《高等数学教学资料》微积分学广义积分敛散性判别（1）ppt课件

1、一、无穷积分 无穷区间上的广义积分 . ) , )( 上有定义在设函数axf . ) , ()( , , 记且AaRxfaARA , d)(limd)( AaAaxxfxxf . ) , )( 上的无穷积分在称之为axf限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则 该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式 . 分发散1. 无穷积分的概念解 )0( d 的敛散性，积分讨论axxPap . 为任意常数其中P : 1 时当P |lnd aaxxxaxxln |lnlim , . 1 积分发散时，故Pp : 1 时当Papapxxx 1d1 . 1 , 1 , 1 , 1 ppapp 发散 收

2、敛2. 无穷积分敛散性的判别法 : , 定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上 ; d)(limd)( xaxattfxxf . d)(limd)( bxxbttfxxf . 函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理 . 0)( , ) ) , ()( xfaCxf且设函数 ) , d)()( attfxFxa在若积分上限函数 . d)( , 收敛则无穷积分上有上界axxf证 , , 0)( , ) ) , ()( 所以且因为xfaCxf . ) , )( 上单调增加在积分上限函数axF , ) , )( 从而上有上界在又已知函数axF d)()( xattfxF . ) , 由极

3、限存在准则上单调增加且有上界在a . d)(lim)(lim x存在可知极限xaxttfxF . d)( 收敛即无穷积分axxf定理 比较判别法 , , , ) , )( , )( aARAaxgxf上有界在设函数 0)()(，xfxg . d)( d)( ) 1 ( 也收敛收敛时，积分当则aaxxfxxg . d)( d)( )2( 也发散发散时，积分当aaxxgxxf , ) , ()( ),(且满足AaRxgxf证 )()(0 , 得时由xgxfxa d)( ) 1 ( ，则下列极限存在收敛若积分axxg , d)(d)(0 xaxattgttf , 积分上限函数从而 . ) , d)(

4、 )( 上有上界在attgxGxa , ) , d)()( 上有上界在attfxFxa . d)( 收敛故积分axxf lim( )d . xaxg ttI , 故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极 . )2(运用反证法 , d)( , d)( 收敛积分发散时如果aaxxgxxf . d)( : ) 1 ( 收敛立即可得出矛盾则由axxf定理比较判别法的极限方式法 , ) , , ) , )( , )( aAaxgxf上的非负函数为定义在设 . ) A , ()( , )(aRxgxf d)( d)( , 0 ) 1 ( 同时与无穷积分时当aaxxgxxf . , 或同时发散收敛( ) l

5、im , , ( ) xf xg x若有极限那么 . d)( , d)( , 0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当aaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 发散则发散无穷积分时当aaxxfxxg例1解 . d arctan 1 的敛散性判别无穷积分xxx 因为 , 2arctanlimarctanlimxxxxxx . d arctan 1 是发散的故无穷积分xxx例2解 1 23 . 1d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为 , 1lim1lim2223xxxxxxxx . 1 d 1 23是发散的故无穷积分 xxx例3解 1 2 . 1 d 的敛散性判别无穷积分xxx 因为) 12

6、 ( , 11 lim1 1lim222pxxxxxxx . 1 d 1 2收敛故无穷积分 xxx例4解 d)( 时，收敛，则当如果积分xxxfa 0)( 吗？一定有xf . 不一定 . dsin 1 2xxI例如，考虑积分, 2dd , ttxtx则令 1 1 2 dsin21dsintttxxI，且显然， 0 1lim)(lim , 1)() 1,ttgttgtt . )t(1 , 2 |cos1cos| | cos| |dsin| | )(| 1 1 tuuutFtt . sinlim 2不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知xx定理阿贝尔判别法阿贝尔判别法 . ) , )( , )(

7、 上有定义在设axgxf ) , )( , d)( 上在函数收敛若积分axgxxfa . d)()( , , 收敛则积分有界单调axxgxf狄利克雷判别法狄利克雷判别法: . ) , )( , )( 上有定义在设axgxf，存在有界的原函数上若在 d)( )( )( ) , xattfxFxfa . d)()( , 0)(lim )( x收敛则积分单调减少且axxgxfxgxg二、瑕积分1. 瑕积分的概念无界函数的广义积分(1) 瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数 ),(U )( 0 00 xxxf . )( 的一个瑕点函数xf 1)( 的一个瑕点；是例如：axxfax . )1ln()(

8、1 2的瑕点是xxgx . 1)( 22的瑕点是axxhax(2) 瑕积分的概念 . , ,( )( 为其瑕点上有定义在设axbaxf , ) , ()( , 0 记若baRxf , d)(limd)( 0 babaxxfxxf . , )( 上的瑕积分在称之为函数baxf , , 极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在 . , ; 则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值 . d)(limd)( 0 babaxxfxxf类似地，可定义, ) 1 (为瑕点时当bx , )( )2(为瑕点时当bcacxbccabaxxfxxfxxf d)(d)( d)( , )(limd)(lim0 0 b

