2022考研数学（三）9月模考试卷附答案解析

1、2022考研数学（三）9月模考试卷附答案解析1_函数虹在x = 0处为（）1 + 一 |X|A.可去间断点B.跳跃间断点 c.无穷间断点 D.振荡间断点参考答案A答案解析“x）在x = 0处间断，考虑间断点处的左、右极限.故x = 0是“X）的可去间断点，A正确.力=（1 + 3+2）|9r|不可导点的个数为（）.A.1B.2C.3D.4参考答案B答案解析/(x) = (x+2Xx+l)| x+l|x|x-l|,由常用结论：设“x) = ax)|x-a|,其 中火©在a处连续，则/(x)在a处可导的充要条件是以a) = 0.可知显然，/(x)有x = O,x=l两个不可导点.KK设人

2、=| : sin(sin x)dx,I2 = F cos(sin x)dx，贝I ()C.l<Il <Z2参考答案A答案解析因为xeO,g,所以在该区间上sinx单调增加，cosx单调减少，而兀sinx<x , 故当 X6 (0：彳)时，有 sin(sinx)<sin x,cos(sinx) > cosx ,故 I=2 sin(sin x)dx < 2 sin xdx = -cos=1.Z2 = I 2 cos(sin x)dx > | ； cos xdx = sin 喏=1.综上可知，<1<Z2» A正确.设y（xj） = ar

3、csingTF ,则下列选项正确的是（）A/30）存在，4Q0）存在B.£（QO）不存在,4。0）存在c/go）不存在，4©0）不存在D/（0,0）存在，1。0）不存在参考答案B答案解析八、1- /（.0）/（0.0） arcsin I x| v I x| 丁 £（0.0）=hm八.' 八.、hm二hm-，不存在，x-»O%x->0% xtO %（0,0） = lim= lim 3rcsg：=.匕=0,故 B 正确.串>'->0pjtO i，jtO i，已知公恰是非齐次线性方程组人=6的两个不同解，疏叁是时应齐次线性 方

4、程组=0的基础解系，原质为任意常数，则击=6的通解为（） AA4+似4+ &）+巧生B A藁+伤（亡之）+生子c .占或+向（/+小）+D.履氤+用（%一小）+ ":参考答案B答案解析.4x=b的通解为4r = 0的通解加上.4x=b的一个特解， 根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，知一.叫）=； （即+-海）=3，即;8-2）是毋=0的解，故排除A, C.因不能判定%-秘是否与线性无关，所以不能选D.事实上，由gm + 2）是为=6的解，且与媪-刍线性无关，所以4，。-刍是4x=0的基础解系，故B正确.t设向量组al,”46，%线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.

5、A. % + /： / + % % + a4z a4 +佝B. % + a” G? + % ： a3 + ”4： 一佝C. + a2sa2 -a3：a3 +a4：a4-axD. a1一 a1： a? 一 % ： a, 一 a4： a4 ax参考答案B答案解析考虑到选项中每个向量均为的线性组合，记片=%+生,旦=生+生,旦=里+ '：月=4一%, "loo -rn.1 1 0 0 记则（月g,3）=（%/）o 1 0 r4%）c 、o o I L由%巧,4线性无关,及|C|=2wO,即C可逆，故昂弁0,女线性无关.(a b b、设/ = J a b (。力均不为0),且“/*)

6、=1，则必有(I6 b%A.a = bB.a = 6 或。+ 26工0C. a + 2b = 0 D. aw方且。+ 26=0参考答案C答案解析由 (/*)=1，知，04) = -1 = 3 - 1 = 2,故 |.4|=0 一abb1又|/|=b a 6 = (a 4- 2b) 1b b a100a-b 0 =(a+2b)(a-b)2 =0 a-b或。=b.又当a = 6时，(4) = 102,故a +2b = 0 (由a力均不为零,可知a +2b = 0已经蕴含aHb),故C正确.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是(1 + x2B. Fx) = arctanx+ -712C.F(

