高中数学建模素养培育的教学案例分析

1、    高中数学建模素养培育的教学案例分析    吴必元【摘要】高中数学教学中存在六大核心要素，这些要素可以使学生创立正确的数学思维模式，养成独立思考的良好习惯，并锻炼学生分析、解决问题的能力，提升学生的综合素质.本文就六大核心要素中的数学建模教学进行分析讨论，以教材“货船进出港时间问题”一课的三角函数模型为例，培养学生数学建模思想，并提升学生的数学建模水平.【关键词】数学建模素养;教学案例;三角函数模型数学建模活动需要学生积极配合教师的教学活动，以小组的形式展开课题讨论，并分析课题中的疑难点，在小组成员的共同努力下，合力解决问题，最终将讨论内容以报告的

2、形式呈现1.这种教学方式被列入普通高中课程标准课程内容中，在普通高中的数学教学中广泛应用，提升学生的综合能力.一、数学建模的内容数学建模就是把数学当中的实际问题抽象化，以数学特有的表达方式，灵活运用数学思维、知识等构建假想模型，进行研究推理，从而达到解决问题的目的.这一过程需要学生大胆想象，集思广益，互相碰撞出思维火花，从不同角度、不同出发点共同解决问题，从而开拓学生的思维宽度，有效提升数学课堂教学的质量.二、研究分析数学建模教学模式1.方式制定主要以数学建模的方式，将学生分成多个讨论小组，组内之间进行协作研究，通过这种自主学习的方式，使学生从中取长处、补短处，做到自我反思、自我修正，并以小组

3、的形式汇报交流成果，最终做成研究报告.2.活动探究（1）教学活动目标首先，通过小组的形式进行自主探究，明确问题的解决方式及思路，从而建立正确的三角函数模型，锻炼学生分析数据、整合数据的能力;其次，依据建立的三角函数模型，采用正确的计算方式对实际问题进行计算，并理解问题本身的实际意义，提升学生的数学运算能力;最后，将运算结果进行交流展示，提升学生的数学语言表达能力.（2）教学活动重、难点本次教学活动的重点内容是提升学生对三角函数观察、分析的能力，对图像中所隐含的意义进行探知.难点在于如何依据实际问题建立正确的三角函数关系，并对函数进行求解.教学目标是引导学生对创建三角函数有系统性的概念，提升学生

4、对抽象图像的观察、分析数据的能力，开拓学生的解题思维.（3）教學活动内容选取教学案例“货船进出港时间问题”，选题内容：日月的引力影响着海水的潮起潮落，早潮晚汐.一般情况下，船驶进航道、靠近码头是在涨潮时;卸货后，返回海洋是在落潮时，以某季节中某港口一天时间内水深的变化情况为例（如表 1所示）.从实际问题中找出时间与水深变化的函数关系，并提出问题：船身与水面的距离维持在4 m的位置，出于安全考虑，船底应与洋底保持1.5 m的间隙，那么该船驶入港口的时间是几时？可以停留多长时间？若在2点卸货，船身与水面的距离以0.3 m/h的速度减少，则必须在什么时间完成卸货工作并驶向深水区域？（4）思考、体验与

5、表达活动要求以6人为一组划分学习小组共10个，分别对问题做出分析、解决，并要求各组代表汇报最终成果，以此形成论文或是心得体会.环节一：观察、分析数据，模拟图像师：对数据进行仔细观察和分析，对函数图像做出材料和模拟.1组代表：这个函数可能是存在周期性特点的函数.4组代表：你们怎么获得这一结论的？2组代表：将时间、水深分别看成横、纵坐标，在直角坐标系中绘制散点图.师：其他小组有没有别的想法？生：没有.师：结合散点图，同学们试试看，对函数图像进行观察和猜想，同时绘制出具体的函数图像.6组代表：函数图像属于复合型三角函数图像.师：说一说具体的理由.6组代表：用平滑曲线对散点进行连接，了解到初相和振幅产

6、生位置变化.师：推理有依有据，不过应求出具体的函数解析式.环节二：验证猜想、推理论证、建立模型师：三角函数模型的图像绘制完后，同学们可以回忆之前学习的三角函数模型y=asin（x+）+h.借助数据和图像，各组可对这道题的函数模型进行思考与计算.各组思考探讨之后，得出推导过程如下：由数据和函数图像可知a=2.5，h=5，t=5，=0.由t=2=12，得=6，因此，水深、时间的关系便可以用如下函数解析式表达：y=2.5sin 6x+5.师：同学们能否解释a，h，t，是如何获得的？表述出具体理由.生1：观察图像，平衡位置变为y=5，所以a代表离开平衡位置的最大距离，a=7.5-5=52;周期t则可直

