平行四边形的存在性问题

1、. . .word.平行四边形的存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3 个点：以三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3 个交点如果两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便针对训练1如图，抛物线yx22x3 与x轴交于a、b两点点a在点b的左侧，与y轴交于点c，顶点为p假设以a、c、p、m为顶点的

2、四边形是平行四边形，求点m的坐标解析、 由yx22x3 (x3)(x1) (x1)24，得a 3， 0 ，b1，0 ，c 0，3 ，p 1，4 如图，过pac的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点m因为am1/pc，am1pc，那么沿pc方向平移点a可以得到点m1因为点p(1，4)先向下平移1 个单位，再向右平移1 个单位可以与点c(0，3)重合，所以点a(3，0)先向下平移 1 个单位，再向右平移1 个单位就得到点m1(2， 1)因为am2/cp，am2cp，那么沿cp方向平移点a可以得到点m2因为点c(0，3)先向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位可以与

3、点p(1，4)重合，所以点a(3，0)先向左平移 1 个单位，再向上平移1 个单位就得到点m2(4，1)因为pm3/ac，pm3ac，那么沿ac方向平移点p可以得到点m3因为点a(3，0)先向右平移3 个单位，再向上平移3 个单位可以与点c(0，3)重合，所以点p(1，4)先向右平移 3 个单位，再向上平移3 个单位就得到点m3(2，7)2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx2+2x 3与x轴交于a、b两点，点m在这条抛物线上，点p在y轴上，如果以点p、m、a、b为顶点的四边形是平行四边形，求点m的坐标解析 由yx2+2x3 (x1)(x3)，得a(1，0)，b(3，0)如图 1，当ab

4、是平行四边形的对角线时，pm与ab互相平分，因此点m与点p关于ab 的中点 1，0对称，所以点m的横坐标为2. . .word.当x2 时，y =x2+2x33此时点m的坐标为 (2，3)如图 2，图 3，当ab是平行四边形的边时，pm/ab，pmab4所以点m的横坐标为4 或 4如图 2，当x4 时，y =x2+2x35此时点m的坐标为 (4，5)如图 3，当x 4 时，y =x2+2x321此时点m的坐标为 (4， 21)第 2题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3 3将抛物线c1：233yx沿x轴翻折，得到抛物线c2，如以下图现将抛物线c1向左平移m个单位长度， 平移后得到新抛物线

5、的顶点为m，与x轴的交点从左到右依次为a、b；将抛物线c2向右也平移m个单位长度， 平移后得到新抛物线的顶点为n， 与x轴的交点从左到右依次为d、e 在平移过程中，是否存在以点a、n、e、m为顶点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出此时m的值；假设不存在，请说明理由解析、 抛物线c1：233yx与x轴的两个交点为(1， 0)、(1，0)，顶点为 (0,3) 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点m的坐标为 (,3)m，与x轴的两个交点为( 1,0)am、(1,0)bm，ab2抛物线c2在平移的过程中，与抛物线c1关于原点对称所以四边形amen是平行四边形如果以点四边形 amen 是矩形，那么

6、aemn所以oaom而om2m23，所以 (1m)2m23解得m1如图第 3题图另解 探求矩形anem，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形abm中，因为ab2，ab边上的高为3 ，所以abm是等边三角形. . .word.同理den是等边三角形当四边形anem是矩形时，b、d两点重合因为起始位置时bd2，所以平移的距离m14平面直角坐标系xoy如图，一次函数334yx的图像与y轴交于点a，点m在正比例函数32yx的图像上，且moma二次函数yx2bxc的图像经过点a、m 1求线段am的长；2求这个二次函数的解析式； 3如果点b在y轴上，且位于点a下方，点c在上述二次函数的图像上，点d在一次函

7、数334yx的图像上，且四边形abcd是菱形，求点c的坐标解析、1当x0 时，3334yx，所以点a的坐标为 (0，3)，oa 3如图 1，因为moma，所以点m在oa的垂直平分线上， 点m的纵坐标为32将32y代入32yx，得x 1所以点m的坐标为3(1, )2因此132am2因为抛物线yx2bxc经过a(0，3)、m3(1, )2，所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx3如图 2，设四边形abcd为菱形，过点a作aecd，垂足为e在 rtade中，设ae4m，de3m，那么ad5m因此点c的坐标可以表示为(4m，32m)将点 c(4m，3 2m)代入25

