建立方程、定解条件－定解条件和定解问题

1、2021-11-27上页上页 下页下页 返回返回21.方程的导出方程的导出 本章研究本章研究调和方程调和方程（又称（又称拉普拉斯方程拉普拉斯方程）以及以及泊松方程泊松方程 的基本定解问题及解的性质。的基本定解问题及解的性质。0222222 zuyuxuu(1.1),(222222zyxfzuyuxuu (1.2)上页上页 下页下页 返回返回3(1) 引力位势引力位势),(zyxP),(0000zyxPF rzzryyrxxrMzyxF0002,),(202020)()()(zzyyxxr 其中其中经计算可得：经计算可得：gradF ( , , )Mx y zr 令令上页上页 下页下页 返回返回

2、4222( , , )( , ,)()()()d d dx y zxyz 0( , , )x y z 当当时时直接计算可得：直接计算可得：4( , , )x y z当当时时还可进一步验证：还可进一步验证：上页上页 下页下页 返回返回5(2) 静电场的电位势静电场的电位势 4GGEdxdydzdxdydz应用高斯公式，上式可改写为：应用高斯公式，上式可改写为：4GE ndSdxdydz 上页上页 下页下页 返回返回64E由区域由区域G的任意性得：的任意性得：静电场方程静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电势由于静电场是无旋场，因而存在电势u，Eu 从而静电场的电势从而静电场的电势u应当满足应当

3、满足泊松方程泊松方程4u 如果静电场的某一区域里没有电荷，即如果静电场的某一区域里没有电荷，即 = 0，则，则静电场方程在该区域上简化为静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程拉普拉斯方程0 u上页上页 下页下页 返回返回7(3) 稳定温度分布稳定温度分布 0222222 zuyuxuu上页上页 下页下页 返回返回82.定解条件和定解问题定解条件和定解问题(1) 第一边值问题（第一边值问题（Dirichlet问题）问题） 上给定的函数）上给定的函数）是在闭曲面是在闭曲面（其中（其中 ggu |(2) 第二边值问题（第二边值问题（Neumann问题）问题） 的单位外法向量）的单位外法向量）是是（其

4、中（其中 ngnu上页上页 下页下页 返回返回9(3) Dirichlet外问题外问题 guzyxu外部外部),(0(4) Neumann外问题外问题 的单位内法向量）的单位内法向量）是是（其中（其中外部外部ngnuzyxu),(0注注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：)(0),(lim222zyxrzyxur 上页上页 下页下页 返回返回10其它边界条件其它边界条件 (5) 第三类边界条件第三类边界条件 的单位外法向量）的单位外法向量）是是（其中（

5、其中 ngunu(6) 等值面边界条件等值面边界条件 （总流量边界条件）（总流量边界条件） AdSnuCu已知常数已知常数待定常数待定常数上页上页 下页下页 返回返回113.变分原理变分原理膜的平衡问题膜的平衡问题： 上页上页 下页下页 返回返回12上页上页 下页下页 返回返回13外力作功外力作功总势能总势能应变能应变能 2211xyTTvvdxdy 应应变变能能 222xyTvvdxdy 111( )2o由由于于弹性体受外力作用发生变形弹性体受外力作用发生变形, 变形中克服内力（即弹性体各质点变形中克服内力（即弹性体各质点间的约束力）所作的功间的约束力）所作的功, 作为能量储存在弹性体内部作

6、为能量储存在弹性体内部, 称为称为弹性弹性势能势能或或应变能应变能.上页上页 下页下页 返回返回14 dxdyvvTyx)(222应变能应变能即：即： dssvspdxdyyxvyxF)()(),(),(外力作功外力作功 dssvspdxdyyxvyxFdxdyvvTvJyx)()(),(),()(2)(22上页上页 下页下页 返回返回15( )min ( )v MJ uJ v (1)问题问题2的解答：的解答：上页上页 下页下页 返回返回16上页上页 下页下页 返回返回17( )(2()2() )2( ) ( )xxyyTjvuvvuvdxdyF vdxdyp s v s ds 22( )()

