正弦定理和余弦定理应用

1、正弦定理和余弦定理应用一、解答题1、如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行在处看灯塔在船的北偏东的方向，30 min后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？A南北西东65 BS2、如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高B3、测山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角是D已知山坡的倾斜角是，求井架的高4、(6739)第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的

2、方向航行为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是，航行半小时后到达点，观察灯塔A的方位角是求货轮到达点时与灯塔A的距离（精确到 n mile）CBA5、轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离是多少？6、如图，已知一艘船从30 n mile/h的速度往北偏东的A岛行驶，计划到达A岛后停留10 min后继续驶往B岛，B岛在A岛的北偏西的方向上船到达处时是上午10时整，此时测得B岛在北偏西的方向，经过20 min到达处，测得B岛在北偏西的方向，如果一切正常的话，此

3、船何时能到达B岛？3060 BCA20 min7、一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是，计算这个海岛的宽度8000m27 PQ8、一架飞机从A地飞到B到，两地相距700km飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成夹角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？A700km21 BC9、为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度10、A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离两个

4、探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？A76.5 B11、一架飞以326km/h的速度，沿北偏东的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？12、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过150s后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（精确到1m） 13、一个人在建筑物的正西点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从点向南走到点，再测得建筑物顶的仰角是，设，间的距离是二、填空题14、在ABC中，若a2b2c2，则A

5、BC为_三角形；若a2b2c2，则ABC为_三角形；若a2b2c2且b2a2c2且c2a2b2，则ABC为_三角形15、在ABC中，sinAsinBsinC324，则cosC的值为_16、在ABC中，若a2b2c2，且sinC，则C_.17、在ABC中，A、B、C所对边分别为a、b、c，且(abc)·(bca)3bc，则角A等于_18、ABC中，()_.19、设a、b、c是ABC的三边长，对任意实数x，f(x)b2x2(b2c2a2)xc2有f(x)_0.三、解答题20、在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120°，AD2.若ADC的面积为3，求BAC.21、已知

6、在ABC中，A45°，AB，BC2，解此三角形四、选择题22、若点P在点Q的北偏西45°10方向上，则点Q在点P的()A南偏西45°10 B南偏西44°50C南偏东45°10 D南偏东44°5023、已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a kmC.a km D2a km24、海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成

7、75°的视角，则B、C间的距离是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile25、如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m26、如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20() 海里/小时B20()

8、海里/小时C20() 海里/小时D20() 海里/小时27、甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A. 分钟 B. 小时C21.5 分钟 D2.15 分钟五、填空题28、如图，A、B两点间的距离为_29、如图，A、N两点之间的距离为_30、如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30°，CBA75°，AB120 m，则河的宽度为_31、太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车

9、测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是_ km.六、解答题32、如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求： (1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离33、如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，求A、B两

10、点间的距离七、选择题34、台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时八、解答题35、如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？九、选择题36、从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则

11、与的关系为()A> BC< D90°37、设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是()A20 m， mB10 m,20 mC10() m,20 mD. m， m38、如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A3030 m B3015mC1530m D153m39、从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45

12、76;，则此时两船间的距离为()A2h米 B.h米C.h米 D2h米40、在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是()A200 m B300 mC400 m D100 m41、平行四边形中，AC，BD，周长为18，则平行四边形面积是()A16 B17.5 C18 D18.53十、填空题42、甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里43、ABC中，已知

13、A60°，ABAC85，面积为10，则其周长为_44、已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为_45、某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是_小时十一、解答题46、如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.47、已知圆内接四边形ABCD的边长AB2，BC6，CDDA4，求圆内接四边形ABCD的面积48、

14、如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，求DEF的余弦值49、江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离以下是答案一、解答题1、答案：在中，mile，根据正弦定理，到直线的距离是（cm）所以这艘船可以继续沿正北方向航行2、在中，在中，根据正弦定理，所以山高为3、在中，m，根据正弦定理，井架的高约为9.3m4、在中，n m

15、ile ，根据正弦定理，（nmile） 货轮到达点时与灯塔的距离是约4.29n mile5、70 n mile6、在中，（n mile），根据正弦定理，在中，根据正弦定理，就是，（n mile）(n mile)如果这一切正常，此船从开始到所需要的时间为：（min）即约小时26分59秒所以此船约在11时27分到达岛7、约5821.71m8、在中，km，根据正弦定理，（km），所以路程比原来远了约km 9、在，（m）根据正弦定理， 塔的高度为（m）10、飞机离A处控照灯的距离是4801.53m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21m，飞机的高度是约4574.23m11、=km，在中，根据余弦定理

