状态转移模型实用教案

1、会计学1状态转移状态转移(zhuny)模型模型第一页，共39页。例例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态：设某商店经营情况可能有三种状态：好（好（S1：利润丰厚）、一般（：利润丰厚）、一般（S2）和不好（）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为，下月状态为Sj的概率为的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），），0pij1例例4.6中的关系既可用一转移中的关系既可用一转移(zhuny)矩阵表示矩阵表示 333231232221131211pppppppppA第1页/共39页第二页，共39页。例例4.7 研究某一草原生态系统中

2、物质磷的循环，考研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别系统之外四种状态，分别 以以S1，S2，S3和和S4表示表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为外的概率为 0.2；牧草中的含磷以；牧草中的含磷以 0.6的概率被牛的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，羊吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中

3、的磷败归还土壤；牛羊体中的磷 以以0.7的概率因粪便排的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自泄而还归土壤，又以自 身身0.1的比率因屠宰后投放的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000S4流失流失系统外系统外0.10.200.7S3羊体羊体含磷含磷00.60.30.1S2牧草牧草含磷含磷0.200.40.4S1土壤土壤含磷含磷i时段状时段状态态S4S3S2S1i+1时段状态时段状态状态转移概率状态转移概率第2页/共39页第三页，共39页。相

4、应的转移相应的转移(zhuny)矩阵矩阵 为：为： 10001 . 02 . 007 . 006 . 03 . 01 . 02 . 004 . 04 . 0M且且Sj+1=SjM马氏链模型的性质完全由其转移矩马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1） （I , j=1,n）（2） （i=1,n） 这样的矩阵被称为这样的矩阵被称为 随机矩阵随机矩阵。10 igP11 njigP第3页/共39页第

5、四页，共39页。 下面给出双亲体基因型的所有下面给出双亲体基因型的所有(suyu)可能的结合，以及其后可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如代形成每种基因型的概率，如 表所示。表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基我们所考虑的遗传特征是由两个基 因因A和和a控制的，（控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，a

6、a。 1000aa010Aa0001AA后后代代基基因因型型aaaaAaaaAaAaAAaaAAAaAAAA父体父体母体的基因型母体的基因型双亲随机结合双亲随机结合(jih)的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例一个较简单的特例 。第4页/共39页第五页，共39页。例例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为AA,Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的

7、任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设：令n=0,1,2,。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物(zhw)中，基因型 为AA,Aa和aa的植物(zhw)占植物(zhw)总数的百分比 。令x (n)为第n代植物(zhw)的基因型分布： nnnncbax)(当当n=0时时 000)0(cbax表示植物基因型表示植物基因型的初始的初始(ch sh)分布（即培育开分布（即培育开始时的分布）始时的分布）例例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为AA,Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植

8、物型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？第5页/共39页第六页，共39页。（b）建模）建模根据假设根据假设(ii)，先考虑第，先考虑第n代中的代中的AA型。由于第型。由于第n1代的代的AA型与型与AA型结合型结合(jih)。后代全部是。后代全部是AA型；第型；第n1代的代的Aa型与型与AA型结合型结合(jih)，后代是，后代是AA型的可能性为型的可能性为 1/2，而，而 第第n1代的代的aa型与型与AA型型结合结合(jih)，后代不可能

9、，后代不可能 是是AA型。因此当型。因此当n=1,2时时1110211 nnnncbaa1121 nnnbaa即即类似类似(li s)可可推出推出1121 nnncbbcn=0 显然有显然有（ii）第第n代的分布与代的分布与 第第n1代的分布之间的关系是通过表代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。确定的。1000 cba(4.2)(4.3)(4.4)第6页/共39页第七页，共39页。将将（4.2）、（）、（4.3）、（）、（4.4）式相加，得式相加，得111 nnnnnncbacba根据根据(gnj)假设假设(I)，可递推得出：，可递推得出：1000 cbacbannn对于对于(4.2)式式

10、.(4.3)式和式和(4.4)式，我们采用矩阵式，我们采用矩阵(j zhn)形式简形式简记为记为, 2 , 1,)1()( nMxxnn其中其中 nnnncbaxM)(,00012100211（注：这里(zhl)M为转移矩阵的位置） (4.5)第7页/共39页第八页，共39页。由由（4.5）式递推，得式递推，得)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn (4.6)（4.6）式给出第式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出为了计算出Mn，我们将，我们将M对角化，即求出可逆矩对角化，即求出可逆矩 阵阵P和对角和对角库库D，使，使 M=PDP-1因而有

