课时提升作业(二十九) 5.1

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十九)数列的概念与简单表示法(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*都有am+n=am·an,若a6=64,则a9等于()A.256B.510C.512D.10242.(2014·天津模拟)已知数列an的前n项和Sn=2an-1,则满足ann2的正整数n的集合为()A.1,2B.1,2,3,4C.1,2,3D.1,2,43.(2014·天津模拟

2、)若数列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),则a2014的值为()A.1B.2C.3D.44.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),且a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.12n-1D.12n-15.(2014·北京模拟)已知函数f(n)=n2cosn,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100=()A.0B.-100C.100 D.102006.(2014·北京模拟)已知an=13n,把数列an的各项排列成如下的三角形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个

3、数,则A(10,12)=()A.1393B.1392C.1394D.131127.已知数列的通项公式为an=log 12(n-4),则数列中的最大项为()A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项8.(2014·潍坊模拟)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.3×44B.3×44+1C.45D.45+1二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知an是递增数列,且对nN*,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是.10.设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,则数列an的通项公式为.11.(2014

4、·青岛模拟)无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1,随后两项都是2,接下来3项都是3,再接下来4项都是4,以此类推,记该数列为an,若an-1=20,an=21,则n=.12.(能力挑战题)对于正项数列an,定义Hn=na1+2a2+3a3+nan为an的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=2n+2,则数列an的通项公式为.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知数列an的前n项和Sn=-12n2+kn,kN*,且Sn的最大值为8,试确定常数k,并求数列an的通项公式.14.已知数列an满足:a1=1,2n-1an=an-1(nN,n2)

5、.(1)求数列an的通项公式.(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000?15.(能力挑战题)已知数列an中,a1=2,an-an-1-2n=0(n2,nN*).(1)写出a2,a3的值(只写结果),并求出数列an的通项公式.(2)设bn=1an+1+1an+2+1an+3+1a2n,若对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式t2-2mt+16>bn(nN*)恒成立,求实数t的取值范围.答案解析1.【思路点拨】利用am+n=am·an,求出a12,a3,列出a12,a3,a9的关系,求出a9的值.【解析】选C.在各项均为正数的数列an中,对任意m,nN*都有am+

6、n=am·an,所以a12=a6·a6=642,又a6=a3·a3,所以a3=8,所以a12=a9·a3,解得a9=6428=512.故选C.2.【解析】选B.因为Sn=2an-1,所以当n2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以an是公比为2的等比数列,又因为a1=2a1-1,解得a1=1,故an的通项公式为an=2n-1.而ann2,即2n-12n,所以有n=1,2,3,4.3.【解析】选A.因为a1=3,an+an-1=4(n2),所以a1=3,a2=1,a3=3,a4=1,显然当n是偶数时,

7、an=1,所以a2014=1.【加固训练】1.若数列an满足a1=2,an+1an=an-1,则a2015的值为()A.-1B.12C.2D.3【解析】选B.根据题意,由于数列an满足a1=2,an+1an=an-1,所以an+1=1-1an,所以a2=12,a3=1-2=-1,a4=2,可知数列的周期为3,而2015=3×671+2,因此可知a2015=a2=12.2.(2014·黄冈模拟)已知数列an,若a1=b(b>0),an+1=-1an+1(nN*),则能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-

8、1a1+1=-1b+1,a3=-1a2+1=-b+1b,a4=-1a3+1=b,a5=-1a4+1=-1b+1,a6=-1a5+1=-b+1b,所以数列an的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.4.【解析】选B.a1=1=21×2,因为Sn=n2an(n2),所以S2=4a2,即a1+a2=4a2,所以a2=13a1=13=22×3.当n=3时,S3=9a3,即a1+a2+a3=9a3,解得a3=16=23×4,因此猜想an=2n(n+1).5.【解析】选B.f(n)=n2cosn=-n2,n为奇数,n2,n为偶数=(-1)n·

9、;n2,由an=f(n)+f(n+1)= (-1)n·n2+(-1)n+1·(n+1)2=(-1)nn2-(n+1)2 =(-1)n+1·(2n+1),得a1+a2+a3+a100=3+(-5)+7+(-9)+199+(-201)=50×(-2)=-100.【加固训练】(2014·广州模拟)数列an满足a1=43,an+1=an2-an+1(nN*),则m=1a1+1a2+1a2 013的整数部分是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由条件得1an+1-1=1an(an-1)=1an-1-1an,即有1an=1an-1-1an+1-1,则