9、ccadxxfxxf . d)( , d)( d)( 才收敛同时收敛时与仅当babccaxxfxxfxxf . d)( , d)( d)( 发散至少有一个发散时与babccaxxfxxfxxf与无穷积分的情形类似，瑕积分也有以下运算方式： . ) ( , )(lim)( )(d)( 为瑕点axxFbFxFxxfaxbaba . ) ( , )()(lim )(d)( 为瑕点bxaFxFxFxxfbxbaba这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联络起来了. 解) ( . )( d )( 为任意常数的敛散性瑕积分讨论paxxPbap . , , 0 ) 1 (故是收敛的积分为通常的定积分时当Pp ,

10、 , , 0 )2(此时为瑕点时当axp . , |ln d , 1 积分发散则若Paxaxxpbaba , 1 则若p . 1 , 10 1)( )(11 )( d 1 1 发收pppabaxpaxxpbapbap综上所述，得 ; )(d )( , 1 收敛瑕积分时当bapaxxPp ; )(d )( , 1 发散瑕积分时当bapaxxPp定理瑕积分的比较判别法 , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕点与为设xgxfaxbaCxgxf . ) ,( , )()(0 baxxgxf且满足 ; d)( , d)( 收敛则收敛若积分babaxxfxxg . d)( , d)( 发散

11、则发散若积分babaxxgxxf定理比较判别法的极限方式法 d)( d)( , 0 ) 1 ( 同时与无穷积分时当babaxxgxxf . , 或同时发散收敛( ) lim , , ( ) xaf xg x若有极限那么 . d)( , d)( , 0 )2( 收敛则收敛无穷积分时当babaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 发散则发散无穷积分时当babaxxfxxg . ) ,( , )()(0 baxxgxf且满足 , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕点与为设xgxfaxbaCxgxf定理瑕积分的柯西极限判别法 积分综合而成由比较判别法与P . , 0)( ,

12、 ) ,( ()( 为其唯一的瑕点且设axxfbaCxf , )()(lim , 10 则存在使得若存在常数xfaxppax ; d)( 收敛瑕积分axxf . d)( , )()(lim 发散则瑕积分apaxxxfxfax , 0)()(lim , 1 或者使得若存在常数Ixfaxppax例5解 . d1sin 1 0 2的敛散性判别积分xxx , 1 1sin 02xxx , 11lim , 1lim 2100 xxxxx又 . 0 ,因为为瑕点这是瑕积分x . ) 21 ( d 1 0 pxx收敛故瑕积分 . d1sin , 1 0 2收敛原积分从而xxx柯西判别法比较判别法 函数 :积

13、分的敛散性首先研究一个含参变量 ). 0 ( , d 0 1sxexxs 0 ,为瑕点的又是一个以积分这个积分既是一个无穷x . 瑕积分 : , 将积分表示为为此 . ddd 1 11 0 1 0 1xesxesxesxsxsxs . 无穷积分的和这是一个瑕积分与一个瑕积分无穷积分 , d , 0 1 0 1且的唯一的瑕点是因为xexxxs , 1lim1 10sxsxxex , 1 1d 1 0 1 0 1sxsxxss而 , , d , 0 1 0 1从而收敛积分时故当xxss . d , 0 1 0 1收敛瑕积分时当xexsxs比较判别法的极限方式 , 0limlim 12 1xsxxs

14、xexxex又 : , d 1 2 故由比较判别法可知是收敛的而积分xx . d , 0 1 1收敛无穷积分时当xexsxs : , 0 ,敛下列含参变量的积分收时当综上所述s ). 0 ( , d 0 1sxexxs . 积分该积分称为欧拉第二型 ) 1 (函数的概念 定的函数由含参变量的积分所确 ). 0 ( , d)( 0 1sxexsxsNoImage . ) Gamma ( 函数称为 . 积分函数又称为第二型欧拉 )2(函数的简单性质 .)( , 0s ) 1Cs时当 . )( ) 1( , 0 ) 2ssss时当 特别有 . )( ! ) 1()( ; )( ! ) 1( ; 1) 1 (ZnnnZnnn . sin )1 ( )( , 10 ) 3ssss时当下面证明这个递推关系式 . )( ) 1( , 0 :ssss时当证明时当运用分部积分法得 0 ,s d d) 1( 0 1 0 0 xexsexxexsxsxsxs )( )()(lim0 ssexexxxsxsx . )( ss 例6解 . d , 21 0 2xex并由此计算求 , 2sin sin211