11、因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,其中其中 nnnnD321321000 这里这里 ， ， 是矩是矩 阵阵M的三个特征值。对于的三个特征值。对于 (4.5)式式中的中的M，易求得它的特征值和特征向量：，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =01 2 3 1 2 3 第8页/共39页第九页，共39页。因此因此(ync) 121 011 001,0000210001321eeeD所以所以(suy) 100210111321eeeP通过计算通过计算(j sun)，P-1=P，因此有，因此有)0(1)(xPPDxnn 000 100210111 0000210001 100210

12、111cban第9页/共39页第十页，共39页。即即 00011)( 000212102112111cbacbaxnnnnnnnn 021212121010010000cbcbcbannnn第10页/共39页第十一页，共39页。所以所以(suy)有有 0212121211010010nnnnnnnccbbcba当当 n时，时，021 n，所以从（，所以从（4.7）式得到）式得到0, 0, 1nnncba即在极限的情况下，培育的植物都即在极限的情况下，培育的植物都 是是AA型。型。若在上述问题中，不选用基若在上述问题中，不选用基 因因AA型的植物与每一植物结合，型的植物与每一植物结合，而是将具有

13、相同基因型植物相结合，那么后代而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代(hudi)具有三具有三种基因型的概率如种基因型的概率如 表所示。表所示。41214111/40aa01/20Aa01/41AA后后代代基基因因型型aaaaAaAaAAAA父体父体母体的基因型母体的基因型第11页/共39页第十二页，共39页。并且并且)0()(xMxnn ，其中，其中 141002100411MM的特征值为的特征值为21, 1, 1321 通过计算，可以解出与通过计算，可以解出与 、 相对应的两个线性无关的特相对应的两个线性无关的特征向量征向量e1和和e2，及与相对应的特征内，及与相对应的特征内 量量e3：1

14、 2 121,100,101321eee因因此此(ync) 02101110211,1112001011PP第12页/共39页第十三页，共39页。)0(1)(xPPDxnn 000 02101110211 2100010001 111200101cban解得：解得： 01000102121212121bccbbbaannnnnn当当 n 时，时，021 n，所以，所以000021, 0,21bccbbaannn 因此，如果用基因因此，如果用基因 型相同的植物培育型相同的植物培育 后代后代(hudi)，在极限情况，在极限情况 下，后代下，后代(hudi)仅具有基仅具有基 因因AA和和aa。第13

15、页/共39页第十四页，共39页。例例4.9 常染体隐性疾病模型常染体隐性疾病模型现在世界上已经发现的遗传病有将现在世界上已经发现的遗传病有将 近近4000种。在种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则患者经常未到成年就痛苦地死去，而

16、他们的父母则 是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者）性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝，那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不不 会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。 第14页/共39页第十五页，共39页。现在，我们考虑在控制现在，我们考虑在控制结合的情况结合的情况(qngkung)下，如何下，如何确定后代中隐性患者

17、的确定后代中隐性患者的概率。概率。 （a）假设）假设（i）常染色体遗传的正常基因记常染色体遗传的正常基因记 为为A，不，不 正常基因记正常基因记 为为a，并以，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患分别表示正常人，隐性患者，显性患 者的基因型者的基因型（ii）设设an,bn分别表示第分别表示第n代中基因型为代中基因型为 AA，Aa的人占总人数的百分比，的人占总人数的百分比， 记记 ，n=1,2,（这里（这里 不考不考 虑虑aa型是因型是因 为这些人不可能成年并结婚）为这些人不可能成年并结婚）（iii）为使每个儿童至少有一个正常的父为使每个儿童至少有一个正常的父 亲或母亲，因此

18、隐性患者必须与正常亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由人结合，其后代的基因型概率由 下表下表 给出：给出： nnnbax)(1/20Aa1/21AA后后代代基基因因型型AAAaAAAA父母的基因型父母的基因型第15页/共39页第十六页，共39页。（b）建模）建模由假设（由假设（iii），从第），从第n1代到第代到第n代基因型分布的变化代基因型分布的变化(binhu)取取决于方程决于方程1121 nnnbaa11210 nnnbab所以所以(suy), 2 , 1,)1()( nMxxnn，其，其中中(qzhng) 210211M如果初始分如果初始分 布布x(0)已知，

