2020-2021学年江苏省南京市高考数学三模试卷及答案解析

1、江苏省南京市高考 数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1 .已知集合 M=0, 2, 4, N=x|x=, aC M,则集合 M PN=.22 .已知0vav2,复数z的实部为a,虚部为1,则忆|的取值范围是 .3 .若直线li： x+2y-4=0与I2： mx+ （2-m） y-3=0平行，则实数 m的值为.4 .某校有A, B两个学生食堂，若 a, b, c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 5 .如图是一个算法流程图，则输出的S的值是开始a 4 a结束6 . 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据

2、画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500, 3000）（元）月收入段应抽出 f频率组距月收入:元）:10001500 20OT 2500 如网 J50O 4Mo7 .已知l是直线，“、3是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 .(填所有真命题的 序号)若 l / a, l/ 3,则 a/ 3若 3, l/ a,则 口 3若 l / a, a/ 3,则 l / 3若吐 a, l / £ 则 a1 38 .如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；

3、当水面升高3m后,拱桥内水面的宽度为 m .<16 >9 .已知正数a, b, c满足3a-b+2c=0,则占的最大值为 .10 .在 ABC中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 a的,b=3, sinC=2sinA,则 ABC的 面积为.11 .已知Sn是等差数列4的前n项和，若S2>4, S4< 16,则比的最大值是 12 .将函数f (x) =sin (2x+ 0)( - 不< 9<)的图象向右平移 4 (0v <K兀)个单位长度后 bi得到函数g (x)的图象，若f (x), g (x)的图象都经过点 P (0,1)，则4的

4、值为.13 .如图，在半彳仝为1的扇形AOB中，/AOB=60°, C为弧上的动点，AB与OC交于点 巳则加,而的最小值是oB一.一 , 一 Qill14 .用minm, n表布m, n中的取小值.已知函数 f (x) =x+ax3, g (x) = - lnx,设函数h (x)=minf (x), g (x) (x>0),若h (x)有3个零点，则实数 a的取值范围是 .二、解答题(共6小题，满分88分)15 .在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (cos 0 , V2| sin 9), B (sin 0 , 0),其中 OCR.2 兀一一 一(i)当9=,求向重AB的坐标

5、；(n )当° e 0,时，求麻|的最大值.16 .如图，在四棱锥 E- ABCD中，底面 ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC，底面 ABCD, F 为BE的中点.(1)求证：DE/平面ACF;(2)若AB=JCE,在线段EO上是否存在点 G,使得CG，平面BDE?若存在，请证明你的结论； 若不存在，请说明理由.17 .如图，某水域的两直线型岸边li, 12成定角120。，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC (B, C分别在11和12上)，围出三角形 ABC养殖区，且 AB和AC都不超过5公里.设

6、AB=x公里，AC=y* 里.(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18 .已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线1" x=-2的距离为d1，到点F(- 1, 0)的距离(1)求椭圆C的方程；(2)如图，直线1与椭圆C交于不同的两点 A, B (A, B都在x轴上方)，且/OFA+/ OFB=180°.(i)当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线1的方程；(ii)是否存在一个定点，无论/ OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在， 求出该定点的坐标;若不存在，请说明理由.19 .已知函数 g (x) =2alnx+x2 2x,

7、 aC R.(1)若函数g (x)在定义域上为单调增函数，求 a的取值范围；(2)设A, B是函数g (x)图象上的不同的两点，P (x°, y°)为线段AB的中点.(i)当a=0时，g (x)在点Q (x0, g (x。)处的切线与直线 AB是否平行？说明理由；(ii)当aw0时，是否存在这样的 A, B,使得g (x)在点Q (x。，g (x。)处的切线与直线 AB 平行？说明理由.20 .已知数列an, bn满足 bn=an+i- an,其中 n=1, 2, 3,.(I )若ai=1, bn=n,求数列4的通项公式；(II)若 bn+ibn i=bn (n>2)

8、,且 bi=1, b?=2.(i )记Cn=%n-1 (n>1),求证：数列Cn为等差数列；(ii)若数列2中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求ai应满足的条件.n选彳4-1 :几何证明选讲21.如图， ABC内接于圆 O, D为弦BC上一点，过 D作直线DP/AC,交AB于点E,交圆O 在A点处的切线于点 P.求证： PA® ABDE.选彳4-2 :矩阵与变换、，-一，、一，|兀 A，、，、，一，一，、，-，-、，一，一，、，-，-22 .变换Ti是逆时针旋转下角的旋转变换，对应的变换矩阵是M"变换T2对应的变换矩阵是/ 1 1M2-.Lo 1(1)点P