16、：根据正弦定理： ，在中，根据余弦定理：，在中，根据余弦定理：，所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约kmCDBAE12、飞行在150秒内飞行的距离是m，根据正弦定理，这里是飞机看到山顶的俯角为时飞机与山顶的距离飞机与山顶的海拔的差是：(m)，山顶的海拔是m13、证明：建筑物的高是答案：设建筑物的同度是，建筑物的底部是，则是直角三角形，是斜边，所以，所以，二、填空题14、钝角直角锐角15、解析：由，得abc324，设a3k，b2k，c4k.由余弦定理的推论cosC，得cosC，即cosC.16、120°解析：由a2b2c2，可知C为钝角又sinC，C120°.17、解

17、析：由(abc)(bca)3bc，得b2c2a2bc.所以cosA.所以A.18、解析：原式().19、解析：对方程b2x2(b2c2a2)xc20，有(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0.又b20，f(x)0对任意实数x恒成立三、解答题20、解：如图所示，由SADC3和SADCAD·DCsin60°，得3·2·DC·，DC2(1)BDDC1.在ABD中，AB2BD2AD22BD·ADcos120°(1)242(1)×2×6，AB.在ADC中，AC2AD2

18、DC22AD·DCcos60°222(1)22×2×2(1)×2412，AC(1)在ABC中，cosBAC，BAC.21、解：法一：设ACb，由余弦定理得4b2()22bcos45°，即b22b20，解得b±1.当b1时，cosC，C120°，B15°；当b1时，cosC，C60°，B75°.综上可得：AC1，C60°，B75°或AC1，C120°，B15°.法二：，sinC.C60°或120°.当C60°时，B75

19、°，AC1.当C120°时，B15°，AC1.综上可得：AC1，C60°，B75°或AC1，C120°，B15°.四、选择题22、C23、B解析ACB120°，ACBCa，由余弦定理得ABa.24、D解析在ABC中，C180°60°75°45°.由正弦定理得：解得BC5.25、A解析由题意知ABC30°，由正弦定理，AB50 (m)26、答案B解析由题意，SMN45°，SNM105°，NSM30°.由正弦定理得.MN10()则v货20(

20、) 海里/小时27、答案A解析设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则DBC180°60°120°.y2(104x)2(6x)22(104x)·6xcos 120°28x220x10028(x2x)100282100当x(小时)(分钟)时，y2有最小值y最小五、填空题28、329、4030、60 m解析在ABC中，CAB30°，CBA75°，ACB75°.ACBABC.ACAB120 m.作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.31、解析如图，CAB15

21、°，CBA180°75°105°，ACB180°105°15°60°，AB1 km.由正弦定理得BC·sin 15° (km)设C到直线AB的距离为d，则dBC·sin 75°· (km)六、解答题32、解(1)在ABD中，ADB60°，B45°，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22AD·AC·cos 30°，解得CD814(n mile)即A处与D处的距离为24 n

22、 mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.33、解在BDC中，CBD180°30°105°45°，由正弦定理得，则BC(km)在ACD中，CAD180°60°60°60°，ACD为正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 45°2×××，AB(km)答河对岸A、B两点间距离为km.七、选择题34、B解析设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：(20t)24022×20t×

23、40·cos 45°302.化简得：4t28t70，t1t22，t1·t2.从而|t1t2|1.八、解答题35、解如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2，又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B2105°60°45°，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×1

24、0×200.B1B210.因此，乙船速度的大小为×6030(海里/小时)答乙船每小时航行30海里九、选择题36、B37、A解析h甲20tan 60°20(m)h乙20tan 60°20tan 30°(m)38、A解析在PAB中，由正弦定理可得，PB，hPBsin 45°(3030)m.39、A解析如图所示，BCh，ACh，AB2h.40、B 解析如图所示，600·sin 2200·sin 4，cos 2，15°，h200·sin 4300 (m)41、A解析设两邻边ADb，ABa，BAD，则ab

25、9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180°)65.解得：a5，b4，cos 或a4，b5，cos ，SABCDab sin 16.十、填空题42、北偏东30°a解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120°，由正弦定理知，sinCAB，CAB30°，ACB30°，BCABa，AC2AB2BC22AB·BCcos 120°a2a22a2·3a2，ACa.43、20解析设AB8k，AC5k，k>0，则SAB·AC·sin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22AB·AC·cos A8