(完整word)解一元一次(提高篇)

1、一元一次方程的解法（提高篇）16要点梳理】 要点一、解一元一次方程的一般步骤注意事项变形名称具体做法（1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后 应加上括号（1）不要漏乘括号里的项（2）不要弄错符号（1）移项要变号 （2）不要丢项字母及其指数不变不要把分子、分母写颠倒去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小 括号， 再去中括号，最后去大括号把含有未知数的项都移到方程的一边，其移 项 他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）合并同类项把方程化成ax b （a 0的形式 ）系数化成1方程的解x b a在方程两边都除以未知数的系数a，得到要点诠释：（ 1） 解方程时，表中

2、有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化（2） 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.（ 3） 当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆要点二、解特殊的一元一次方程1 . 含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax bc的形式，分类讨论：（1）当 c 0 时，无解；（ 2）当c 0时，原方程化为：ax b

3、 0 ； （ 3）当c 0 时，原方程可化为： ax b c 或 ax b c.2 .含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式axb，再分三种情况分类讨论：b（ 1） 当a0时， x ； （2）当a0，b0 时， x 为任意有理数；（3）当a0，b0时，方a程无解（ 2）【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程0.6x 2x1) ) x 53；(2)15.4x 3232【答案与解析】2x解： (1)2x 5 x 3321移项，合并得x 86系数化为1 ，得x 48(2)15.4x+32 -0.6x移项，得15.4x+0.6x-32合并，得16x -32系数化为1，得 x

4、-2总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项： 即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边(2)合并：即通过合并将方程化为ax b(a 0)b(3)系数化为1：即根 据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解x b a举一反三：【变式】下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？3x+2 7x+5解：移项得3x+7x 2+5，合并得10x 7，系数化为1 得 x 7 10就是说将方程中右边的【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也7x 移到方程左边应变为-7x，方程左边的2 移到方程右

5、边应变为-2正确解法：解：移项得3x-7x 5-2，合并得 -4x 3，系数化为1 得 x 4类型二、去括号解一元一次方程2) 解方程：1 x 1 (x 1) 2 (x 1)223【答案与解析】111解法 1 ：先去小括号得：1 x 1 x 1222再去中括号得：移项，合并得：系数化为解法2：两边均乘以2，去中括号得：x22x33111 xx244511x12121 ，得： x11512(x 1)4(x 1) 35去小括号，并移项合并得：x61解法 3：原方程可化为：(x 1) 1111去中括号，得(x 1) (x22411，解得：6112(x 1)1) 2(x311x52(x 1)31)51

6、移项、合并，得(x 1)122解得 x 5【 总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便例如本题的方法3：方程左、右两边都含( x-1)，因此将方程左边括号内的一项x 变为 (x-1)后，把 (x-1)视为一个整体运算3解方程：12 12 21 12x 1111 0解法1： (层层去括号)1去小括号211x2412 11 0，1 0，1去大括号x160，移项、合并同类项，得解法 2： (层层去分母)1x16，系数化为81 ，得x 301移项，得2111 x222111，111两边都乘2，得x 111 2

7、，222移项，得11x223，11两边都乘2，得x 11 622111移项，得x 17 ，两边都乘2，得x 1 14，2221移项，得x 15 ，系数化为1 ，得x 302总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做举一反三：6411111 x12345111解：方程两边同乘2，得x 164 2 ，345111移项、合并同类项，得1 1 1 x 162，34511两边同乘以3，得x 166 4511移项、合并同类项，得x 10 ，451两边同乘以4，得x 1 0 ，51移项，得x 1 ，系数化为1 ，得x 55类型三、解含分母的一元一次方程4解方程：4x 1.5 5x 0.80

8、.50.21.2 x失误40x 15解法 1 ：将分母化为整数得：40x 155约分，得：8x-3-25x+4 12-10x11移项，合并得：x 7解法 2：方程两边同乘以1 ，去分母得：50x 8 12 10x218x-3-25x+4 12-10x移项，合并得：x 7【 总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法便一些，如解法2举一反三：1 ；但有时直接去分母更简0.4y 0.9 0.3 0.2y【变式】解方程10.50.3【答案】解：原方程可化为4y 9 3 2y 153去分母，得3(4y+9)-5(3+2y) 15去括号 ，得 12y+27-15-10y 15移项、合并同类

9、项，得2y 33系数化为1，得y 3 2类型四、解含绝对值的方程5解方程：3|2x|-2 0【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值【答案与解析】2解：原方程可化为：2x321当 x 0 时，得 2x ，解得：x ，3321当 x < 0 时，得 2x ，解得：x ，33所以原方程的解是x 1 或x1 33【 总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c 的形式，再根据(ax b )的正负分类讨论，注意不要漏解举一反三：【变式】解方程|x-2|-1 0【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1 ，当 x-20 ，即x2 时，原方程可化为x-2 1，解得x 3；

10、当x-2< 0，即x< 2 时，原方程变形为-(x-2)=1 ，解得 x 1K所以原方程的解为x 3或x 1类型五、解含字母系数的方程6. 解关于 x 的方程：mx 1 nx【答案与解析】解：原方程可化为：(m n)x 11当mn0 ，即mn 时，方程有唯一解为：x ；mn当mn0，即mn时，方程无解【 总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b，再根据x系数a 是否为零进行分类讨论举一反三：【变式】若关于x 的方程 (k-4)x=6 有正整数解，求自然数k 的值 .【答案】解：原方程有解，k 4 0原方程的解为：x 6 为正整数，k 4 应为 6 的正约数，即k 4