9、(2, 1)经过变换Ti得到点P',求P'的坐标；(2)求曲线y=x2先经过变换Ti,再经过变换T2所得曲线的方程.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在平面直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点 A, B口二口。 q分别在曲线Ci：J C (。为参数)和曲线 C2：k1上，求AB的最大值.U=4f2sin0选彳4-5 :不等式选讲24 .已知：a> 2, xCR.求证：|x1+a|+|x a|> 3.25 .如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px (p>0)的准线l与x轴交于点M,过M的直线与抛物线交于 A,

10、B两点.设A (x1，yj到准线l的距离为d,且d= Xp (入>0).(1)若y1=d=1,求抛物线的标准方程； 若氤+入彘=5,求证：直线 AB的斜率为定值.26 .设f (n) = (a+b) n (nC N*, n>2),若f (n)的展开式中，存在某连续 3项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f (n)具有性质P.(1)求证：f具有性质P;(2)若存在nW 2016,使f (n)具有性质P,求n的最大值.参考答案与试题解析一、填空题(共14小题，每小题3分，满分42分)1 .已知集合 M=0, 2, 4, N=x|x丹，aC M,则集合 M PN= 0, 2.2【考点】

11、交集及其运算.【分析】把M中元素代入x=二确定出N,求出两集合的交集即可.【解答】解：把 a=0,代入得：x=0;把a=2代入得：x=1;把a=4代入得：x=2,N=0, 1, 2,. M=0, 2, 4,M PN=0, 2,故答案为：0,22 .已知0vav2,复数z的实部为a,虚部为1,则忆|的取值范围是(1,炳) .【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】由复数z的实部为a,虚部为1,知忆尸再由0va<2,能求出|z|的取值范围.【解答】解：二.复数 z的实部为a,虚部为1, izi=m -0<a<2, -1<|z|=Va+l<V5.故答案为：(1,伺

12、.小一,、，|2：3.右直线I/ x+2y-4=0与12： mx+ (2-m) y-3=0平仃，则头数 m的值为 不 .【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】直线1" x+2y- 4=0与12： mx+ (2-m) y-3=0平行，直线11的斜率存在，因此直线 12 的斜率也存在.化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出.【解答】解：二直线11： x+2y - 4=0与12： mx+ (2-m) y-3=0平行，直线11的斜率存在,，直线12的斜率也存在.两条直线的方程可以化为：y=-x+2; y= 、x+士TTl 占 上 ID-m ,32-id-2, 2 2f“

13、m2解得：m=.J，9故答案为：.4 .某校有A, B两个学生食堂，若 a, b, c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人3不在同一个食堂用餐的概率为.一Q!-【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有 23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8-2=6;他们不同在一个食堂用餐的概率为 ；=：

14、. _ _故答案为：彳5 .如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 20 .开始【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：模拟执行程序，可得a=5, S=1满足条件a> 4,执行循环体，S=5, a=4满足条件a> 4,执行循环体，S=20, a=3不满足条件a>4,退出循环，输出 S的值为20.故答案为：20.6. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、

15、职业等方面的关系，要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出 100人作进一步调查，则在2500, 3000）（元）月收入段应抽出25人.【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出2500, 3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可.【解答】解：由直方图可得 2500, 3000)(元)月收入段共有 10000 >0.0005>500=2500人按分层抽样应抽出250。x人故答案为：257 .已知l是直线，“、3是两个不同的平面，下列命题中的真命题是.(填所有真命题的序号)若 l / % l/ 3,则 a/ 3若 3, l / % 则 l1 3若 l / a, a/ 3,则

16、l / 3若吐 a, l / £ 则 a1 3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答.【解答】解：对于 若l/ a, l/ 3,则"与3可能相交；故 错误；对于若0a 3, l/ /,则l与3可能平行；故 错误；对于若l/a, /工则l可能在3内，故错误；对于若l，a, l/ 3,由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得3,故正确；故选：8 .如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m后，拱桥内水面的宽度为 8 m.*-16 【考点】椭圆

17、的应用.【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上， 确定方程,求得点的坐标，也就得到水面的宽.【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设其方程为x2=2py (pw0), A ( 8, - 4)为抛物线上的点，64=2px (4). 2p=16,抛物线的方程为 x2= - 16y设当水面上升3米时，点B的坐标为(a, - 1) (a> 0).a2= (T6) x (-1)a=4故水面宽为8米.故答案为：8.9 .已知正数a, b, c满足3a-b+2c=0,则乜资的最大值为【考点】基本不等式.【分析】消去b,结合基本不等式的性质求出最