7、()() )2()( )( ( )( )xyTjJ uvuvuvdxdyFuv dxdyp s u sv s ds (0)()( ) ( )0 xxyyjTu vu vdxdyF vdxdyp s v s ds 上页上页 下页下页 返回返回18()()()()xxyyxxyyxxyyu vu vdxdyu vu vv uudxdy (0)( , ) ( , )( ) ( )( )( )jTu vdxdyF x y v x y dxdyuup s v s dsTv s dsTv s dsnn ( )0uT uF vdxdyTp v s dsn (3)(,)xyvuvundsv udxdy uvd

8、sv udxdyn 上页上页 下页下页 返回返回19 0 vdxdyFuT0 pnuT(5)T uF (4)即即0()C 是是指指在在内内无无穷穷可可微微，在在的的边边界界上上为为零零的的注注：函函数数集集。上页上页 下页下页 返回返回20上页上页 下页下页 返回返回21 设对于设对于(某一集合内的某一集合内的)任意一个函数任意一个函数y(x), 有另一个有另一个数数Jy与之对应与之对应, 则称则称Jy为为y(x)的的泛函泛函.泛函的概念泛函的概念上页上页 下页下页 返回返回22伽利略在伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题年提出一个分析学的基本问题: 一个质点在重力作用下，从一个给定点到

9、不在它一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短曲线滑下所需时间最短?伽利略的答案是伽利略的答案是圆周圆周 () 最速降线的问题最速降线的问题(problem of brachistochrone)上页上页 下页下页 返回返回23约翰伯努利在约翰伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题，年再提出这个最速降线的问题，征求解答。征求解答。答案：答案：连接两个点上凹的唯连接两个点上凹的唯一一段摆线一一段摆线上页上页 下页下页 返回返回24摆线摆线一个圆在一条定直线上一个圆在一条定直线上滚动时

10、，圆周上一个定滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线点的轨迹，又称旋轮线。上页上页 下页下页 返回返回25OA(a,b)XY201 ( )2aytJ y xdxgy 1( )0, | (0)0,( )My xCayy ab泛函泛函定义域定义域22,1dsvgy dsy dxdtv 上页上页 下页下页 返回返回26可以仿照函数极值必要条件的导出办法可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极导出泛函取极值的必要条件值的必要条件.泛函的极值泛函的极值上页上页 下页下页 返回返回27对泛函求极值的问题称为对泛函求极值的问题称为变分问题变分问题;使泛函取极值的函数称为使泛函取极值的函数称为变分问

11、题的解变分问题的解或或极值函数极值函数;研究变分问题的学科称为研究变分问题的学科称为变分法变分法.上页上页 下页下页 返回返回284.分离变量法求解分离变量法求解Laplace方程方程(1) 矩形区域上矩形区域上Laplace方程的第一边值问题方程的第一边值问题0,0, 0,(1)(0, )( , )0,(2)( ,0)( ),( , )( ).(3)xxyyuuxaybuyu a yu xxu x bx 代入方程代入方程(1)得得:0)()()()( yYxXyYxX分离变量分离变量: )()()()(yYyYxXxX上页上页 下页下页 返回返回290)()( yYyY0 xXxX )()(

12、由此得由此得 X，Y 满足的常微分方程满足的常微分方程：由边界条件由边界条件(2)知：知：0)()0( aXX 0)()0(0)()(aXXxXxX得固有值问题：得固有值问题：解之得：解之得：), 2 , 1(222 kakk( )( )sin(1,2,)kkX xXxxka 上页上页 下页下页 返回返回30:222所满足的方程为所满足的方程为，对于固有值对于固有值Yakk 0)()(222 yYakyY通解为通解为其中其中Ak，Bk为任意常数。为任意常数。因此因此 是满足方程是满足方程(1)和边界条件和边界条件(2)的解的解。( )( )()sinkkyyaakkkkkkUXx YyA eB exa ), 2 , 1()()( keBeAyYyYyakkyakkk上页上页 下页下页 返回返回31叠加所有的叠加所有的Uk ，即即 )(sin)(1xxakeBeAukbakkbakkby 代入边界条件代入边界条件(3)，得得： 11sin)(kyakkyakkkkxakeBeAUu)(sin)(10 xxakBAukkky 00,sinsin,