7、x) = <0,x<0,D.F(力=/康且 P/(r)=lJ -®> ®参考答案B答案解析产(x)要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下三个条件:(3)O< F(x) 4L 尸(例)=L F(-x) = 0 ；尸(x)是单调不减函数；尸(x)右连续，即lim F(x) = F(a).只有选项B满足以上三个条件，而A, C中F(x)不满足F(+od) = 1, D中尸(x)不一定单调不减.I设随机变量X*均服从NOD，且X与y相互独立，则()A.P-0=：B.Px+y2 0=；C.PnunJr>0 = -4D. PmaxXn>0 = -4

8、参考答案c答案解析7令4=X20，4=FN。，则4与遥相互独立，且尸(4)=尸(4)=,吠*必=；，其中火力为N(M)的概率密度，故 Pminr > 0 = P > osr > 0)=尸(44)=尸(4)尸(4)=L c 正确. 4由相互独立且均服从NO1),知X+EX-F服从N©2),故尸x+y 2。=尸万一20=:， 3尸max XJ>0 =尸(4 U2) = l-尸(4 U/%) = 1-产(&)尸(X?)= '''4选项A, B, D错误.10设袋中有6只红球，4只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共 进行4次，

9、设X表示摸到红球的次数，则百=().参考答案C答案解析依题设，可知试验为有放回摸球，故每次摸到红球的概率为|,13 12所以X3(41),故m= = 4x=q.故选 C.11设y = /(x)由方程x="sin"丑地确定，贝ljlim河八1)-U =J14n-o 参考答案11x= P、sin，(马山两边同时对X求导，得1 = (_/-1)7山，隹0-切, “44解得y'=csc2隹(y-x) + L又由已知,当X = o时，V = l,4即/(0) = 1,故川2=3,于是 lim 4/(-) -l = Hm =/'(0) = 3.>WX«-

10、>001n12积分厂吧f=-1X参考答案r*® arctan x .lrzL 1”h ；dx = _| arctan xa(-) = - arctan兀 L dx 4 Ji 式1+£)而 1 x(l + x：)H+=lim (in 巴-In -4=) = In 2 ,i yll+b2 0 213二重积分I = f sin好+(去北而崇=+ p_h Kl+x2) 9E)卜s戒故原积分=£ +m1!2.4 2/(-)-/(0)由已知，作出积分区域。，交换积分顺序，如图所示,2 r 2兀分部积分4-ycos-v-3（2+）.14设二阶常系数线性微分方程/ +砂，+

11、 by = c/有特解/ =尸Q +必，,则该方程 的通解为.参考答案由特解/ =1Q+-X)=1,知该方程对应的齐次微分方程有特征根 勺=-5=1，且"是其特解，故该方程的通解为尸4。-"+6/+行(G，G为任意常数)-15x -2x 121 r 1-1设x)=；:；，则/的系数为-111x若按第1行展开，只有-2x乘以其代数余子式会出现x3项,故只要求出这一项即可.1 1 -1 1(-2力(-1严 3 3x 1 =2x311x103x30-11 = 2x(3x-3)(x+l) = 6x，-6x,x故x3的系数为6.16设事件 AHC满足 P(A) = P(B) = P(

12、C)=尸(且8) = P(BC) = O:P(JQ =-,48则45c三个事件中至少出现一个的概率为.参考答案由 XBCuHB,知尸(且BC)SPQIB) = O,所以PQL8C) = 0,故所求概率为尸(X u B u。)=尸(，。+ 尸(B) + P(Q - P(AB)- P(AC) - P(BC)+P(ABC)1 1 1八1八八54 4 48817求下列极限：(1)设lim L、sinx(.>o ),求一。a-12J。三(2)设是三次多项式，且有lim2Q2 = lim1"=1(。工0),求 34 - 4ax 4。./(X)lim.Ta%3。答案解析皿1+萼1(1)由已知