18、大值，即可得答案.【解答】解：根据题意，设t=,由 3a- b+2c=0 可得 3a+2c=b,当且仅当a=c时="成立，贝U tw返,即一 12 b故答案为：-j-y.10 .在 ABC中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 a=/5, b=3, sinC=2sinA,则 ABC的面积为 3 .【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：在 ABC 中，= sinC=2sinA, a=/亏，b=3,由正弦定理可得：c=2a=2花,，由

19、余弦te理可得： cosB=三口7加丁L,可得:sinB=/l - 皿口E 芍， L3SaabC=_acsinB=y X, X 25 y=3.故答案为：3.11 .已知Sn是等差数列an的前n项和，若S2>4, S4< 16,则%的最大值是9 .【考点】等差数列的前 n项和.【分析】由 S2>4, S4WI6,知 2ai+d>4, 4ai+6d< 16,所以 16>4&+6d=2 (2a+d) +4dR8+4d,得到d< 2,由此能求出a5的最大值.【解答】解：: s2A4, S4W 16,a1+a2>4,即 2a1+d>4a1+a

20、2+a3+a4W 16,即 4a+6dw 16所以 16>4a1+6d=2 (2a+d) +4d>8+4d,得到d<2,所以 4 (a1+4d) =4a+6d+10dw 16+20,即 a§w 9 .a5的最大值为 9.故答案为：9.12.将函数 f (x) =sin (2x+0)(一得到函数g (x)的图象，若f (x),7U7)的图象向右平移4 (0V(f)v兀)个单位长度后g (x)的图象都经过点P (0,),则4的值为【考点】正弦函数的图象.【分析】由f (x)的图象经过点P(0, 一不)，且一司V 0工，可得0=7又由g (x)的图象也经过点P (0, 胃

21、)，可求出满足条件的。的值()(0 v()< 兀)个单JI X兀【解答】解：将函数 f (x) =sin (2x+0) (-<)的图象向右平移 位长度后，得到函数 g (x) =sin2 (x- () + 0=sin (2x-2()+。)的图象,若f (x), g (x)的图象都经过点 P (0,悸),sin 0=.V3,sin (24+0)冗0=-3兀3-2力)=容, IT _ ，一，一一一一一一. 2 j=2k 兀.，kCZ,此时 (f)=kit, kC Z,不满足条件：0 V(f)< 兀;J,k C Z,此时(f)= - k Tt-,kZ,故" _ ,2兀-2

22、 *2k 兀+33故答案为:13.如图，在半彳至为1的扇形AOB中，/AOB=60°, C为弧上的动点，AB与OC交于点P,则的最小值是言oB【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，可以得到 OAB为等边三角形，则AB=1,设BP=x,则AP=1-x, (0<x< 1), 利用向量加法的三角形法则，将则屈而向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案.【解答】解：= OA=OB=1, /AOB=60°,.OAB为等边三角形，则 AB=1,设 BP=x,贝UAP=1-x, (0WxW1),OP-BP= (

23、OA+aP) 丽=+一, P=IOAI?lBP|cos<OA1 BP>+IAPI?BP|cos<AP, BP> 兀=1 K*COS-+ (1 x) ?x?cos 兀 J_ 2 _XT 2 *ix-即2-需',.-0<x< 1 ,，当x=/时，而而取得最小值为一 故答案为：一上-.14.用minm, n表示m, n中的最小值.已知函数 f (x) =x3+ax+j-, g (x) = - lnx,设函数h (x) 53=minf (x),g(x) (x> 0),若h (x)有3个零点，则实数a的取值范围是(一 丁，一 丁) .【考点】函数零点的判

24、定定理.【分析】由已知可得a< 0,进而可得若h(x)有3个零点，则J 甫 <1, f (1) >0, f(J J)<0,解得答案.【解答】解：= f (x) =x3+ax+j-, f' (x) =3x2+a,若a>0,则f' (x) >0恒成立，函数f (x) =x3+ax号至多有一个零点，此时h (x)不可能有3个零点，故av 0,令 f' (x) =0,则 x=- g (1) =0,若h (x)有3个零点,-3<a<053解得：aC (-石，-卞),_53故答案为：(石，二、解答题（共6小题，满分88分） R.15.

