补充构造异面直线所成角的几种方法

1、一.异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1） 在异面直线所成角的定义中，空间中的点o 是任意选取的，异面直线a和 b 所成角的大小，与点o的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0，902、 熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角的范围是 0 90, 所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的

2、补角作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图，长方体abcabqd中，aa=ae=2, ad=1, 点e、f、g分别是dd ab cg的中点，则异面直线be与gf所成角的余弦是 _ 。d1 c1a/例 2 已知 s 是正三角形abc 所在平面外的一点，如图sa= sb= sc , 且 asb= bsc= csa= _ , m n分别是 ab 和 sc 的中点 .2 求异面直线 sm 与 bn 所成的角的余弦值 . 例 3 长方体 abc aibqd 中，若

3、ab=bc=3 aa=4 , 求异面直线bd 与 bg 所成角的大小a. a, 的正切值等于 _ 练习 : bc=ca=cc则 bd 与 af 所成角的余弦值是（(b)| 3. 正方体 abc abcd 中，直线bc 与 ac （c）异面且垂直4. 设 a、b、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：如果 a 丄 b、bc，贝 u a / c；如果 a 和 b 相交， b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交；如果 a、b 是异面直线， c、b 是异面直线，则a、c 也是异面直线 ; 如果 a 和 b 共面， b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面例 4 如图，pa 平面abc , acb

4、 90 且pa ac bc a，则异面直线pb与ac所成角1.在棱长为 1 的正方体abcabcd 中， m 和 n 分别为 ab 和 bb 的中点 , 值是（）（a）；2 那么直线 am 与 cn 所成角的余弦(b) 110010 （c）3(d)| 5 b1a1（第 1 题）2.如图， abc abc 是直三棱柱（三侧面为矩形c (第 2 题) )，/ bca=90 ,fi分别是 aibi、ac 的中点若-h-*（a） 相交且垂直（b）相交但不垂直（d） 异面但不垂直b c1 a d1 f1 在上述四个命题中，真命题的个数是() (a)4 (b)3 (c)2 (d)1 (e)0 5.如果直线

5、丨和 n 是异面直线，那么和直线(a) 不一定存在(b) (c)总共可能有一条，也可能有两条丨、n 都垂直的直线总共只有一条(d) 有无穷多条6.如图，四面体sabc 的各棱长都相等，如果e、f 分别为 sc ab 的中点，那么异面直线ef 与 sa 所成的角等于(a)90 (b)60 (c)45(d)30 7 ?右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中, bm 与 ed 平行；cn 与 be 是异面直线；cn 与 bm 成60角； dm 与 bn 垂直. b 以上四个命题中，正确命题的序号是(a) ( b) 8 . 如图，四面体abcd 中, 正切值为。( )(d)ndcm/anbfe (

6、c) acl bd, 且 ac= 4 , bd= 3 , m n 分别是 ab cd 的中点，则求mn 和 bd 所成角的9. 异面直线 a b 成 60,10. 异面直线过空间一点 p 的直线 c 与 a、b 成角都为60 ，直线90 ( b) 60 60 ( d) 60 ( )a、b 成60( a) 30 ，( c) 30 ，11.如图，正三棱柱的九条棱都相等, 成角的余弦值。c 丄 a，则直线 b 与 c 所成的角的范围为, 90 , 120 三个侧面都是正方形，m n 分别是 bc 和 aq 的中点求 mn 与 ab所12.如图，四面体abcd 中, e 为 ad 中点，若ac= cd

7、= da= 8 , ab= bd= 5 ,弦值。二.共面、共线、共点问题共点问题：证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点?解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上. 共线问题：证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上 . 共面问题：证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合. 1

8、. 如图所示，在正方体abcaibcd 中， e 为 ab 中点， f 为 aia 的中点 . 求证：（ 1） e、c d、f 四点共面；（2） ce df 、da 三线共点。练习 : 1. 共点的四条直线最多能确定_ 个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有_ 个。3. 已知平面平面1，点a、b ，点c 且c 1，ab i r，设过 a b、c 三点的平面为，贝u 是（ ）a. 直线 ac b. 直线 bc c. 直线 cr d.以上全错4. 已知 abc 三边 ab bc ca 分别交平面于 p、q r，求证：p、q r 共线2如图， ab ii cd，ab b，c