19、那么已知，那么 第第n代基因型分布为代基因型分布为, 2 , 1,0)( nxMxnn解解 将将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得pPPDnn 1,1011 ,21001第16页/共39页第十七页，共39页。计算计算(j sun) 00)0(1)( 1011 21001 1011baxPPDxnnn= 0000002121 2102111bbbabannnn , 2 , 1 2121100nbbbannnn(4.8)因为因为100 ba，所以当，所以当 n 时，时，1na，0nb隐性患者逐渐隐性患者逐渐(zhjin)消失。消失。 从从(4

20、.8)式中可知式中可知121 nnbb每代隐性患者每代隐性患者(hunzh)的概的概率是前一代隐率是前一代隐性患者性患者(hunzh)概率概率的的1/2。 (4.9)第17页/共39页第十八页，共39页。（c）模型讨论）模型讨论研究在随机研究在随机(su j)结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机，但随机(su j)结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机而用其它技巧，在随机(su j)结合的情况下可以结合的情况下可以 把（把（4.9）式改）式改写为写为2 , 1,21111 nb

21、bbnnn(4.10)下面给会出数值例子：下面给会出数值例子：某地区有某地区有10%的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制结合，根据结合，根据（4.9）式可知下一代式可知下一代 （大约（大约27年）的隐性患者年）的隐性患者将减少到将减少到5%；如果随机结合，根据如果随机结合，根据 （4.10）式，可以预言）式，可以预言下一代人中下一代人中 有有9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生是隐性患者，并且可计算出大约每出生400个黑人孩子，其中有一个是显性患者。个黑人孩子，其中有一个是显性患者。第18页/共39页第十九页，共39页。（近亲繁殖）（近亲繁殖）

22、近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其中况，其中代表男性，代表男性，代表女性。代表女性。设曾祖父有某基因设曾祖父有某基因 对对A1A2，曾祖母有某基因，曾祖母有某基因 对对A3A4，容易求，容易求得：祖父母取得：祖父母取 得得A1的概率为的概率为 1/2，故祖父母同，故祖父母同 有有A1基因的概基因的概率为率为1/4；

23、父母同有；父母同有A1基因的概率为基因的概率为 1/16，而子女从父母那里，而子女从父母那里获得基因对获得基因对A1A1的概率为的概率为 1/64，而获得相同基因对（称为基，而获得相同基因对（称为基因纯合子）因纯合子）A1A1，A2A2，A3A3或或A4A4之一的概率为之一的概率为 1/16,此概此概率被称为表兄率被称为表兄 妹妹(或堂兄妹或堂兄妹)结婚结婚(表亲表亲)的的近交系数近交系数。类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数 为为1/32，从表亲（父母为表亲）的近交系数，从表亲（父母为表亲）的近交系数 为为1/64；非近亲结婚不；非近亲

24、结婚不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基因对的情况，故近交系数基因对的情况，故近交系数 为为0。第19页/共39页第二十页，共39页。（群体的近交系数）（群体的近交系数） 设某群设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如交系数。例如(lr)，某村镇共有，某村镇共有2000对婚配关系，其中有对婚配关系，其中有59对表亲对表亲，22对半堂亲对半堂亲 和和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为对从表亲，则该村镇的近亲系数为 0024. 0

25、641200028321200022161200059 F现在，我们来研究近亲结现在，我们来研究近亲结 婚会产生什么结果。婚会产生什么结果。设某基因对由设某基因对由 A、a两种基因组成，出两种基因组成，出 现现A的概率为的概率为p，出现，出现a的概的概率为率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女。在随机交配群体中，其子女(zn) 为为AA、Aa及及aa型的型的概率分别概率分别 为为p2、2pq及及q2。对近交系数对近交系数 为为F的群体，根据条件概率公式，后代出的群体，根据条件概率公式，后代出 现现aa型基因对型基因对的概率为的概率为FpqqqFqqFqqF 222)1()1(第20页/共39

