高中数学知识点扫描：五数列

1、五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集*n（或它的有限子集, 3, 2, 1n）上的函 数)(nf， 当 自 变 量 从1 开 始 由 小 到 大 依 次 取 正 整 数 时 ， 相 对 应 的 一 列 函 数 值 为),2(),1 (ff；通常用na代替)(nf， 于是数列的一般形式常记为,21aa或简记为na，其中na表示数列na的通项。注意： （1）na与na是不同的概念，na表示数列,21aa，而na表示的是数

2、列的第n项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。（3）na和ns之间的关系：)2() 1(11nssnsannn如：已知na的ns满足)() 1lg(*nnnsn，求na。二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比）)2,(*1nnndaann，或daann 1；qaann1)2,(*nnn，或qaan

3、n 1（0q） ；通项公式namad= nama求和公式由倒序相加法推得ns= 由错项相减法推得1q，ns= 1q，ns用函数的思想理解通若na为等差数列banan，则a，b；若na为等比数列nncaa，则a，c；项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点用函数的思想理解求和公式等差数列na，cbnansn2，则c；a；b；若0c，说明：；),(nsn在二次函数的图象上，是一群孤立的点。若na为等比数列，baasnn，则a；a；b；（其中的系数与为互为相反数， 这是公式一很重要特点，注意前提条件1,0 qq。 ）若ab，说明：；等比数列na，asnn3，则a；增减性na为递增数列；n

4、a为递减数列；na为常数列。na为递增数列；na为递减数列；na为常数列；na为摆动数列；等差（比）中项任意两个数ba,有且只有一个等差中项，即为；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两 个 数ba,的 等 比 中 项 为；（0ab）等差（比）数列的性质mnnaaaa_21中a2mnnaaaa_212中a若qpnm，则 _ _；特别当pnm2，则；若qpnm，则 _ _；特别当pnm2，则；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：,531aaa；问公差为在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来

5、的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：,531aaa；问公比为987654321,aaaaaaaaa是数列；公差为；,232mmmmmsssss成 等 差 数列。987654321,aaaaaaaaa是数列；公比为；987654321,aaaaaaaaa是数列；公比为；963852741,aaaaaaaaa是数列；公差为；963852741,aaaaaaaaa是数列；公比为；若数列na与nb均为等差数列，则nnkbma仍为等差数列， 公差为；若数列na与nb均为等差数列，则nnbma仍为等比数列， 公比为；nnbma仍为等比数列，公比为；如：

6、 （ 1）在等差数列na中10ns，302ns，则ns3；（ 2）在等比数列na中10ns，302ns，则ns3；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列na中，若)(,nmnamamn，则nma；（2）等差数列na中，若)(,nmnsmsmn，则nms；（3）等差数列na中，若)(nmssmn，则nmmaaa21；nms；（4）若qpss，则n时，ns最大。（5）若na与nb均为等差数列，且前n 项和分别为ns与nt，则_tsbamm；_tsbanm（6）项数为偶数n2的等差数列na，有)(22)(1212nnnnaanaans（na与1na为中间的两项）奇偶ss；偶奇ss；项数为

7、奇数12n的等差数列na，有nnans) 12(12（na为中间项）偶奇ss；偶奇ss；偶奇ss；等比数列中还有以下性质须注意：（1）若na是等比数列， 则)0(na，|na也是等比数列， 公比分别；（2）若na是等比数列，则1na，2na也是等比数列，公比分别；三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：定义法：daann 1或)2(1ndaann（d为常数）na是等差数列中项公式法：221nnnnaaaa是等差数列通项公式法：qpnan（qp,为常数）na是等差数列前n项和公式法：bnansn2（ba,为常数）na是等差数列注意：是用来证明na是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：定

8、义法：qaann 1或)2(1ndaann（q是不为零的常数）na是等比数列中项公式法：)0(21221nnnnnnnaaaaaaa是等差数列通项公式法：nncqa（qc,是不为零常数）na是等差数列前n项和公式法：kkqsn2（11qak是常数）na是等差数列注意：是用来证明na是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如： （1）0.2，0.22，0.222，（ 2） 21，203，2005，20007，（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。递推式为daann 1及nnqaa1（qd,为常数）：直接运用等差（比）数列。递推式为)(1nfaann：迭加法如

9、：已知na中211a，14121naann，求na递推式为nnanfa)(1：迭乘法如：已知na中21a，nnanna11，求na递推式为qpaann 1（qp,为常数）：构造法：、由qpaaqpaannnn121相减得)()(112nnnnaapaa，则1nnaa为等比数列。、 设)()(1taptann， 得到qtpt，1pqt， 则1pqan为等比数列。如：已知52, 111nnaaa，求na递推式为nnnqpaa1（qp,为常数）：两边同时除去1nq得qqaqpqannnn111，令nnnqab，转化为qbqpbnn11，再用法解决。如：已知na中，651a，11)21(31nnnaa

10、，求na递推式为nnnqapaa12（qp,为常数）：将nnnqapaa12变形为)(112nnnntaastaa，可得出qstpts解出ts,，于是1nntaa是公比为s的等比数列。如：已知na中，2, 121aa，nnnaaa313212，求na（3）公式法：运用2,1,11nssnsannn已知1532nnsn，求na；已知na中，nnas23，求na；已知na中，)2(122, 121nssaannn，求na五、数列的求和法：（1）公式法：等差（比）数列前n项和公式：n321；6)12)(1(3212222nnnn；233332)1(321nnn（2）倒序相加（乘）法：如：求和：nnn

11、nnncncccs) 1(32210；已知ba,为不相等的两个正数，若在ba,之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积np；（3）错位相减法：如：求和：nnxxxxs3232（4）裂项相消法：)(1knnan；nknan1；如：)1(1431321211nns；)2(1531421311nns；若11nnan，则ns；（5）并项法：如：求100994321100s（6）拆项组合法：如：在数列na中，1210nann，求ns，六、数列问题的解题的策略：（1）分类讨论问题： 在等比数列中，用前n项和公式时， 要对公比q进行讨论； 只有1q时才能用前n项和公式，1q时11nas已知ns求na时，要对2, 1 nn进行讨论；最后看1a满足不满足)2(n