9、d d，ac e，求证 :d 三点共线。5. 如果 abc 和厶 abc 不在同一平面内，且aa、bb、cc 两两相交，求证：三直线aa、bb、cg 交于一点。三?平行问题1、线/线”的证明：(1)平行四边形法：如图，在正方体abcd a1b1c1d1中，由ab上dc上dq , 得四边形abc1d1为平行四边形汙是bc1/ad1 ；中位线法：如图，四棱锥的底面abcd 为平行四边形，点 q 是 pc 的中点，则由 0q 是 pac 的中位线，得到 oq/pa ；线/面”平行法：如图，若b1c1 /平面 abcd，过b1c1的平面交平面abcd 于 mn,则b1c1 / mn ；面/面”法：如图

10、，若平面a1b1c1d1 /平面 abcd，平面 与平面ab1c1d1、平面 abcd 分别交于 ef、mn，则有 ef/ mn; (5) “平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线 ) ，所得的对应线段成比例。如图，在正方体abcd a1b1c1d1中， e，f 分别为面对角a1 d1c1 a1 线 dibi, a1b 上的动点，且die= a1f，则dlleb, fb d,e a,e a,e a,f又1 1，故二1 1，所以ef/gb 。ebi eg eg fb2、 线/面”的证明：线/线”法：如图 ,q 为 pc 的中点，贝u oq /ap所以0q

11、 /平面 pad ；面/面”法：如图若a1b1c1d1 /平面 abcd, 直线 mn 在平面aibigdi, 贝u mn / 平面 abcd ;3、 面/面”的证明：线/面”法：如图，在平面abicidi上找到两条相交直线mn、mci均平行于平面abcd, 则有平面a|bicidi/平面 abcd ; 例题分析：1. a/ ,b/ ，则a与b的位置关系（）a. 平行 b ?异面 c ?相交 d ?以上情况均有可能2. a，b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（）a.有且只有一个b . 至少有一个c . 至多有一个d . 以上答案都不对3、已知正方体abcd-abcd 中， e，f

12、 分别是ab，bc 的中点。求证： ef / 面 adcai 4、如图，已知矩形abcd 所在平面外一点p, e、f 分别是 ab, pc 的中点求证： ef/ 平面 fad; 5. 如图，四棱锥p abcd 的底面是正方形，点e、f 分别为棱 ab、fd 的中点。求证： af / 平面 pce ; 6、如图，在正方体abcd ab1c1d1中，e是aa的中点，求证：a1c/平面bde 7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥p abcd中，点e是pd的中点 .求证：pb / 平面aecp pp f d a e c b p bi bi c 8 . 已知正四棱锥pabcd , m、n 分别是 pa、

13、bd 上的点，且pm : ma=bn : nd=5 : 8, 求证：直线mn/ 平面pbc io. 已知正三棱柱abc - aibici, d 为 ac 中点。求证：直线abi/ 平面 cidb; 9、正方体abcd-a ibicidi, p、q 分别是正方形aaidid 和 aibicidi的中心。求证pq/ 平面 ddicic; ci ciii. 如图：已知 aibici-abc 是正三棱柱,d 是 ac 中点 .证明 :ab i/ 平面 dbc i；i 12. 如图，在斜三棱柱abc a1b1c1中， e、f 分别是棱bjg、a1a的中点，证明a1e / 平面b1fc14、如图 pa 丄平面 abcd ，四边形 abcd 是矩形， e、f 分别是 ab , pd 的中点。求证： af平面 pce ; ci e a b f c e a1 f c ci bi 15.如图，平面efgh分别平行于cd, ab , e, f ,g, h分别在bd,bc,ac,ad 上 , 且cd a，ab b , cd 的面积最大 . 16.如图，在四棱锥s abcd中，sa ab 2 , sb sd 2 2，底面abcd是菱形，且abc 60，e为cd的中点 . 侧棱sb上是否存在点f， 使得cf /平面sae ?并证明你的结论 .ab .(1)求证：efgh是矩形；(