26、页第二十一页，共39页。比较比较(bjio)存在近亲交配的群体与不允许近亲交配存在近亲交配的群体与不允许近亲交配 (F=0)的群体，的群体， 令令FqpqFpqqR 122 若若a为某种隐性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产为某种隐性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产 生遗传病（生遗传病（aa型）的概率型）的概率(gil)增大了，增大了， 且且F越大，后代患遗传病越大，后代患遗传病 的概率的概率(gil)也越大。也越大。同样，后代出现同样，后代出现AA型基因对的概率型基因对的概率(gil) 为为p2+Fpq。Aa型不可能型不可能 是共是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率同祖先同一基

27、因的重复，故其出现的概率(gil)为为2pq(1-F)。第21页/共39页第二十二页，共39页。例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子 aa型疾病（型疾病（a为隐性疾为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率病基因），隐性基因出现的频率 ，求表，求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。 由前，表兄妹结婚的近交系数为由前，表兄妹结婚的近交系数为 1/16,故其子女发生该疾病的概故其子女发生该疾病的概率为率为而对禁止而对禁止(jnzh)近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概

28、率为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大了大大了大 约约7.19倍，由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲倍，由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当结婚是应当 禁止禁止(jnzh)的。的。1001 q4221019. 71001100991611001 Fpqq第22页/共39页第二十三页，共39页。例例4.10 X链遗传模型的一个实例链遗传模型的一个实例X链遗传链遗传是指另一种遗传方式：雄性具有一个基是指另一种遗传方式：雄性具有一个基 因因A或或a，雌性具有两个基雌性具有两个基 因因AA，或，或Aa，或

29、，或aa。其遗传规律是雄性后。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究。下面，研究 与与X链遗传有关的近亲繁殖过程。链遗传有关的近亲繁殖过程。（a）假设）假设（i）从一对雌雄结合开始从一对雌雄结合开始 ,在它们的后代在它们的后代 中中,任选雌雄各一任选雌雄各一 个成配偶个成配偶,然后在它们产生的后代中任选两个结成配然后在它们产生的后代中任选两个结成配 偶偶,如此继续下去如此继续下去 , (在家畜、家

30、禽饲养中常见这种现在家畜、家禽饲养中常见这种现 象象)（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A,AA),(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa) 6种。初始一种。初始一 对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的 基因型如下表所示。基因型如下表所示。第23页/共39页第二十四页，共39页。（iii）在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并 有确定的概率。为计算这些概率有确定的概率。为计算这些概率 ,设设a

31、n,bn,cn,dn,en,fn 分别是第分别是第n代中配偶的同胞对代中配偶的同胞对 为为(A,AA)，(A,Aa)， (A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa)型的概率，型的概率，n=0,1,。令令 （iv）如果第如果第n1代配偶的同胞对是代配偶的同胞对是 （A,Aa）型，那么它）型，那么它 们的雄性后代将等可能地得到基们的雄性后代将等可能地得到基 因因A和和a，它们的雌，它们的雌 性后代的基因型将等可能地性后代的基因型将等可能地 是是AA或或Aa。又由于。又由于 第第n 代雌雄结合是随机的，那么代雌雄结合是随机的，那么 第第n代配偶的同胞对将等代配偶的同胞对将等 可能地为四种类

32、型可能地为四种类型 (A,AA),(A,Aa),(a,AA),(a,Aa)之一，之一， 对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析，对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析， 因此有因此有, 1 , 0,),()( nfedcbaxTnnnnnnn, 2 , 1,)1()( nMxxnn11/20000aa01/2111/20Aa00001/21AA11/2011/20a01/2101/21AA后后代代基基因因型型(a,aa)(a,Aa)(a,AA)(A,aa)(A,Aa)(A,AA)父体父体母体的基因型母体的基因型(4.11)第24页/共39页第二十五页，共39页。其中其中(qzhng)

33、14100000410141000004100410000041104100000411M从（从（4.11）式中易得）式中易得, 2 , 1,0)( nxMxnn经过计算经过计算(j sun)，矩阵，矩阵 M的特征值和特征向量为的特征值和特征向量为 11 ，12 ，213 ，214 ，)51(415 ，)51(416 第25页/共39页第二十六页，共39页。 163361 ,121121 ,100000 ,0000014321eeee )53(411)51(41)51(411)53(415e, )53(411)51(41)51(411)53(416eM对角化对角化(jio hu)，则有，则有,

