新编【人教A版】高中数学选修1-1同步辅导与检测-第三章3.4生活中的优化问题举例

1、新编人教版精品教学资料第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形， 那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ()A.3/3 cm2B. 4 cm2C. 3/ cm2D. 2V3 cm2解析：设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边 长为(4 x)cm,则这两个正三角形的面积之和为 S= ,2+T(4x)2 =-23(x- 2)2 + 4> 2V3(cm2) .答案：D2.某公司生产一种产品，固定成本为 20 000元，每生产一单位 的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0WxW390)

2、的关 x3系是R(x) = -+ 400x, 0<x<390,则当总利润最大时，每年生900产的产品单位数是()A. 150 B. 200 C. 250 D. 300x3解析：由题意可得总利润P(x)=-900+ 300x-20 000, 0<x< 390,由 P'x)=0,得 x = 300.当 0Wx<300 时,P'(x)>0;当 300<xW390 时，P'(x)<0,所以当x = 300时,P(x)最大.答案：D3.将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为()A . 2 和 6B. 4 和 4C. 3

3、和5D.以上都不对解析：设一个数为x,则另一个数为8 x,其立方和y=x3 + (8 x)3 = 83 192x + 24x2 且 0<x<8, y' 48x192.令 y = 0,即 48x -192= 0,解得 x=4.当 0Wx<4 时，y' <0;当 4<xW8 时，y' 6, 所以当x= 4时，y取得极小值，也是最小值.答案：B4 .做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它 的高为()A. 6 m B. 8 m C. 4 m D. 2 m解析：设底面边长为x m,高为h m.则有x2h=256,所以h =256.

4、所用材料的面积设为S m2, x则有 S=4x h + x2=4x 256+x2= 256X 4+x2.S'= xx256X4 人 ,2562x X,令 S'=0 得 x = 8,因此 h = 64 = 4(m).答案：C5 .设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面正三角形的边长为()A.3VB.3 2VC.3/4VD. 23/V1 °解析：设底面正二角形的边长为 x,侧梭长为1,则V=2x2 sin 60 1；所以 1 =恭%，所以 S 表=x2 sin 60 -3 x i = 3x2+43V.4 S'表 = /3x43y=0,得乂=

5、34V,又当 x6 (0,3H)时,S'表0;x 6 (3 4V,x3+ s)时，S表0,所以x= 4V时，表面积最小.答案：C二、填空题6 .某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出 售，可卖出(200 x)件，当每件商品的定价为 元时，利润最 大.解析：由题意知，利润 S(x) = (x 30)(200 x) = x2 + 230x6000(30< xW200),所以 S'x) = 2x + 230,令 S'x) = 0,解得 x= 115. 当 30Wx<115时，S'(x)>0；当 115cxW200 时,S'(x

6、)<0,所以当 x=115时，利润S(x)取得极大值，也是最大值.答案：1157 .已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为 米.解析：设广场的长为x米，则宽为40000米，于是其周长为y= x2x+40(x>0),所以 y=2 1-40, xx令 y'= 0,解得 x=200(x= 200舍去)，这时 y= 800.当 0<x<200 时，y' <0;当 x>200 时，y' f.所以当 x=200 时，y取得最小值，故其周长至少为 800米.答案：8008 .做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27%且用料最省，则圆柱的底

7、面半径为,解析：设圆柱的底面半径R,母线长为L,则V=#2L = 27兀， 所以L=R7.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小.S表=#2 + 2近L =#2+2兀27,令S'表=2成54尸=0,得R=3,即当R=3时，S表 最小.答案：3三、解答题9 .某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为 x, y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总 面积为8 m2,问x, y分别为多少（精确到0.001）时用料最少？1 x2解：依题后,有xy + 21=8,o X28- 8所以 y= "Tx-= X-4（0<x<4j2）,于是框架用料长

8、度为I c c c 2x 3 c 16 l=2x + 2y+2t-=2 + |2 x + .l和”.令 i'=0,即 2+*x6=o,解得 xi = 84亚，X2= 42-8（舍去）.当 0<x<84亚时，l<0;当 84岳x<4 j2时，l>0,所以，当x = 8 4&时，l取得最小值.此时，x = 8-422.343, y2.828.即当x约为2.343, y约为2.828时，用料最省.10 .现有一批货物由海上从 A地运往B地，已知轮船的最大航 行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每 小时的运输成本由燃料费和其余费用

9、组成，轮船每小时的燃料费与轮 船速度的平方成正比（比例系数为0.6）,其余费用为每小时960元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/时）的函数;（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度航行？解：（1）依题意得 y= 500（960+ 0.6x2） = 480 000+ 300x 且由题意 xx知函数的定义域为（0, 35,即 y = 480000+ 300x（0<x<35）. x由（1）得 y'= 480000+ 300,令 y'= 0,解得 x=40ng x = x40（舍去）.因为函数的定义域为（0, 35,所以函数在定义域内没有极值点.又当0

10、<xW35时，V,。所以函数y=480000+ 300x在（0, x35上单调递减，故当x = 35时，函数y= 例逾+300x取得最小值.故 x为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行.B级能力提升1.某公司的盈利 y（元）和时间x（天）的函数关系是y=f（x）,且 f' （10）=1,这个数据说明在第100天时（）A.公司已经亏损B.公司的盈利在增加C.公司的盈利在逐渐减少D.公司有时盈利有时亏损解析：因为，（100）1,所以函数图象在x= 100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少.答案：C2 .某公司租地建仓库，每月土地占用费yi（万元）与仓库到车

11、站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2（万元）与仓库到车站的距离 成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，yi和y2分别为2万元和 8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处.k1解析：依题意可设每月土地占用费y1 = -,每月库存货物的运费 xy2=k2x,其中x是仓库到车站的距离，匕，k2是比例系数.一 .k14于是由2=而，彳# k1=20;由8=10k2,得k2=- 105因此，两项费用之和为y=20+4X（x>0）>y'=弓0+5,令 y'= 0,得 x=5或 x= 5（舍去）. X 5当 0cx<5 时，V, «；当

12、x>5 时，V, 6.因此，当x = 5时，y取得极小值，也是最小值.故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.答案：53 .某公司生产某种产品的固定成本为 20 000元，每生产1吨该 产品需增加投入100元，已知总收益满足函数 R（x） =1 C 一一其中x是该产品的月产量(单位:400 x ,x2 (0<x<400), 80 000 (x>400),吨).(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少 元？1 22X2 + 300X20 000 (0<x<400),解：(1)f(x)=260 000 100x (x>400).(2)当 0WxW400时,f'(x)= x + 300,当 0Wx<300 时，f'(x)>0, f(x)是增函数;当 x>300 时，f'(x)<0