数学新学案同步必修4北师大版：第三章三角恒等变形2.2

1、2.2两角和与差的正弦、余弦函数学习目标1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程 .2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 知识点一两角和的余弦思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案用 代换 cos( )cos cos sin sin 中的 便可得到 . 梳理两角和的余弦公式公式cos( )cos cos sin sin简记符号c使用条件 ， 都是任意角记忆口决： “余余正正，符号相反”.知识点二两角和与差的正弦思考 1

2、如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案sin( )cos2 cos2cos2cos sin2sinsin cos cos sin . 思考 2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案用 代换 ，即可得sin( )sin cos cos sin . 梳理两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号ss公式形式sin( )sin cos cos sinsin ( )sin cos cos sin 记忆口诀： “正余余正，符号相同”.1.不存在角 ， ，使得 cos( ) cos cos sin sin .() 提示如 0，cos( )cos01，cos c

3、os sin sin 1. 2.任意角 ， ，都有 sin( )sin cos cos sin .() 提示由两角和的正弦公式知结论正确. 3.存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .() 提示由两角差的正弦公式知不存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin . 4.存在角 ， ，使 sin( )sin cos cos sin .() 提示如 0 时， sin( )0，sin cos cos sin 0. 类型一给角求值例 1(1)化简求值： sin(x 27 )cos(18 x)sin(63 x) sin(x18 ). 考点两角和与差的正弦、余弦公式

4、题点给角求值解原式 sin(x27 )cos(18 x)cos(x27 ) sin(x18 ) sin(x 27 )cos(18 x)cos(x27 )sin(18 x)sin(x27 )(18 x)sin 45 22. (2)sin50 sin20 cos30 cos20 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值答案12解析原式sin 20 30 sin20 cos30 cos20 sin20 cos30 cos20 sin30 sin20 cos30 cos20 cos20 sin30 cos20 sin30 12. 反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为

5、弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式. (2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解. 跟踪训练1计算： (1)sin14 cos16 sin76 cos74 ；(2)sin(54x)cos(36x)cos(54 x)sin(36x). 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值解(1)原式 sin14 cos16 sin(90 14 )cos(90 16 ) sin14 cos16 cos14 sin16 sin(14 16 )sin30 12. (2)原式 sin(54 x)(36 x)sin90 1. 类型二

6、给值求值例 2已知 sin34513，cos435，且 0 4 34，求 cos( )的值 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值解0 4 34，3434 ，24 0. 又sin34513，cos435，cos341213，sin445. cos( )sin2 sin344sin34cos4cos34sin451335 1213 453365. 反思与感悟(1)给值 (式)求值的策略当“已知角 ”有两个时， “所求角 ” 一般表示为两个“已知角 ”的和或差的形式. 当“已知角 ”有一个时，此时应着眼于“所求角 ”与“已知角 ”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角 ”变成 “已知角

7、 ”. (2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解 . 跟踪训练2已知2 34，cos( )1213，sin( )35，求 cos2与 cos2的值 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值解2 34，0 4， 32. sin( )1cos2 112132513，cos( )1 sin2 135245. cos2 cos( )( )cos( )cos( )sin( )sin( ) 451213 355133365，cos2 cos( )( ) cos( )cos( )sin( )sin( ) 451213 355136365. 类型三可化为两角

8、和与差的正弦形式例 3将下列各式写成asin(x )的形式：(1)3sinxcosx；(2)24sin4x 64cos4 x . 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值解(1)3sinxcosx232sinx12cosx 2 cos 6sinxsin 6cosx 2sin x6. (2)原式2212sin4x 32cos4x22sin 6sin4x cos 6cos4x22cos4x622cos12x22sinx512. 反思与感悟一般地对于asin bcos 形式的代数式， 可以提取a2 b2，化为 asin(x )的形式， 公式 asin bcos a2b2sin(

9、)(或 asin bcos a2b2cos( )称为辅助角公式 .利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值. 跟踪训练3sin123cos12. 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案2 解析 原式 212sin 1232cos 12，原式 2cos3sin 12sin 3cos122sin 12cos 3cos12sin32sin1232sin 42. 1.计算2cos126sin12的值是 () a.2b.2c.22d.22考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案b 解析2cos 126sin 122 212cos 1232sin 1222sin