34、 2 , 1,)0(1)( nxPPDxnn(4.12)第26页/共39页第二十七页，共39页。 其中其中(qzhng)： )53(41)53(411110116200)51(41)51(413100)51(41)51(413100116200)53(41)53(411101P nnnnnD)51(41000000)51(41000000210000002100000010000001第27页/共39页第二十八页，共39页。 020520555552052050020520555552052050024112112124100814141810132313231003132313211P第28

35、页/共39页第二十九页，共39页。当当 n 时时 000000000000000000000000000010000001nD因此，当因此，当 n 时，（时，（4.12）式中）式中)0(1)(000000000000000000000000000010000001xPPxn 第29页/共39页第三十页，共39页。即即 0000000000)(32313231000031323132fedcbedcbaxn因此，在极限情况下所有同胞对或者是因此，在极限情况下所有同胞对或者是 （A,AA）型，或者是）型，或者是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对）型。如果初始的父母体同胞对 是（是（A,Aa）型

36、，即）型，即b0=1，而，而a0= c0= d0= e0= f0=0，于是，当，于是，当 n时时Tnx 31, 0 , 0 , 0 , 0 ,32)(即同胞即同胞(tngbo)对是对是(A,AA)型的概率是型的概率是2/3，是，是(a,aa)型的概型的概率为率为1/3。第30页/共39页第三十一页，共39页。（正则链与吸收链）（正则链与吸收链）根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正正则链则链与与吸收链吸收链。定义定义2 对于马氏

37、链，若存在一正整对于马氏链，若存在一正整 数数K，使其转移矩阵，使其转移矩阵 的的K次幂次幂MK0（每一分量均大（每一分量均大 于于0），则称此马尔链为一正则），则称此马尔链为一正则（regular）链。）链。定理定理2 若若A为正则链的转移矩阵，则必有：为正则链的转移矩阵，则必有：（1）当当 时，时， ，其中，其中W为一分量均大于零为一分量均大于零 的随机矩阵。的随机矩阵。（2）W的所有行向量均相同。的所有行向量均相同。 tWAt第31页/共39页第三十二页，共39页。定理定理3 记记定理定理 2中的随机矩阵中的随机矩阵W的行向量为的行向量为V=(v1,vn),则：则：（1）对任意随机向）对

38、任意随机向 量量x，有，有（2）V是是A的不动点向量的不动点向量,即即VA=V, A的不动点向量是唯一的的不动点向量是唯一的。 VxAtt 定义定义3 状态状态Si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的 第第i 行行满足：满足：Pii=1，Pij=0（ji）定义定义4 马氏链被称为马氏链被称为 吸收链吸收链，若其满足以下两个条件：，若其满足以下两个条件：（1）至少存在一个吸收状态）至少存在一个吸收状态 。（2）从任一状态出发）从任一状态出发 ,经经有限步有限步转移总可到达某一吸收转移总可到达某一吸收 状态状态 根据定义根据定义3，例，例4.7中状态中状态(zhu

39、ngti)S4即即为一吸收链为一吸收链 第32页/共39页第三十三页，共39页。具有具有r个吸收个吸收(xshu)状态，状态，nr个非吸收个非吸收(xshu)状态的吸收状态的吸收(xshu)链链，它的，它的nn转移矩阵的标准形式为转移矩阵的标准形式为 SROITr （注：非标准形式（注：非标准形式(xngsh)可经对状态重新编可经对状态重新编号号 ）其中其中(qzhng)Ir为为r 阶单位阵，阶单位阵，O为为rs零阵，零阵，R为为sr 矩阵，矩阵，S为为ss矩阵。令矩阵。令 SROITrn上式中的子阵上式中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经

40、过n步转移后，处于步转移后，处于s个非吸收状态的概率。个非吸收状态的概率。在吸收链中，令在吸收链中，令F=(IS) -1，称，称F为为基矩阵基矩阵。第33页/共39页第三十四页，共39页。定理定理4 吸收链的基矩吸收链的基矩 阵阵F中的每个元素，表示从一个非吸收中的每个元素，表示从一个非吸收 状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次 数。数。定理定理5 设设N=FC，F为吸收链的基矩阵，为吸收链的基矩阵，C=(1,1,1)T，则，则N 的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收 状态被吸收之前的平均转移次数。状态被吸收之前的平均转移次数。定理定理6 设设B=FR=（bi