25、在平面直角坐标系 xOy中，点A （cos。，sin。），B （sin。，0）,其中2K| ，、. ，.（I ）当。二中，求向重用的坐标；（口）当9 c 0 ,百时，求凝|的最大值.【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.9 Kp.【分析】（i）把。=丁 代入,求出向量 四的坐标表示;（n）由向量密求出|研|的表达式，在 0,时，求出标|的最大值.r 2兀【解答】解：（I ）当0=时，向量aS=（2死"T，0- . ：si一,%1=(养=(："2(n ) =向量标=(sin 0 cos 0, -/Ssin 0),1 白后.：二iri一二二U 一 .Ji=V：|'

26、 一'-| ''' -|'7 二；+'-：' i-sin(28+丁);当0,7U71彳时，2。+五7U ,兀.sin (2。+-74V-2sin (2 0+JC7-'-2 -2sin(2 6 +今)即1瓦1的最大值是16 .如图，在四棱锥 E- ABCD中，底面 ABCD是正方形，AC与BD交于点O, EC，底面 ABCD, F 为BE的中点.(1)求证：DE/平面ACF;(2)若AB=CE,在线段EO上是否存在点 G,使得CG，平面BDE?若存在，请证明你的结论;若不存在，请说明理由.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行

27、的判定.【分析】(1)利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF/ DE,利用线面平行的判定定理可证；(2)取EO的中点 G,连接CG,可证CG± E0,由EC± BD, AC± BD,可得平面 ACEL平面BDE, 从而利用面面垂直的性质即可证明CGL平面BDE.【解答】(本题满分为14分)证明：(1)连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点 0为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF/ DE,又OF?平面ACF, DE?平面ACF,所以DE/平面ACF(2)在线段EO上存在点G,使CGL平面BDE,证明如下：取 EO的中点G,连接CG,在四棱锥 E- ABCD中

28、，AB=/2CE, CO=t1-AB=CE所以CG± E0.又由EC底面 ABCD, BD?底面ABCD,所以EC± BD.由四边形 ABCD是正方形可知， AC± BD,又ACAEC=c所以BD,平面 ACE,而BD?平面BDE,所以，平面 ACEX平面 BDE,且平面 ACEH平面BDE=EQ因为 CG± EO, CG?平面 ACE,所以CGL平面BDE.17 .如图，某水域的两直线型岸边11, 12成定角120。，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩.现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC (B, C分别在11和

29、12上)，围出三角形 ABC养殖区，且 AB和AC都不超过5公里.设AB=x公里，AC=v，公里.(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；【分析】(1)由Saabd+SaacD=Saabc,将y表示成X的函数，由0<y<5,0<x<5,求其定义域;1 I _« _(2) SxysinA=5 乂 工 _ 飞所120 =4Ci- 1)5(y<x<5),变形，利用基本不等式，即可得出结论.【解答】解：(1)由 SaABD+SaACD=Sa ABC,得TpsinSC63仍dnl200 ,L-ja所以x+y=xy,所以y= 又 0vyW5, 0vxW5,所以

30、«WxW5,所以定义域为 仅卜< xW5；11 y、后天25(2)设 ABC的面积为 S,则结合(1)得：S=7xysinA=7Kr * sin120°=-一厂 ( <2|2 x-14(x- 1)。x< 5)=(X 1) +-TT+2>4,当仅当 X- 1=T, x=2 时取等号.X-1X- 1l故当x=y=2时，面积S取最小值 仃平方公里.答：该渔民总共至少可以围出 追平方公里的养殖区.18.已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线li： x=-2的距离为di,到点F(- 1, 0)的距离为d2,且产=毕. 夫 上(1)求椭圆C的方程；(2)如图，直线

31、l与椭圆C交于不同的两点 A, B (A, B都在x轴上方)，且/OFA+/ OFB=180°.(i)当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；(ii)是否存在一个定点，无论/ OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在， 求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设P (x, y),则d1=|x+2|, d2=J&+1 )yL由此利用Q二三3，能求出椭圆C的方程.(2) (i)由(1)知 A (0, 1),又 F(- 1, 0),从而 kA=1, kBF=- 1,直线 BF 的方程为：y=- (x+1)=-x- 1,代入1厂+y2=

