aef平面11abb a 10 分（ 3）11111223fabcaabcabcvvsaa12 分=3211122326aaa14 分17解：（ 1）由已知，得11133451025adadad，解得11,2.ad4 分21nan6 分（2）p，q为正整数，由（ 1）得21pap，21qaq 8 分进一步由已知，得21pbp，21qbq10 分 nb是等差数列，pq， nb的公差1222qpdqp12 分由211(22)bbbpdp ，得11b21(1)324nn nnntnbd14 分18 解：当 a，b 两点分别是椭

14、圆e 的右顶点和上顶点时，则( ,0)a a，(0, )bb ，(,)2 2a bm21(,)aqce，由 o，m，q 三点共线，得21beaac，化简，得1b 2 分5oqom ，252aca，化简，得25ac 由222125abcbac，解得225,4.ac4 分（ 1）椭圆 e 的标准方程为2215xy6 分（ 2）把(0,0)ykxm km，代入2215xy，得222(51)10550kxmkxm8 分当0，22510km时，2551mmkxk，251mmyk，从而点225(,)51 51mkmmkk10 分所以直线om 的方程15yxk由221515yxkxy，得2222551pkx

15、k12 分 op 是 om，oq 的等比中项，2opomoq ，从而22252(51)pmqmkxxxk14 分由2222525512(51)kmkkk，得2mk，从而2mk，满足0 15 分mk为常数216 分19解：（ 1）当60 x时，(60)1600t，代入2( )(5)10050t xa x，解得2a2 分2( 22010000)(34)20000,3460,( )( 1007600)(34)20000,6070,.xxxxxm xxxxx即32224810680360000,3460,( )1001100278400,6070,.xxxxxm xxxxx 4 分（注：写到上一步，不

16、扣分）（2）设2( )( 22010000)(34)20000g uuuu，3460u，ur，则2( )6(161780)g uuu令( )0g u，解得182461u（舍去），282461(50,51)u7 分当3450u时，( )0g u，( )g u 单调递增；当5160u时，( )0g u，( )g u 单调递减 10 分 x ，(50)44000m，(51)44226m，( )m x 的最大值为44226 12 分当6070 x时，2( )100(1102584)20000m xxx单调递减，故此时( )m x 的最大值为(60)216000m 14 分综上所述，当51x时，月利润(

17、 )m x 有最大值44226元15 分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件 16 分20解：函数( )fx 的定义域为(0,) （ 1）当0a时，( )lnf xxx ，1( )1fxx，令( )0fx得1x 1 分列表：x (0,1)1(1,)( )fx+ 0 ( )f x极大值所以( )f x 的极大值为(1)1f3 分(2) 2221( )1axxafxxxx令( )0fx，得20 xxa，记14a（）当14a时，( )0fx，所以( )f x 单调减区间为(0,) ； 5 分（）当14a时，由( )0fx得12114114,22aaxx，若104a，

18、则120 xx，由( )0fx，得20 xx ，1xx ；由( )0fx，得21xxx 所 以 ，( )f x的 单 调 减 区 间 为114(0,)2a，114(,)2a， 单 调 增 区 间 为114114(,)22aa；7分若0a，由（ 1）知( )f x 单调增区间为(0,1) ，单调减区间为(1,) ；若0a，则120 xx ，由( )0fx，得1xx ；由( )0fx，得10 xx ( )f x 的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a 9 分综上所述：当14a时，( )f x 的单调减区间为(0,) ；当104a时，( )f x 的单调减区间为114(0,)

19、2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；当0a时 ，( )f x单 调 减 区 间 为114(,)2a， 单 调 增 区 间 为114(0,)2a10 分（ 3）( )ln(1)g xx（1x）由()( )1bgg ab得1lnln(1)1ab1ab，11ba(舍)，或 (1)(1)1ab21(1)(1)(1)abb，2b12 分由( )2 ()2abg bg得，1ln(1)2 ln(1)2 ln(1)(1)(*)22abbab，因为11(1)(1)=12abab，所以（ *）式可化为1ln(1)2ln(1)(1)2bab，即21111 21bbb（） 14 分令1(1

20、)bt t，则211()2ttt，整理，得4324210ttt，从而32(1)(31)0tttt，即32310ttt记32( )31,1h ttttt2( )361h ttt，令( )0h t得2 313t（舍），2313t，列表：t2 3(1,1)32 3(1,)3( )h t+ ( )h t所以，( )h t 在23(1,1)3单调减，在23(1,)3单调增，又因为(3)0, (4)0hh，所以34t，从而45b16 分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学（附加题）参考答案21、【选做题】在a、b、 c、 d 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计20 分a选修 41：几何证明选讲

21、证明： abcd 是等腰梯形， ab cd， ad=bc从而adbc acd=bac. 4 分ae 为圆的切线，ead= acd. 8 分 dae=bac. 10 分b选修 42：矩阵与变换解：设( , )p x y 为直线l上任意一点，在矩阵a对应的变换下变为直线l上点(,)p x y，则0112xxyy，化简，得2,.xxyyx4 分代入0axy，整理，得(21)0axay8 分将点（ 1, 1）代入上述方程，解得a=-110 分c选修 44：坐标系与参数方程解：点 p 的直角坐标为(3,3) ，4 分直线 l 的普通方程为40 xy，8 分从而点 p 到直线 l 的距离为334262210 分d选修 45：不等式选讲证明：左边 - 右边 =2222()(1)1(1)(1)1yyxyxyyyxy x 4 分= (1)(1)(1)yxyx，6 分1x，1y，0,0,0111yxyx8 分从而左边 -右边 0，22221xx yxyyxy10 分【必做题】第22 题、第 23