总结求线性方程组的方法

1、总结求线性方程组的方法标准化文件发布号：（9556-EUATWKMWUB-WUNNINNULDDQTYKII华北水利水电大学总结求线性方程组的方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2014年12月31日摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它 广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向 量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线 性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内 容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉 莫法则，高斯消元法来来求解。关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则；Summar

2、y for the method of liner equationsAbstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra .If is widely used in mathematics and other areas It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relati

3、on. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gausselimination method to solve.Key words: System of linear equatio

4、ns; Gauss elimination method ;Kramer law14正文lx引言线性代数和高等数学中线性方程组理论是的其中的的重要组成 部分。线性方程组的求解特殊线性方程组和克拉默法则以及高斯消 元法，在线性代数课本中以及高数课本中都有相当详细的介绍和解 法。本文主要研究的对象是齐次线性方程组以及非齐次线性方程组 的解法和基本构成。和非齐次线性方程组和齐次线性方程组它们之间最主要求别就 在于常数项全部为零齐次线性方程组：求其基础解系的方法，一般是对系数矩阵A 进行初等变换然后使之成为行最简矩阵，从而得出与原方程组的同 解方程组，然后再通过自由变量来得出原方程组的基础解系。非齐次

5、线性方程组：本文通过增广齐次方程组和增广齐次方程 组的条件解的概念，然后求増广齐次线性方程柿严1的条件解，然后 进一步的求出一般线性方程组的通解2正文内容2.1线性方程组的概念1 线性方程组一般形式为勺內+如勺+%£=$<“”內+“加勺+仏兀二乞2.线性方程组矩阵的一般形式：A =«21a2 “22 «2«.b =b2( XX2am2心丿Ax = bA为系数矩阵，为常数项向量,x为未知数向量3.（4 b）为增广矩阵増广矩阵（A b）:a2n b2增广矩阵（A b）记为刁22线性方程组解的判断平时在解某一些方程时要讨论解的情况在解线性方程组中也一 样

6、要讨论线性方程组的解的情况。一般情况下我们在求线性方程组 之前，一般我们先讨论判断线性方程组解的情况，线性方程组的解 有可能只有一个。同时也有可能没有解即无解。有可能有无穷多个 解。这三种情况。这些情况必须讨论不能有任何的疏忽。设；心"为非齐次线性方程组。其中R（A）为系数矩阵A的秩， R（A ）为增广矩阵（A b）的秩。则有R（A /?）=/?（A）n时，方程有无穷多个解。R（A b）=R（A）=n时，方程有唯一的解。R（A b）=R（A）n时，方程无解。2.3克拉默法则克拉默法则是线性代数方程组的一个很好的求解方法，是我们 学习求解线性代数方程组的主要方法之一。对于齐次线性方程组

7、方 程组来说，有一个零解（0,0,0）。所以对齐次线性方程组的研究就是 齐次线性方程组什么时候有非零解和非零解的形式是什么。5州+如勺+ 5”兀勺円+%勺+- +%£ “2的系数矩阵",”内 + 4”2兀2 + +。”血=®即 «12细_«21U22U2n/> = . . _a,n a,nl %_的行列式=同工0那么线性方程组有解，而且它的解唯一4 乩Cin严万,廿才，"万其中心是把矩阵A中第/列换成方程组的常数项久俵,妇 所成 的行列式例题1 :解线性方程组2x, + x2 一 5x3 + x4 = 8%）_ 3x2 _ 6x

8、4 = 9<2x2 一 七 + 2x4 = -5%! + 4x2 一 7x3 + 6x4 =)11-3241-3241-324-50-1-71-626=27工0所以 =27-50-1-789-5016261626=81= -272101210189-501-324-50-1-7-50-1-71626= -10889-50=27则 k,x2,x3,x4y = 3,-4,-1,if则原方程的解为3,-4,-1,if2.4高斯消元法高斯消元法是很常见的一种解方程组的方法，在平常的方程组 问题求解中都有用得到。高斯消元法通过很多的加减运算进行消元 运算.是把方程变化成

9、上三角矩阵或者下三角矩阵，然后逐个往回 代求解出方程组。例题2 :2x, + 4x2 一 2x3 = 6解线性方程组' -x2 +5x3 =04%| + x2 一 2x3 = 2(24-2、解：心1-1 5b =04X1 一2丿丫24-2 6、24-2 6 1增广矩阵3 b）=1-15 00 -36 -3、41-2 2；< 0 0 -122%j + 4x2 一 2x3 = 6_ 3x2 + 6x3 = -3=>.一 12® =313丄42.5解齐次线性方程组定理1 :设xrx2eSQ,k eR则召+心以。，kx eS0文献口定义1 :设有“兀，吒是齐次线性方程组的

