9．1平面的性质与确定

1、9.1平面的性质与确定平平 面面 图图 形形点、线、面是空间的三种基点、线、面是空间的三种基本要素本要素. .点是空间的最基本点是空间的最基本的要素的要素. .空间图形是由点、线、面空间图形是由点、线、面所构成，也可以看成是空所构成，也可以看成是空间点的集合，记作间点的集合，记作U . . 直线也是空间的基本直线也是空间的基本要素要素. .空间中两个不同空间中两个不同的点确定一条直线的点确定一条直线. . 空间的基本要素空间的基本要素平平 面面平面：平面：平面是平面是无限伸展无限伸展的的平坦平坦的图形的图形. .平平 面面平面的概念平面的概念：平面的画法平面的画法：平面是平面是无限伸展无限伸展

2、的的平坦平坦的图形的图形. .通常用通常用平行四边形平行四边形来表示平面来表示平面. .如：平面如：平面 平面平面ABCD 平面平面AC 平面的表示法平面的表示法： 注：当平面是水平放置的时候，通常把平行注：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成四边形的锐角画成45，横边画成等于邻横边画成等于邻边的两倍边的两倍. .相交平面的画法相交平面的画法画相交平面时，画相交平面时，虚线实线虚线实线要清楚要清楚. . 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画应把被遮部分的线段画成虚线或不画. .平平 面面练习练习1.能不能说一

3、个平面有边界？为什么？能不能说一个平面有边界？为什么？2.能不能说点能不能说点A在平面在平面 的边界上？的边界上？为什么？为什么？3.一个平面能把空间分成几部分？一个平面能把空间分成几部分？4.能不能说一个平面长能不能说一个平面长4米，宽米，宽2米？为什么？米？为什么？5观察下面图形，说明它们的摆放位置不同观察下面图形，说明它们的摆放位置不同（1）（2）练习练习 点、线、面的位置关系（集合语言表示法）点、线、面的位置关系（集合语言表示法）点点A在直线在直线l上，上，点点B不不 在直线在直线l上，上，ABAlBl点点A 在平面在平面 内，内，A点点B 在平面在平面 外，外，Bl直线直线l在平面在

4、平面 内内l表示为：表示为：ll直线直线l在平面在平面 外外表示为：表示为：l表示为：表示为：lAAl直线直线l与平面与平面 相交相交Aab直线直线a与与b 相交于点相交于点A表示为：表示为：Aba 平面的基本性质平面的基本性质 如果一条直线上的如果一条直线上的两不重合的点两不重合的点在在一个平面内，那么这条直线上一个平面内，那么这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内 公理公理1AB(作用：证明直线在平面内作用：证明直线在平面内)l,Al,Bl,ABl 公理公理2 如果两个不重合的平面有如果两个不重合的平面有一个一个公共点，那么它们公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是的所有

5、公共点组成的集合是过该点的一条直线过该点的一条直线 PlPl且(作用：证明两个平面相交作用：证明两个平面相交) 经过经过不在同一条直线上不在同一条直线上的三点，的三点，有且只有一个平面有且只有一个平面. . （不共线的三点确定一平面）, , ,A B CA B C三点不共线三点确定一平面 公理公理3ACB(作用：确定平面作用：确定平面) 经过一条直线和这条经过一条直线和这条直线外直线外的一点，的一点，有有且只有且只有一个平面一个平面. . 推论推论1 1A(作用：确定平面作用：确定平面)lBc平面 lA 经过两条经过两条相交相交直线直线有且只有有且只有一个一个平面平面 . . 推论推论2 2(

6、作用：确定平面作用：确定平面)1l2lA平面All21经过两条经过两条平行平行直线直线有且只有有且只有一个平面一个平面 . . 推论推论3 3(作用：确定平面作用：确定平面)1l2l平面21/ll补充：1、平行公理： 空间中，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。2、共面与不共面： 如果几个点（或几条直线）在同一个平面内，则称这些点（或这些直线）共面；否则称它们不共面。应用应用例例1 证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面.证明：设直线证明：设直线AB，BC ，CA两两相交，交点分别为两两相交，交点分别为B、 C、A，如图所示：如图所示：AB

7、C 直线直线AB，BC ，CA共面共面. .确定平面直线BBCABCA,AC直线ACCACA直线直线又, 例例2 证明：如果一条直线与两条平行直线都相交，证明：如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面那么这三条直线共面. .证明：设直线证明：设直线a b ， a c=A， b c=B，如图：如图：AcabB直线直线a， b可以确定一个平面可以确定一个平面 A ，且且B c直线直线a， b， c 共面共面. .ba/bBaA ,又cBcA且又,证明直线共面的基本步骤：证明直线共面的基本步骤：（1）根据公理三及它的三个推论，由已）根据公理三及它的三个推论，由已知中的某些条件确定一个平面

8、知中的某些条件确定一个平面. .（2）再利用公理一证明其它的直线）再利用公理一证明其它的直线在此平面上在此平面上.（3）说明有关直线共面）说明有关直线共面. .练习练习1.1.判断题：判断题：（1 1）每个平面都有确定的面积）每个平面都有确定的面积. .（错）（错）（2 2）经过一点和一条直线有且只有一个平面）经过一点和一条直线有且只有一个平面. .（错）（错）（3 3）若线段）若线段ABAB在平面在平面内，则直线内，则直线ABAB在平面在平面内内. .（对）（对）（4 4）若平面）若平面与与有三个不共线的公共点，则这两个有三个不共线的公共点，则这两个平面一定重合平面一定重合. .（对）（对）（5 5）三点确定一个平面）三点确定一个平面. .（错）（错）（6 6）四边形一定是平面图形）四边形一定是平面图形. .（错）（错）（7 7）平面）平面与与相交于不同在一条直线上的三个相交于不同在一条直线上的三个A A、B B、C.C.（错）（错）证明：如果一条直线与两条平行直线都相交，那么