32、1,得3x2+4x=0,由此能求出直线 AB的方程.(ii) kAF+kBF=0,设直线AB的方程为y=kx+b,代入+ y2=1,由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点x 2+ 2k b " - 1=。,M (2, 0).【解答】解：(1)设P (x, y),二点P是椭圆C上的任一点,P到直线li： x=-2的距离为di,到点F ( - 1, 0)的距离为d2,-= dldi=|x+2|, d2=y(y+l ) + y ，由一国一2，化简，得二 =1.二椭圆C的方程为+y2=1 .La1-0(2) (i)由(1)知 A (0, 1),又 F ( 1, 0

33、),kA耳my =1,. /OFA+/ QFB=180°,kBF= - 1,直线 BF的方程为：y=- (x+1) =-x- 1,2 d代入方2=1,得 3x2+4x=0,_ 4解得玄=0,冗2一一 N，J，直线AB的方程为yr+l.(ii)/ OFA+Z QFB=180°,kAF+kBF=0,设直线AB的方程为y=kx+b,代入*+y2=1,得(k，设 A (xi, y1) , B(X2, v2 ，则叼 F -7- k4/J k+21 kAF+kBF=V1町+工叼+1=工1 +1二0,依工廿b)(工(kx.2+b) (工+1)(工？+l)(kxi+b)(X2+I) + (

34、网+b) (xi+1) =2kxiX2+ (k+b)(X1+X2) +2b2kbb3 =2kx g - ( k+b) x & 1 +2b=0,F k 4T.b- 2k=0,直线AB的方程为y=k (x+2),直线AB总经过定点M (-2, 0).19.已知函数 g (x) =2alnx+x2- 2x, aC R.(1)若函数g (x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设A, B是函数g (x)图象上的不同的两点，P (xo, yo)为线段AB的中点.(i)当a=0时，g (x)在点Q (xo, g (xo)处的切线与直线 AB是否平行？说明理由；(ii)当awo时，是否存在

35、这样的 A, B,使得g (x)在点Q (xo, g (xo)处的切线与直线 AB 平行？说明理由.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出g (x)的导数，由题意可得 g' (x) > o对x>o恒成立，即为a> x- x2对x> o 恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到 a的范围；(2) (i) a=o时，求出g (x)的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合 中点坐标公式，即可得到结论；(ii)当aw0时，假设存在这样的A,B,使得g (x)在点Q(xg(X0)处的切线与直线AB平行.由两直

36、线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为l-二-9 z1 + k2量 L L)设t=(0vtv1),记函数h (t) =lnt ,求出导数，判断单调性，即可得到结论.工 2t+1【解答】解：(1)函数g(X)的定义域为(0, +8),g (x)的导数为 g，(x)生+2X 2/1'* _,£x若函数g (x)在定义域上为单调增函数，可得 g' (x) >0对x> 0恒成立，即为a>x- x2对x>0恒成立，nrt 1则 a> ;(2) (i) a=0 时，g (x) =x2- 2x, g'(x) =2x- 2,g&

37、#39; (x0) =2x0- 2,设 A (xi, g (x“)，B (x2, g (旭)，(0vxix2),可得x0='2灯一 X ,K _ X?(k14-x2-2)(k：1-k2=x1 +x2 2=2x0 2,则g (x)在点Q (x0, g (x。)处的切线与直线 AB平行;(ii)当aw0时，假设存在这样的 A, B,使得g (x)在点Q (比，g (x0)处的切线与直线 AB平行.式工 I)- g( JS r)可得 g' (x0)=,町产s22anx 1 + k 1 - 2 k -：.2十工之 一 士工2)即.+2x0 2=工0X _2叼2(即 ln=k2记函数h则

38、 h' (t)由一；1c 2Qln- +x1+x2 - 2=12K1 -+x1+x2 2,(t) =lnt -1) t+1t tt+1 )T ) 2 =t(t+l )2>0,可得h (t)在(0, 1)递增,可得当 0v tv 1 时，h (t) v h (1) =0,即万程lnt=在区间(0, 1)上无解,故不存在这样的A, B,使得g (x)在点Q(X0, g(X0)处的切线与直线 AB平行.20.已知数列an, bn满足 bn=an+i- an,其中 n=1, 2, 3,.ai=1, bn=n,求数列4的通项公式;(nbn+ibn i=bn (n>2),且 >=

39、1, b?=2.Cn=%n-1 (n>1),求证：数列cn为等差数列;(ii若数列 在中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求na1应满足的条件.【考点】数列递推式；等差关系的确定.【分析】(I)根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列an的通项公式;(n ) ( i )先根据题中已知条件推导出bn+6=bn,然后求出Cn+Cn为定值，便可证明数列G为等差数列;(ii)数列%n+i均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当7ia .二 6时和当-j时，数列心)是否满足题中条件，便可求出国应满足的条件.【解答】解：(I )当n>2时,(其中 n=6k+i (k>0),