10、解向量，如果几心，兀与线性无关，而且方程的任意一个解都可以由册宀，兀的 线性表示，那么就称心勺，皿是齐次方程组的一个基础解系。根据定义1如果找到了基础解系心心，兀，那么方程组的所有 解X都可以表示为x = klxi+kx2+ + klxtl且得维数din<S0） = / ,其中 勺虫，&为任意实数。这样齐次线性方程组的求解问题就归结为其 基础解系问题。文献定理2 :设九”的秩R（A）=r<n ,则齐次线性方程组存在基础解 系，且基础解系含厂个线性无关解向量，即dim（50） = H-r文献定理3 :齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为R（A）=n ； 有非零解的充分必要条

11、件为R（A）<n。文献当齐次线性方程有非零解时需要注意三点。111121宙(1) 化矩阵A为行阶梯形矩阵时，只能实施初等变换；(2) n-r个自由元的确定不是唯一的，但无论如何选择，必须保 证非自由元构成的保留方程组的系数矩阵的秩为厂(3) 既然自由元选择不是唯一的，也就决定了齐次线性方程组 的基础解系是不唯一的。但不同的基础解系是同等的那么我们根据根据定理2,如果齐次线性方程组山=0与齐次线性 方程组处=0有相同的解，那么R(A)=R(B但是反过来说是不成立的例题：求解齐次线性方程组、解：把系数矩阵A="314<3525864-2243西 + 5x2 + 6x3 一 4

12、x4 = 0£ + 2x2 + 4x3 一 3x4 = 04xt +5x2 - 2x3 + 3x4 = 03%j +8x2 + 24x3 -19x4 =0-4-33-19进行初等变换,变为行阶梯形矩0100-86007、-50%)=8x3 -7x4 x2 = -6x3 + 5x4解得k、匕为任意常数2.6解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的向量表示式为AjC?! + x2a2 + + xnan = b其中心是系数矩阵A的列向量.所以，方程组有解的充分必 要条件是向量b可以由系数矩阵列A的列向量线性表示，从而有 R（QS，。）=恥22'那么系数矩阵的秩：R（A）=R（A ）于是

13、 就有下列定理定理1 :对于非齐次线性方程组文献（1）Ax = Z?有解；（2）b可以由系数矩阵A的列向量组线性表示；（3）系数矩阵的秩等于増广矩阵的秩，即R（A）=R（A ）由于可由A的列向量HS，心线性表示 且表示法唯一的从分必要条件是，久线性无关，所以我们有下述定理。定理2 :非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是文献R（A）=R（A b）=n定理：3 :设 xl9x2eSbtx0eS0t 则 x-x2eS0,xi+x0eSb o 文献定理4 :非齐次线性方程组的一般解的表达式为龙=珀）+匚，其中勺是 山="的一个特解，匚是心=0的一般解。文献向R)1«1例题：求非

14、齐次线性方程组山"的一般解R（A, b）=R= 2v5,方程组有无穷多个解1 1X =-x2 + x4 +x5 + 1 1z 、 X.1 1 x+ x4+x<+ 2 21x2X =2旳v>*1 1X4兀4>r 1 、r 1 、r-n2V、2001011=X209+兀5-1+900乙10o170Z0k丿k丿一般解为'1 、r i 、厂一 1、2*1、2Ooo1-1x = k、O+比21+ kq1+1O_ 2o1on1OvyoX丿k丿心ky心为任意常数总结本文是我对线性方程组的解法研究和总结。我们可以通过对线 性方程组的解法的研究得出，线性方程组的解法和矩阵的相

15、关理论 和方法有着一种“你中有我，我中有你”的关系，这种关系是息息 相关的。对于解决矩阵的一些问题有着很重要的作用。我们一般想 要解决线性方程组的问题，那么就必须要学好矩阵的相关知识。只 有扎实的基础理论知识和丰厚的实践经验才能让我们更好的掌握我 们所学的线性带出知识和高等数学知识。与此同时我们还要通过大量的练习才能总结出相对于别人更适 合自己的解题方法，我们才能更好的学习线性方程组和矩阵。有些 特殊的题目不一定使用通用的解法。但是大部问题目可以用这些解 法来解决问题。只有不断学习才能进步更上一层楼。本着通俗易懂，大家一学就会的想法才总结出这几个方法。文献1 :线性代数M.北京：科学出版社王天泽主编2013年8月第一版第77页2 :线性代数M.北京：