勾股定理逆定理应用探究

1、勾股定理逆定理应用探究义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简 称课标）在课程“目标与内容”七学段九学段中指出:“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的 实际问题。”勾股定理及其逆定理是初中数学中非常重要的 定理，华罗庚把它称为“茫茫宇宙星际交流的语言”，西方 一些国家把它称为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理及其逆定 理揭示了直角三角形三边的数量关系，体现了 “数形统一” 的数学思想。勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的 重要依据，而且是各省市中考必考的知识点，同时在实际生 活中的应用也十分广泛。这里我们不探索勾股定理的应用， 只探索勾股定理的逆定理的应用。笔者在长期的初中数学

2、教 学中发现，有许多学生在涉及到判断三角形的形状、计算图 形的面积时，还是不知道应该如何利用勾股定理的逆定理来 解决问题。由于勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一个 直角的“形”的特征，转化为三边之间的“数”的关系，也 就是把几何学与代数学有机地结合在一起了。因此，我们应 用勾股定理的逆定理抽象出数学方程模型或者进行图形的 转化是判断三角形的形状、计算图形的面积问题的一种行之 有效的方法。在应用勾股定理的逆定理解决问题的时候，一 定要让学生去思考、讨论、交流甚至是探究，让他们经历解 题的过程，最终树立“数形结合”的数学思想和方法，正如 课标所说：“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果 的形成过

3、程和蕴含的数学思想方法。”下面，笔者就勾股定 理的逆定理的应用谈谈自己的看法。一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状例1：已知在三角形中，a、b、c分别是它的三边，并 且a+b=10, ab=18, c=8,判断三角形的形状。分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结 合完全平方公式得出a2+b2的值，再检验a2+b2与c2的大 小，就可以得出相应的结论。所以，凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三 角形的形状，都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。变式训练：如图1所示，已知：在aabc中,ab=13,bc=10, bc边上的中线ad=12o求证：aabc是等腰三角形。二、利用勾

4、股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的 面积例2：如图2所示，已知在四边形abcd中，zabc=90° , ab=3, bc=4, ad=12, cd=13o 求四边形 abcd 的面积。分析：由于这是不规则的四边形，所以不能直接计算面 积，可根据题目所给数据特征，联想勾股数，先连接ac,转 化成两个三角形的面积之差，并判断两个三角形的形状，就 可以实现四边形向三角形转化，得出相应的结论。所以，计 算不规则的四边形的面积，一般要通过构造直角三角形再利 用三角形的面积的和或差进行计算。变式训练：如图3所示，已知四边形abcd中，zb=90° , ab=3, bc=4, cd=

5、12, ad=13,求四边形 abcd 的面积。以上我们讨论了利用勾股定理的逆定理判断三角形的 形状以及利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合的方式计 算图形的面积的问题，利用这种方法应该说是一种比较简 捷、有效的方法。我们在引导学生利用勾股定理的逆定理解 决实际问题时，一定要让学生进行变式训练，并进行一题多 解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。同时, 我们还要注意发挥学生的主体作用，让学生主动地去发现问 题、探究问题进而解决问题，从而培养学生的思维能力和创 新能力。课标指出："教师要处理好讲授与学生自主学 习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学 生理解和掌握基

6、本的数学知识与技能，体会和运用数学思想 与方法，获得基本的数学活动经验。”让学生掌握基本的数 学知识和基本的数学技能不是最根本的目的，最根本的目的 是通过数学学习，训练学生的思维能力，提高他们的创新性 和创造性。在学习和应用勾股定理的逆定理过程中，我们可以结合 “综合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。课标 指出：“'综合与实践'内容设置的目的在于培养学生综合 运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意 识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生 解决现实问题的能力。”我们要遵循课标的要求和教学 理念，灵活地应用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理 的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让学生明白： 数学知识来源于生活，但又要应用于生活。没有生活就没有 数学知识，数学知识如果