8、32yxx，得23216103mmm解得12m或者m0舍去因此点c的坐标为 2，2 5如图 1，在 rtabc中，c90，ac6，bc8，动点p从点a开场沿边ac向点c以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点q从点c开场沿边cb向点b以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点p作pd/bc，交ab于点d，联结pq点p、q分别从点a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停顿运动，设运动的时间为t秒t0 1直接用含t的代数式分别表示：qb_，pd_； 2是否存在t的值，使四边形pdbq为菱形？假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由，并探究如何改变点q的速度匀速运动 ，使四边形pdbq在某一

9、时刻为菱形，求点q的速度； 3如图 2，在整个运动过程中，求出线段pq的中点m所经过的路径长. . .word.解析 1qb82t，pd43t2当点q的速度为每秒2 个单位长度时，四边形pdbq不可能为菱形说理如下：在 rtabc中，ac6，bc8，所以ab 10pd/bc，当 pq/ab时，四边形pdbq为平行四边形所以cqcpcbca，即2686tt解得125t此时在 rt cpq中，245cq，2456sin54cqpqcpq所以2416855bqcbcq，6bdpq因此bqbd所以四边形pdbq不是菱形如图 1，作abc的平分线交ca于p，过点p作pq/ab交bc于q，那么四边形pdb

10、q是菱形过点p作peab，垂足为e，那么bebc8在 rtape中，23cos5aeaapt，所以103t当pq/ab时，cqcpcbca，即106386cq解得329cq所以点q的运动速度为3210169315第 5 题图 1 3以c为原点建立直角坐标系如图 2，当t0 时，pq的中点就是ac的中点e(3，0)如图 3，当t4 时，pq的中点就是pb的中点f(1，4)直线ef的解析式是y 2x6如图 4，pq的中点m的坐标可以表示为62t，t 经历证，点m62t，t在直线ef上所以pq的中点m的运动路径长就是线段ef的长，ef2 5第 5 题图 2 第 5题图 3 第 5 题图 4 另解 第

11、 3题求点m的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2 时，pq的中点为 (2，2). . .word.设点m的运动路径的解析式为yax2bxc，代入e(3， 0)、f(1，4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc解得a0，b 2，c6所以点m的运动路径的解析式为y 2x66如图，在平面直角坐标系xoy中，abc的a、b两个顶点在x轴上，顶点c在y轴的负半轴上|oa| |ob| 15， |ob| |oc| ，abc的面积sabc 15，抛物线yax2bxc(a0)经过a、b、c三点 1求此抛物线的函数表达式； 2设e是y轴右侧抛物线上异于点b的一个动点，过点e作x轴的平

12、行线交抛物线于另一点f，过点f作fg垂直于x轴于点g，再过点e作eh垂直于x轴于点h，得到矩形efgh那么在点e的运动过程中，当矩形efgh为正方形时，求出该正方形的边长； 3在抛物线上是否存在异于b、c的点m，使mbc中bc边上的高为72 ？假设存在，求出点m的坐标；假设不存在，请说明理由解析 1设oa的长为m，那么oboc5m由abc的面积sabc15，得m5所以点 a、b、c 的坐标分别为(1，0)、(5，0)、(0， 5)设抛物线的解析式为ya(x1) (x5)，代入点c(0， 5)，得a1所以抛物线的解析式为y (x 1) (x5)x24 x52抛物线的对称轴为直线x2，设点e在对称

13、轴右侧，坐标为(x，x2 4 x5)如图 1，当e在x轴上方时，ef2(x2)，ehx24 x 5解方程 2(x 2)x2 4 x5，得310 x或310 x舍去此时正方形的边长为22 10 如图 2，当e在x轴下方时，ef2(x2)，eh (x2 4 x5)解方程 2(x 2) (x24 x 5)，得110 x或110 x舍去此时正方形的边长为2 10第 6 题图 1 第 6题图 2 第 6 题图 3 3如图 3，因为点b、c的坐标分别为 (5，0)、(0， 5)，所以bc与x轴正半轴的夹角为45过点b作bmbc，且使得bm 72 . . .word.过点m作x轴的垂线，垂足为n，那么bmn