10、m=1a1+1a2+1a2 013=1a1-1-1a2 014-1=3-1a2 014-1.又an+1-an=(an-1)20,则an+1ana1>1,从而有(an+1-an)-(an-an-1)=(an-1)2-(an-1-1)2=(an-an-1)(an+an-1-2)0,则an+1-anan-an-1a2-a1=19,则a2014=a1+(a2-a1)+(a2014-a2013)43+2 0139=225,得a2014-1224,即有0<1a2 014-1<1,则m(2,3),故选B.6.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+7+9+11+13+15+17=9(

11、1+17)2=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=13n,所以A(10,12)=a93=1393.【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律继续下去,第n个五角形数an=.【解析】观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(3n-2)+3(n-1)-2+(3&#

12、215;2-2)+1=32n2-12n.答案:32n2-12n7.【思路点拨】观察数列的通项公式可将其视为一次函数与对数函数结合的复合函数求解.【解析】选C.根据题意可转化为函数f(x)=log12(x-4),xN*,易知其定义域为x|x>4,xN*,且t=x-4为单调递增函数,f(t)=log12t,t>0为单调递减函数,从而f(x)=log12(x-4),x>4,xN*为单调递减函数,故当x=5时函数取最大值,因此该数列的最大项为第5项,选C.8.【解析】选A.因为an+1=3Sn,所以Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,所以Sn+1Sn=4,又S1=a1=1,所

13、以数列Sn是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=1·4n-1=4n-1,因此a6=S6-S5=45-44=3×44.【一题多解】本题还可用以下两种方法解答:方法一:由已知得a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×4,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=3×43,a6=3S5=3×44,故选A.方法二:当n1时an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以an=

14、1,n=1,3×4n-2,n2.所以当n=6时,a6=3×46-2=3×44.9.【解析】因为an是递增数列,所以an+1>an.因为an=n2+n恒成立即(n+1)2+(n+1)>n2+n,所以>-2n-1对于nN*恒成立,而-2n-1在n=1时取得最大值-3,所以>-3.答案:(-3,+)【误区警示】(1)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取.(2)易错分析:本题易错写答案为(-2,+),原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调

15、性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是54,+,而通项公式是an=2n2-5n的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.【加固训练】在数列an中,an=n2-kn,且an单调递增,则实

16、数k的取值范围为.【解析】an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又an单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,分离变量得k<2n+1,故只需k<3即可.答案:(-,3)10.【解析】因为a1+3a2+32a3+3n-1an=n3,所以a1+3a2+32a3+3n-1an+3nan+1=n+13.两式相减得3nan+1=13,所以an+1=13n+1(nN*),从而an=13n(n2),由题意知,a1=13符合上式,所以an=13n(nN*).答案:an=13n(nN*)【加固训练】已知数列an满足a1=1,且an=n

17、(an+1-an)(nN*),则a2=,an=.【解析】由an=n(an+1-an),可得an+1an=n+1n,则an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3··a2a1·a1=nn-1×n-1n-2×n-2n-3××21×1=n,所以a2=2,an=n.答案:2n11.【解析】将1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,分组成1,2,2,3,3,3, 4,4,4,4,5,.第1组有1个数,第2组有2个数,以此类推.显然an-1=20在第20组,an=21在第21组.易知,前20组

18、共1+202×20=210个数.所以n=211.答案:21112.【解析】由Hn=na1+2a2+3a3+nan可得a1+2a2+3a3+nan=nHn=n(n+2)2,当n2时,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=(n-1)(n+1)2,-得nan=n(n+2)2-(n-1)(n+1)2=2n+12,所以an=2n+12n.又n=1时,由可得a1=32,也适合上式,所以数列an的通项公式为an=2n+12n.答案:an=2n+12n,nN*13.【思路点拨】数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数,利用Sn的最大值为8可确定常数k;根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式.【解析】因为Sn=-12n2+kn=-12(n-k)2+12k2,其中k是常数,且kN*,所以当n=k时,Sn取最大值12k2,故12k2=8,k2=16,因此k=4,从而Sn=-12n2+4n.当n=1时,a1=S1=-12+4=72;当n2时,an=Sn-Sn-1=-12n2+4n-12(n-1)2+4(n-1)=92-n.当n=1时,92-1=72=a1.所以an=92-n.14.【解析】(1)an=anan-1·an-1an-2··a