初中数学十字相乘法因式分解

1、1 / 5 初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()xpq xpq型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（ 3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：pqxqpx)(2)()(22pqqxpxxpqqxpxx)()()(qxpxpxqpxx因此：)()(2qxpxpqxqpx利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式。二、一般二次三项式2axbxc的分解因式大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca cxc c。反过来，就可得到：2121221121122()()()a a xa

2、ca cxc ca xca xc我们发现，二次项系数a分解成12a a，常数项c分解成12c c，把1212,a ac c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。典型例题 例 1 把下列各式分解因式。（1）232xx（2）672xx分析： （1）232xx的二次项的系数是1，常数项212，一次项系数213，这是一个pqxqpx)(2型式子。（2）672xx的二次项系数是1，常数项)6()1(6，一次项系数7)1()6

3、(，这也是一个pqxqpx)(2型式子，因此可用公式pqxqpx)(2x()(qxp分解以上两式。解： （1）因为212，并且213，所以)2)(1(232xxxx（2）因为)6()1(6，并且)6() 1(7，所以)6)(1(672xxxx例 2 把下列各式因式分解。（1）22xx（2）1522xx分析：（1）xx22 的二次项系数是 1，常数项2)1(2，一次项系数2)1(1，这是一个pqxqpx)(2型式子。（2）1522xx的二次项系数是 1，常数项3)5(15，一次项系数)5(23，这也是一个pqxqpx)(2型式子。以上两题可用)()(2qxpxpqxqpx式子分解。解： （1）因

4、为2)1(2，并且2)1(1，所以) 1)(2(22xxxx（2）因为3)5(15，并且3)5(2，所以)3)(5(1522xxxx注意： （1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号一样。（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号一样。2 / 5 例 3 把下列各式因式分解。（1）3722xx（2）5762xx（3）22865yxyx解： （1）)12)(3(3722xxxx12317)1(1)3(2（2）)53)(12(5762xxxx5312713)5(2（3）)45)(2(86522yxyxyxyxyy4521yyy6)

5、2(5)4(1例 4 将40)(3)(2yxyx分解因式。分析： 可将yx看成是一个字母，即ayx，于是上式可化为4032aa二次项系数是 1，常数5)8(40，一次项系数5)8(3，所以可用)(2qpxx)(qxpxpq式子分解。解： 因为5)8(40，并且5)8(3，所以40)(3)(2yxyx)5)(8(5)(8)(yxyxyxyx例 5 把222265xyxyx分解因式。分析： 多项式各项有公因式2x，第一步先提出各项公因式2x，得到：)65(65222222yyxxyxyx， 经分析652yy它符合pqyqpy)(2型式子，于是可继续分解。第二步，按pqyqpy)(2型二次三项式分解

6、，得到：) 1)(6()65(222yyxyyx解：)1)(6()65(652222222yyxyyxxyxyx例 6 将xyyx168155分解因式。解：xyyx168155)49)(49()1681(222244yxyxxyyxxy)23)(23)(49(22xyxyyxxy注意： 多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（ 2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。3 / 5 模拟试题 一. 填空题：1. 2832xx（） （）2. 22352yx

7、yx)7(yx（）3. 22144320yxyx)74(yx（）4. 519182xx（） （12x）5. 6113522mnnm（）（）6. 235116aa（）（）7. 652xkx（23x）（） k8. )25)(74(14432yxyxyxym，则m9. )5)(74(43202nxyxmxyx，则m，n10. 分解因式16)3(8)3(2242xxxx。二. 选择题：1. 16102xx分解因式为（）a.)8)(2(xxb.)8)(2(xxc.)8)(2(xxd.)8)(2(xx2. 223013yxyx分解为（）a.)10)(3(yxyxb.)2)(15(yxyxc.)3)(10(

8、yxyxd.)2)(15(yxyx3. 把352962xx分解因式为（）a.)53)(72(xxb.)52)(73(xxc.)52)(73(xxd.)53)(72(xx4. 把22244nmnmx分解因式为（）a.)2)(2(nmxnmxb.)2)(2(nmxnmxc.)2)(2(nmxnmxd.)2)(2(nmxnmx5. 在下列二次三项式中，不是pqxqpx)(2型式子的是（）a.20122xxb.10092xxc.14132xxd.5292xx三. 解答题：1. 将下列各式因式分解。（1）652xx（2）302xx（3）144302xx1）（3）21118xx（4）22526aa（5）2

9、232xxyy2. 将下列各式因式分解。（1）171824mm（2）42242073yyxx（3）23145bb（4）223xx（5）2257xx（6）2321aa3. 因式分解。（1）24)7(10)7(222xxxx（2）2222224)()(2zyzyxx4 / 5 4. 已知028471522yxyx，求yx的值。5. 已知0622baba（0a，0b），求baab的值6. 已知0262922baba，求ba32的值。试题答案一. 1. 7x；4x2. yx53. yx254. 59x5. 35mn；27mn6. a72；a537. 32x；6 8. 220 x9. 214y；y210

10、. 2222)23()2()1(xxxx二.1. a 2. d 3. b 4. b 5. b 三.1. 解：（1）)1)(6(652xxxx（2）)5)(6(302xxxx（3）)6)(24(144302xxxx2. 解：（ 1）)1)(17()1718(1718222424mmmmmm)1)(1)(17(2mmm（2）)53)(2)(2()53)(4(20732222224224yxyxyxyxyxyyxx（3）)2)(2)(2()2)(4()82(822222435xxxxxxxxxxxxx3. 解：（ 1）)73)(52()356(356222424nnknnkkknknaaaaaaaaa（2）)54)(12(81)5148(8854722xxxxxx4. 解：（1）)27)(127(24)7(10)7(22222xxxxxxxx)27)(4)(3(2xxxx（2）222222222222224)()()()(2zyxzyxzyzyxx5. 解：028471522yxyx0)45)(73(yxyxyx37或yx54当yx37时，（ 1）37