相似三角形的性质与判定专题讲义(基础)(精)

1、相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理(一、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。2、相似三角形的对应高，对应中线,对应角平分线的比都等于。3、相似三角形对应周长的比等于。4、相似三角形对应面积的比等于。注意:在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能 确定，则应当进行分类讨论。匚、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：(1 平行截割:_(2 两角对应相等：(3 两边夹:(4 三边比:_2、判定两个三角形相似的一般步骤：(1 先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角(2 若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等，或找夹

2、这个角的两边是否对应成 比例。(3 若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比;横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替。二、基础练习1.（2013 俺庆已知ABC sDEF，若 ABC与厶DEF 的相似比为 3:4,则 ABC与厶DEF 的面积比为（A .4:3B .3:4C .16:9D .9:162. 两相似三角形的最短边分别是 5cm 和 3cm，它们的面积之差为 32cm 2,那么小三角形的面积为（A .10cm 2B .14cm 2C .16cm 2D .18cm 23. 如图，已知ABC ,AB=6,AC=4,D 为 AB 边上一点，且 AD=2,

3、E 为 AC 边上一点（不与 A、C 重合,若厶 ADE 与厶 ABC 相似,则 AE=（ A .2B .34C .3 或 43D .3 或 345.如图,D、E 分别是 AC ,AB 上的点，/ ADE = / B ,AG 丄 BC 于点 G ,AF 丄 DE 于点 F 若 AD =3,AB=5,求：（1AGAFJADE与厶ABC 的周长之比；ABCDEF三、重难点高效突破专题一:计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角 形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。典型例题 1、（2012?株洲如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,B

4、C=8,沿直线 MN 对折，使A、C 重合,直线 MN 交 AC 于 O.(1 求证: COM sCBA;(2 求线段 OM 的长度.典型例题 2、(2012?铁岭已知：在直角梯形 ABCD中,AD / BC,ZC=90 ,AB=AD=25,BC=32.连接 BD,AE 丄 BD,垂足为 E.(1 求证: ABEDBC;(2 求线段 AE 的长.典型例题 3、(2013?安顺在平行四边形 ABCD 中,E 在 DC 上，若 DE:EC=1:2 厕BF:BE=.BC AC52、(2013?巴中如图，在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE 丄 BC ,垂足为 E ,连 接DE ,F 为线段

5、 DE 上一点且/ AFE= / B(1 求证: ADF DEC ;(2 若 AB=8,AD=36,AF=34,求 AE 的长.综合提高1、(2009?甘孜州已知如图，？ABCD 中，/ DBC=45 ,DE 丄 BC 于 E ,BF 丄 CD于 F ,DE、BF 相交于 H ,BF、AD 的延长线相交于 G .(1 求证:AB=BH ;(2 若 GA=10,HE=2.求 AB 的值.专题二:等积式、等比式的证明对应线段成比例除了用来计算线段长度外，它也是我们证明等积式、等比式的 一个重要理论依据。处理这类问题的口诀是：遇等积，化等比;横找、竖找定相似；不 相似,莫生气,等线等比来代替。等积问

6、题证明第一步：化等比,定相似遇到等积问题时，首先把等积化为等比的形式，然后考虑证明两个三角形相似。例 1、（2011?闸北区一模如图,ABC 是直角三角形，/ACB=90 ,CD 丄 AB 于点D ,E 是 AC 的中点,ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F .求证：FCFDFD FB变式练习：点 E 是四边形 ABCD 的对角线上一点 且/ BAC= / BDC= / DAE,求证:BE AD=CD AE等积证明第二步：不相似,莫生气，等线等比来代替。若在化等比，定相似的基础上不能通过证明两个三角形相似来实现等积的证明 此时可通过查找问题中所隐含的相等的线段或相等比值的条件，用等线或相

7、等的比 值来代替等比式中的相应部分，再在此基础上通过其它的手段来证明等积问题。例 2:为边 AD 延长线上的一点，BE 交 CD 于 F。试说明:CDBC=AE FC 的理由。变式练习：1、如图，已知，在矩形 ABCD 中,AC 是对角线,AF 平分/ BAC 交 BC 于F ,FG 丄 AC 于 H 交 AD 于 G,求证:DCFCACBF?2、(1997 帖林已知：如图, ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点，过 C 作CF / AB,延长 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F、求证:BP2=PE?PF.E例 3、如图,P1. (2012-A水如图所示的一张畀拟E

8、F址AO边于点E.交BC边于- - 九 bU I iF AB,将纸片折叠一次，使点 A与 C 重合，再展开折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,交 AC 于点 O,分别连 接 AF和 CE.(1 求证:四边形 AFCE 是菱形；(2 过 E 点作 AD 的垂线 EP 交 AC 于点 P,求证:2AE2=AC?AP;(3 若 AE=10cm,AABF 的面积为 24cm2,求厶 ABF 的周长.专题三:相似三角形中的面积问题一、求三角形面积常用方法1、面积公式2、等高或等底法3、相似三角形的性质二、例题及变式练习例 1：如图,DE / BC, ADE 与ABC 的相似比是_面积

9、之比是_P12ADBD且CBEDANA BEM例 2、已知如图， 梯形 ABCD 中，AB / CD , COD与厶AOB 的周长比为 1:贝 U CD: 2, AB= S COB: SACOD=.,例 3、：如图，DE / BC ,DF / AC,Sa ABC=a ,且_AD 1 则四边形 DFCE 的面积为 BD 2 A D E BD C 变式一：如图，平行四边形 ABCD 中,AE:EB=2:3,贝 USAAPE CPD=_. F C A E B 变式二：如图，平行四边形 ABCD中,BE:AB=2:3,且 SABPE =4,求平行四边形 ABCD 的面积.D C P A E B 变式三：如图,AC是平行四边形 ABCD 的对角线，且 AE=EF=FC,求 SADMN: S ACD D F B N C E A变式四：如图,ABC 中,AD / BC,联结 CD 交 AB 于点 E,且，且 AE : EB=1： 3,过点 E 作 EF / BC,交 AC 于点 F