10、 6cos 12cos 6sin 122 2sin61222sin 42. 2.sin20cos10 cos160 sin10 等于 () a.32b.32c.12d.12考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值答案d 解析sin20 cos10 cos160 sin10 sin20 cos10 cos20 sin10 sin30 12. 3.已知锐角 ， 满足 sin 255，cos 1010，则 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值 (角 ) 答案34解析 ，为锐角， sin 2 55，cos 1010，cos 55，sin 3 1010. cos( )cos cos sin

11、sin 5510102 553 101022. 又0 ， 34. 4.设 为锐角，若cos 635，则 sin 12. 考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案210解析因为 为锐角，所以6 623. 又 cos 635，所以 sin 645. 所以 sin 12sin 64 sin 6cos4 cos 6sin445223522210. 5.化简： sin43x cos33x cos63x sin43x . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值解原式 sin43x cos33x sin33x cos43x sin4 3x 33xsin43sin4cos3cos4si

12、n322122232264. 1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系c 以 代换c 诱导公式s 以 代换 s. (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式c，c可记为 “同名相乘，符号反”；对于公式s，s可记为 “异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式c，c，s，且公式sin( )sin cos cos sin ，角 ， 的 “地位 ”不同也要特别注意. 2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式. (2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接

13、运用公式. (3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是 “1” 的代换，如1sin2 cos2 ，1sin90 ，12cos60 ，32sin60 等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数. 一、选择题1.已知 2，sin 435，则 sin等于 () a.210b.7 210c.210或7 210d.7210考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值答案b 解析由 2，得34 454，所以 cos 41sin2 4135245. 所以 sin sin 44sin 4cos 4 cos 4sin

14、42235457210，故选 b. 2.sin10cos20 sin80 sin20 等于 () a.32b.12c.12d.32考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值答案c 解析sin 10 cos 20 sin 80 sin 20 sin 10 cos 20 cos 10 sin 20 sin(10 20 )sin 30 12，故选 c. 3.在 abc 中， a4， cosb1010，则 sinc 等于 () a.255b.2 55c.55d.55考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值答案a 解析sincsin (ab)sin(a b)sinacosbcosasinb 22(co

15、sb1cos2b)22101031010255. 4.已知 0 2 ，又 sin 35，cos( )45，则 sin等于 () a.0 b.0 或2425c.2425d.0 或2425考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值答案c 解析 0 2 ，sin 35，cos( )45，cos 45，sin( )35或35. sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 2425或 0. 2 0，cos 0，由(sin cos )212sin cos 169. 可得 sin cos 43. 解得 sin 426，cos 246. 因为 cos12cos34cos3cos4sin3si

16、n4264，sin12sin34 sin3cos4cos3sin4624，则 sin 12sin cos12 cos sin124266242466242 236. 二、填空题9.sin15sin75 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值答案62解析sin 15 sin 75 sin(45 30 )sin(45 30 )2sin 45 cos 30 62. 10.(2017全国 )函数 f(x)2cosxsinx 的最大值为 . 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案5 解析f(x)2cosxsinx52 55cosx55sinx ，设 sin 2 55，c

17、os 55，则 f(x)5sin(x )，函数 f(x) 2cosxsinx 的最大值为5. 11.sin27 cos45 sin18 cos27 sin45 sin18 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给角求值答案1 解 析原 式 sin 45 18 cos45 sin18 cos 45 18 sin45 sin18 sin45 cos18 cos45 sin18 cos45 sin18 cos45 cos18 sin45 sin18 sin45 sin18 tan45 1. 三、解答题12.已知 sin 55，sin( )1010， ，均为锐角，求的值 . 考点两角和与差的正弦、余弦

18、公式题点给值求值 (角 ) 解为锐角， sin 55， cos 2 55. 2 2且 sin( )1010， cos( )31010，sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 10102 553 10105522. 又为锐角， 4. 13.若 sin2 55，sin( )1010，且 4， ，32，求 的值 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求角解因为 4，所以 2 2，2. 又 sin2 55，故 2 2，所以 4，2，且 cos2 255. 又 ，32，所以 2，54， 54，2，于是 cos( )31010，所以 cos( )cos2 ( )cos 2 cos( )sin2 sin( ) 255 3101055101022，故 74. 四、探究与拓展14.定义运算abcdadbc.若 cos 17，sin sincoscos3 314，0 2，则 . 考点两角和与差的正弦、余弦公式题点给值求值答案3解析由题意，得sin cos cos sin 3314，sin( )3 314. 0 2，0 2，cos( )1271961314. 又由 cos 17，得 sin 437. cos cos ( )cos cos