13、lim严工=：,结合极限和无穷小的关系，有一。a -12皿1 +萼1 = -+«,其中lima = O,又当xf 0时，ax-l-xna,所以有 x-*0i M /(X)n1 lnl + 1 - xln a + axln a ,sinx 2从而&Lxlna (这里axlna是比x高阶的无穷小)，即有sinx 21 . j(x) 1 . i 品./(x) r 211sin xln a ,故 lim = hm -= In a.x 2i。x x x 2(2)由1而且2 = 1而/曳=l("0),可知/(2a) =/(4a) = 0 (否则极限为 xiax-2a xXxTa

14、oo).因而x-24x-4a均为"x)的因式，又/(x)是三次多项式, 故可令/(x) = K(x-2aXx-4aXx-3),其中43为待定常数.4, . f(x) ,4(x-2aXx-4aXx-B).田 lim= lim= -2Aa(2a-B),xm x2a xt2zix-2a知-2,4a(2a-3) = L出 r f(x) r /(x-2aXx-4aXx-3) . D田 lim= hm=24a(4a-B),Xx-4ax-4a知 2/a(4a-3) = L联立式，解得，白1=3* 从而/(x) =，y(x-2a)(x-4a)(x-3a),故前血=】而表XT3ax-3a r-3aX-

15、3df2 18设Z)： x+y1 </2x,0<y<x,计算/ = |J|旧+/*D答案解析 用/+/=1,即r = l将。划分为2与3,如图所示，贝|J / = H(1+ f(r-Y)rdrd6 = ffQ - L>drd6- (-r)rdrd6Azidzi= 2f(l-ry-drde -(y-ry-drde = 2 d6(-rrdr -J d61"：°方 Q - r)rdrA'd''19= £_f(cos12 J。"注cos，0)d071SX71=+-129 48117136-24计算r1 QQsOdr

16、.13答案解析直接计算极坐标下的二次积分较烦琐，将其化为 直角坐标下的二次积分.8 =三=y =x;42.r = x = 2;cos 81rVsincos 户 sin 8cos6积分区域如图所示，故在直角坐标系下有I =xdy =小一班=dx-(改=j .20设数列® 满足an=a()+nd,n=l,2,-,其中/H0, d h 0为常数(1)求fa“丁的收敛域;»0答案解析(1)利用公式求收敛半径im |=lim| % +(" + 1”|= 1, -° an 29% + nd故出=1,收敛区间为(-LI).当x = ±1时，£ (&

17、#177;1)” q发散(由lim a- 0 ),故收敛域为(-11).一 ,00 »-0(2)求fa“9的和函数S(力.S(x)=它 4%" = £ (% + 必/=£ 4式+d£ Mn-0n-0a。n-0记0a=S(x) +，2(力再(%) = £ aX =3M-01-X®®®»1五S2(x) = dnxn = dx=dx£(x> =杰(Rxn)'= dx(-)'=-y4。木©MaO1 - X(1X)故S(x) = F + $令x = 2 得

18、3;黑=2% + 2力 l-X (l-x)240幺21设/为3阶实对称矩阵，二次型/(冷孙F)= xt如在正交变换x = 0下的标准 形为时+2为+*,其中°的第1列为(± + 9)7,且|岗=-4.(1)求a的值；(2)求正交矩阵。.(1)由二次型在正交变换X = 0,下的标准形为7 + 2* + ayl, 知矩阵A的特征值分别为4=-l，4=2,%=a.又由;/1= 4&4 = (-1)x2xa = -4,得a = 2.(2)由正交矩阵。的第1列为可知特征值4 =-1时应的特征向量为名=(L Li)7.令a =(再,肛%3),是& = 4 =2对应的特征向量，则由+巧+演=0, 解得生=(L -L 0)。生=(；：-I)，是4 = %对应的特征向量，且生，生正交.将生&单位化，得%=今n (1、-1 Z=f 1 ) 贝 IOj 'J1± 1 0 0 巫,Q= * 白：为所求的正交矩阵.102、忑 一 22_婀一32亦' '占天)为总体X的0, x<o, 简单随机样本.(1)求4的最大似然估计量2；(2)记Y=lnX,求的分布函数和瓦i.答案解析12T 1(1)似然函数