14、是等腰直角三角形在 rtbmn中，斜边bm 7 2 ，所以bnmn7因此点m的坐标为 (2，7)或(12， 7)经检验，点 (2， 7)在抛物线y(x1) (x5)上；点 (12， 7)不在这条抛物线上所以点m的坐标是 (2，7)另解 第 3题也可以这样思考：设抛物线上存在点m，设点m的坐标为 (x，x2 4 x5)由于bmn是等腰直角三角形，bnmn，所以 5xx24 x5解得x 2 或x5与点b重合，舍去 所以点m的坐标是 (2， 7)这种解法不需要分情况讨论点m的位置，这是因为：当m在点b的右侧时，方程为x5 (x24 x5)，这个方程和点m在点b的左侧时的方程是同一个方程7如图 1，在

15、平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3a经过a(1,0)、b(0,3)两点，与x轴交于另一点c，顶点为d 1求该抛物线的解析式及点c、d的坐标； 2经过点b、d两点的直线与x轴交于点e，假设点f是抛物线上一点，以a、b、e、f为顶点的四边形是平行四边形，求点f的坐标； 3如图 2，p2，3是抛物线上的点，q是直线ap上方的抛物 线上一动点，求apq的最大面积和此时q点的坐标图 1 图 2 解析 1抛物线的解析式为yx22x3，c(3,0)，顶点d(1,4)2如图 1，直线bd为yx3，e(3,0)过abe的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点f点e(3,0)向左平移2 个

16、单位得到点a(1,0)，那么点b(0,3) 向左平移2个单位得到点f1(2,3)经历证，f1(2,3)在抛物线上f2不在抛物线上由b(0,3)先向下平移3 个单位， 再向左平移3 个单位得到点e(3,0)，那么点a(1,0) 先向下平移3 个单位，再向左平移3 个单位得到点f3(4,3)经历证，f3(4,3)不在抛物线上3如图 2，直线ap的解析式为yx1过点q作y轴的平行线交ap于h设q(x, x22x3)，那么h(x, x 1)因此sapqsaqhspqh211()(2)322paqh xxxx23127()228x所以当12x时，apq的最大面积为827此时q)415,21(第 7 题图

17、 1 第 7 题图 2 . . .word.8抛物线2(2)ya xb(0)ab的顶点为a，与x轴的交点为b，c点b在点c的左侧 1)直接写出抛物线对称轴方程； 2假设抛物线经过原点，且abc为直角三角形，求a，b的值； 3假设d为抛物线对称轴上一点，那么以a、b、c、d为顶点的四边形能否为正方形？假设能，请求出a，b满足的关系式；假设不能，说明理由解析 1抛物线对称轴是直线x22点b(0,0)关于对称轴x2 对称的点c为(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)当abc为直角三角形时，abc为等腰直角三角形，abac，bac90所以点a的坐标为 (2,2)或(2,2)将a(2,2)代入ya

18、x(x4)，得12a于是211(4)222yx xxx因此2b当a(2,2)代入yax(x4)，得12a于是211(4)222yx xxx因此2b3如果四边形abdc是正方形，那么a、d关于bcx轴对称且abc为等腰直角三角形由a(2,b)，得 b(2b,0)、c(2b,0)于是可得抛物线的解析式为ya(x2b)(x2b)代入a(2,b)，得bab2所以1ab9如图，双曲线6yx与直线ab交于a、b两点，与直线cd交于c、d两点 1求证四边形acbd是平行四边形； 2四边形acbd可能是矩形吗？可能是正方形吗？ 3如果点a的横坐标为3，点 c 的横坐标为m(m0)，四边形acbd的面积为s，求s与m的之间的关系式解析 1因为a、b关于原点o对称，c、d关于原点o对称，所以oaob，ocod所以四边形acbd是平行四边形2如图 1，当直线ab与直线cd关于直线yx对称时，oaobocod，所以四边形acbd可以成为矩形因为x0，y0，所以点a