11、可为： 1， 2， 3， 6k4 k 为： 5， 6， 7， 10答：自然数k 的值为：5， 6， 7， 10.巩固练习题一、选择题1关于 x 的方程 3x+5 0 与3x+3k 1 的解相同，则k 的值为 ()A -2B4C 2D4332下列说法正确的是( )A 由7x 4x-3 移项得 7x-4x -32x 1 x 3B 由1 去分母得2(2x-1) 1+3(x-3)32C由2(2x-1)-3(x-3) 1 去括号得4x-2-3x-9 4D 由2(x-1) x+7 移项合并同类项得x 52x 1 x 13将方程x x 1 去分母得到方程6x-3-2x-2 6，其错误的原因是()23A 分母

12、的最小公倍数找错B 去分母时，漏乘了分母为1 的项C去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D 去分母时，分子未乘相应的数454解方程x 307 ，较简便的是()54A先去分母B 先去括号C先两边都除以4D先两边都乘以4555小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：1152yy ，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是y ，于是223小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业同学们， 你们能补出这个常数吗?它应是()A 1B 2 C 3 D 46. (山东日照)某道路一侧原有路灯106 盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型

13、的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70 米，则需更换的新型节能灯有()A 54盏B 55盏C 56盏D 57盏7. “ ”表示一种运算符号，其意义是a b 2a b，若 x (1 3) 2，则 x等于 () 。A 1 B CD 2228. 关于 x的方程 (3m 8n)x 7 0无解，则mn是 ()二、填空题A正数B 非正数C负数D非负数9.(福建泉州)已知方程|x|2 ，那么方程的解是10. 当 x=时， xx 的值等于2.11 已知关于x 的方程的33 a212 若关于x 的方程 ax+3=4x+1xx3 解是4，则(2的解为正整数，则整数a)2 2aa 的值是13 已知关于x 的方程 mx

14、 32(x m) 的解满足x3 0 ，则 m 的值是14 a、 b、 c、 d 为有理数，现规定一种新的运算：ad bc ，那么当241x18 时，则 x三、解答题15 解下列方程:1)5 2y10 4y10y222)3)0.15x0.1330x200.07301 0.3x0.20.12)若3)求长方形ABCD ，17. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形其中， GH=2cm ， GK=2cm ，设 BF=xcm ，( 1)用含x 的代数式表示CM=cm， DM= cmDC=10cm ，求 x 的值ABCD 的面积【答案与解析】一、选择题1 【答案】C5【解析】方

15、程3x+5 0的解为 x ，代入方程3x+3k 1，再解方程可求出k32【答案】A2x 1 x 3【解析】由7x 4x-3 移项得 7x-4x -3； B1 去分母得2(2x-1) 6+3(x-3) ；32C把2(2x-1)-3(x-3) 1 去括号得4x-2-3x+9 1； D 2(x-1) x+7， 2x-2 x+7， 2x-x 7+2， x93【答案】C2x 1 x 1【解析】把方程1 去分母，得3(2x-1)-2(x-1) 6， 6x-3-2x+2 6 与 6x-3-2x-223 6 相比较，很显然是符号上的错误4【答案】B45【解析】因为与 互为倒数，所以去括号它们的积为1.545【

16、答案】B115【解析】设被污染的方程的常数为k，则方程为2y 11 y k ，把 y 5 代入方程得22310 155 1 10k ， 移项得k， 合并同类项得-k -2， 系数化为1 得 k 2， 故选 B3266236【答案】B【解析 】 设有 x 盏， 则有 (x 1) 个灯距， 由题意可得：36(106 1) 70(x 1)， 解得： x 557 【答案】B【解析】 由题意可得： “ ”表示 2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：1 3 2 1 31 ，1而 x (1 3) x ( 1) 2x 1 2，解得：x28【答案】B【解析】原方程可化为：(3m 8n)x 7 ，将“3m 8n”

17、看作整体，只有3m 8n 0 时原方程才无解，由此可得m, n 均为零或一正一负，所以mn 的值应为非正数二、填空9 【答案】x12， x22110 【答案】x3211 【答案】2434【解析】把x 4 代入方程，得a 43 ，解得a 6，从而(-a)2-2a 242212 【答案】2 或 3【 解析】由题意，求出方程的解为：ax 4x 1 32(a 4)x2， x，因为解为正整数，所以a 41或 2，即 a 2或 3a413 【答案】5 或 1解 析 】 由 x 2 3 0， 得 ： x 23或 -3 ， 即 x 为 5或 -1 。 当 x 5 时 ， 代 入mx 3 2(x m) 得， m

18、 1；当 x 1 时，代入得m514 【答案】3【解 析】由题意，得 2× 5-4(1-x) 18，解得x 3三、解答题15 . 【解析】解：(1)原方程可化为：1 y 22解得： y 4( 2)原方程可化为：x 1 x 1 x 23 2x 33432212移项，合并得：x 1 x 2 3x 943解得： x3x 12915x 13 3x 2( 3)原方程可化为：173去分母，化简得：15x 1313解得： x 131516 . 【解析】解：(1)原方程可化为：(a 4)x b 8a 4 时，方程有唯一解：b8 xa4a 4， b8 时，方程无解；a 4 ， b 8 时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解(2) (m 1)x(m 1)(m 2)当m1当m1 解0 ，即 m 1时，方程有唯一的解：x m