7、接从图像中获得;则利用t=2获得;h是平衡位置变化形成的差值;可将某点代入解析式进行计算获得.师：其他同学是否存在别的想法？生2：a同样可利用最高点和最低点之间的差值计算，再除以2，a=7.5-2.52.生3：h可利用h=7.5+2.52=5.师：不错，同学们对上述推理可以尝试分析一下，计算结果是正确的，不过解析式方面还存在不足，应该是多个值，所以，解析式中应该做出限定，可以限定- 2<0.生：原来如此，这样解析式便可以保证唯一.构建函数模型是解题的关键，对数据加以正确、合理的运用，对函数图像进行模拟，能够使学生做出更加充分的思考与猜想，利用合作探讨的方式对函数模型做出推导、计算以及验证

8、.利用数形结合思想，充分展示出数学的逻辑性与抽象化的过程.环节三：数学运算，模型求解和验证师：基于函数模型y=2.5sin6x+5，求出整点时刻水深的近似值.通过小组思考探讨，获得整点时刻水深的近似值.师：结合题目中的问题，各小组进行思考探讨，并进行计算解答.1组代表：计算安全水深是4+1.5=5.5（m），y5.5 m情况下可驶入港口，2.5sin 6x+5=5.5，sin6x=0.2，结合题目，作直线y=5、函数y=2.5sin 6x+5的图像如下图.结合题意x（0，12），两函数图像之间存在交点m，n，因此，可知6x0.2或-6x0.2，可以求出：xm0.38，xn5.62xp12+0.

9、38=12.38xq12+5.62=17.62生4：基于以上结果，货船可于0：30，5：30分别驶入、驶出港口;或是12：30，17：30分别驶入、驶出港口，货船停留时间为5小时.师：这是通过哪种方法计算求解的？生5：结合数据绘制图像，通过特殊值进行解方程.师：非常好，同学们可以运用数形结合思想，这是非常关键的思想方法，有没有不同的解法？生6：可通过量函数建立方程组，利用方程思想进行解答，即代数法.师：不错，不同方法，不同思想.环节四：模型总结、反思和检验师：同学们可以结合上述模型，各组设计问题，并进行计算，检验答案有无差异.通过思考探讨，提出问题：对题目最后一问的条件做出改编，如果某船吃水深

10、度保持在3 m，剩余条件相同，那么在什么时间完成卸货工作并驶向深水区域？各组之间对问题进行计算解答.获得最终结果，第3，5组计算存在相应的误差，要求学生返回模型，重新代入数据计算，分析问题并做出修订.成果展示由各组做出总结、反思与思考探讨，对修订成果以论文形式进行分享.环节五：交流体验、反思评价课后访谈，部分学生认为：生7：数据分析处理非常关键，运算同样要有正确、合理的方法.生8：对数据模拟图像的充分利用是解题的重点.生9：这节课让我认识到独立思考问题非常关键，也要学会沟通交流，对自身观点做出充分表达.生10：利用合作学习的方式，掌握了撰写学习报告，使我认识到数学建模所具有的含义，感受到数学的

11、应用价值.通过案例得知，函数模型的选择应对问题数据做出充分仔细的分析，模拟散点图以及函数模型的正确选择，均属于解决问题的重要环节，这也成为实际问题数学化中应当重点培养的数学综合能力.学生对各不同函数模型的选择，不但需教师引导学生做出探讨交流，指导学生返回问题本身，构建合适的模型.此题能够利用计算的部分较多，如散点图、函数图像等方面.教学阶段，教师需指导通过信息技术完成作图与函数值求解，并对函数变化规律形象直观地演示，对函数变化规律做出仔细观察与思考分析，使学生可以对问题本质形成更加深入的透彻理解.三、教学活动的启示1.选取数学典型案例通过选取数学典型案例，采用灵活的处理方式，提升学生的综合素质

12、.数学建模思维形成的“数学化”与“再创造”过程，是培养学生建立数学素养的重要组成因素，基于此，选取数学典型案例的做法，可以活跃学生的数学思维，提升学生对数学的兴趣，凸显数学的趣味.2.教学方式多元化数学建模的教学活动与其他数学知识的教学活动存在一定的差异，其具备独特的教学风格，在解题过程中，往往需要学生主动参与，对问题进行知识探究，从而确定解题思路、运算方法、结果验证等步驟，是学生提升数学综合素养的过程2.教师在此期间应积极引导学生阅读、自学、自主探究，培养学生数学建模的表达能力.3.建立科学的评价体系数学建模的目的是通过建模使学生建立正确的数学解题思路.根据数学建模素养在标准条例下的发展水平，需要进行具有科学依据的整体评价.首先，对学生的学习过程、结果、语言表达进行全方位的评价;其次，学生自身进行自我总结，并进行学生之间的互评、师生互评;最后，围绕建模教学的最终成果进行总结.四、结束语总而言之，数学建模在数学教学的开发上起到了至关重要的作用，不仅解决了数学教学中学生理解知识晦涩的