40、 i 为1, 2, 3, 4, 5, 6中的一710 7当久-6时，对任息的 n=6k+i有=& ；J qcL -L 4 由久一6 , iC 1, 2, 3, 4, 5, 6知耳一6 3，此时看重复出现无数次.7；-生工当#时，_千_6 M $十1j-6(k+l)+i &k+i=Ui 6 JL6(k+l) + i(6k+i)一个常数），工I ，X 2362'l-（a -空）（.-L 一，16 八&（k+D+i 6kfi有 an=ai+ (a2 - a" + -a2) + (aa 1)=a1+b1+b2+" +bn 1Gi - 1) X 口 n

41、2 ”=H丛+1 .L 222 1又因为a1=1也满足上式，2所以数列an的通项为 %号 -y+1. kafi-B(II)由题设知：bn>0,对任意的 nC N*有 bn+2bn = bn+1, bn+1bn+3=bn+2得 6+3%=1 ,于是又 bn+3bn+6=1 ,故 6+6=% b6n-5 = 4=1 , b6n-4=b2=2, b6n 3=b3=2, b6n-2=b4=1,二 b 5，bC-J(i ) Cn+1 - cn=a3n+5 - a6n - 1=b6n - 1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=l+2+二 T ( n> 1 ),所以数列Cn

42、为等差数列.(ii )设 dn=a6n+i (n>0),(其中 i 为常数且 iC1, 2, 3,4, 5, 6),所以dn+1 dn=%n+6+i a6n+i=b6n+b6n+i+1 + b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7 ( n - 0)所以数列%n+均为以7为公差的等差数列.77；设F 二产/注至6侬)+气-丁 安-、“6k+i _ i+6k i+6k -6 i+6k若露:一土，则对彳i意的kCN有fk+Vfk,所以数列1曳如J为单调减数列;16x6k+i J若加一土，则对任意的kCN有fk+i>fk,所以数列 泮"为单调增数列; 1

43、66k+i净迎 (i=l, 2, 3, 4, 5, 6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次,x6k+i即数列m中任意一项的值最多出现六次.综上所述：当 匕，*，t Y，-与二日时，数列 01中必有某数重复出现无数， hJah.工 一,次.a当ai? B时，数列3中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.n选彳4-1 :几何证明选讲21.如图， ABC内接于圆 O, D为弦BC上一点，过 D作直线DP/AC,交AB于点E,交圆O 在A点处的切线于点 P.求证： PA® ABDE.【考点】相似三角形的判定.【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相

44、等，即可证明PAEABDE.【解答】证明：: PA是圆O在点A处的切线，/ PAB=Z C. , PD / AC,/ EDB=Z C,/ PAE=Z PAB=Z C=Z BDE.又. / PEA=Z BED,.PA® BDE选彳4-2 :矩阵与变换、，-一，、， 兀 A，、，、，一，一，、，-，-、，一，一，、，-，-22.变换Ti是逆时针旋转二二角的旋转变换，对应的变换矩阵是M"变换T2对应的变换矩阵是/ 1 1M2-.Lo iJ(1)点P (2, 1)经过变换Ti得到点P',求P'的坐标；(2)求曲线y=x2先经过变换Ti,再经过变换T2所得曲线的方程.

45、【考点】几种特殊的矩阵变换.co【分析】(1)变换Ti对应的变换矩阵Mi=7T7T.71- sin2兀，Mi求得点P在Ti作用下的点P'的坐标;(2) M=M2?Mi=翼口,代入y=x2,即可求得经过变换T2所得曲线的方程.【解答】解：(i) Ti是逆时针旋转7U2角的旋转变换,Mi=7T8sT7T乳T.71- sin-兀8/Mi所以点P在Ti作用下的点P'的坐标是(-i, 2);，、 1 一(2) M=M2?Mi=1 0y.设T是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是y.也就是而三富武V所以所求的曲线方程为 y- x=y2.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在平面直角坐标系 xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A, B分别在曲线Ci：x=3+2cos 日y=4+,2sin Q（9为参数）和曲线 02：尸1上，求AB的最大值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】把曲线 Ci的参数方程化为普通方程，把曲线02的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值.【解答】解：曲线Ci：k=3+2cos y=4+2sin 8（0为参数），消去参数0化为曲线Ci： （x-3） 2+ （y-4）2=4, 曲线G是以（3,