中考数学函数综合题型及解题方法讲解

1、. . jz* 二次函数综合题型精讲精练主讲：教师题型一：二次函数中的最值问题例 1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过 a 2， 4 ，o0，0 ，b2， 0三点1求抛物线y=ax2+bx+c 的解析式；2假设点m 是该抛物线对称轴上的一点，求am+om的最小值解析：1把 a 2， 4 ，o0，0 ，b2， 0三点的坐标代入y=ax2+bx+c 中，得解这个方程组，得a=，b=1， c=0 所以解析式为y=x2+x2由 y=x2+x= x12+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段ob om=bm om+am=bm+am 连接 ab 交直线 x=1 于

2、m 点，那么此时om+am 最小过点 a 作 an x 轴于点 n，在 rtabn 中， ab=4，因此 om+am最小值为方法提炼：一条直线上一动点m 和直线同侧两个固定点a、b，求 am+bm 最小值的问题，我们只需做出点 a 关于这条直线的对称点a，将点 b 与 a连接起来交直线与点m，那么 ab 就是 am+bm的最小值。同理，我们也可以做出点b 关于这条直线的对称点b，将点 a 与 b连接起来交直线与点m，那么ab就是 am+bm 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。a a b b m 或者ma b例 2：抛物线1c的函数解析式为23 (0)yaxbxa b，假设抛物线1c经过

3、点(0,3)，方程230axbxa的两根为1x，2x，且124xx。1求抛物线1c的顶点坐标 . 2实数0 x，请证明：1xx2,并说明x为何值时才会有12xx. 3假设抛物线先向上平移4 个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2c，设1(,)a m y，2( ,)b n y是2c上的两个不同点，且满足：090aob，0m，0n.请你用含有m的表达式表示出aob的面积s，并求出s的最小值及s取最小值时一次函数oa的函数解析式。解析： 1抛物线过,点，3aax2bx. . jz* x2bx =的两根为x1,x2且21x-x21221214)(xxxxxx且bbx2xx抛物线的顶点坐标为，2x，0

4、)1(212xxxx,21xx显然当x时，才有,21xx3方法一：由平移知识易得的解析式为： yx2(m，m)，bn，naob为 rtoa+ob=abmmnnmnmn化简得：m naob=oboa ?21=424221nnmm?m naob22221221221mmnm1221121)1(212mmmmaob的最小值为，此时m ,( ,) 直线oa的一次函数解析式为x方法提炼：一元二次方程两个根x1,x2,求 |x1-x2| 。因为 |x1-x2| =212214xx)x(x可得到：根公式根据一元二次方程的求;24;242221aacbbxaacbbx.;2121acxxabxx，取得最小值。

5、时，当211);(,21mmmommm例 3：如图，抛物线经过点a 1，0 、b3，0 、c0，3三点1求抛物线的解析式2点 m 是线段 bc 上的点不与b， c 重合 ，过 m 作 mn y 轴交抛物线于n，假设点m 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示mn 的长3在 2的条件下，连接nb、 nc，是否存在m，使 bnc 的面积最大？假设存在，求m 的值；假设不存在，说明理由解析：1设抛物线的解析式为：y=ax+1 x3 ，那么：a0+1 0 3=3，a=1；抛物线的解析式：y= x+1 x3=x2+2x+3 2设直线bc 的解析式为：y=kx+b ，那么有：. . jz* ，解得；故直线

6、bc 的解析式： y=x+3点 m 的横坐标为m，那么 mm， m+3 、n m， m2+2m+3 ；故 mn= m2+2m+3 m+3= m2+3m0 m 3 3如图；s bnc=s mnc+s mnb=mn od+db =mn ob，s bnc= m2+3m 3= m2+0m3 ；当 m=时， bnc 的面积最大，最大值为方法提炼：因为bnc 的面积不好直接求，将bnc 的面积分解为mnc 和 mnb 的面积和。然后将bnc 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。 此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小

7、值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4： 如图，： 直线3xy交 x 轴于点 a， 交 y 轴于点 b， 抛物线 y=ax2+bx+c经过 a、b、c1， 0三点 . 1求抛物线的解析式; 2 假设点 d 的坐标为 -1， 0 ， 在直线3xy上有一点 p,使 abo与 adp相似，求出点p 的坐标；3在 2的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点e，使 ade的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e 的坐标；如果不存在，请说明理由解： 1 ：由题意得，a3，0 ，b0，3抛物线经过a、b、c 三点，把a3，0， b0，3，c 1，0三点分别代入2yaxbxc得方程组03

8、039cbaccba解得：341cba抛物线的解析式为243yxx2由题意可得：abo 为等腰三角形,如下图，假设abo ap1d，那么1dpobadao dp1=ad=4 , p1(1,4). . jz* 假设abo adp2 ，过点 p2作 p2 m x 轴于 m，ad=4, abo 为等腰三角形, adp2是等腰三角形 ,由三线合一可得：dm=am=2= p2m，即点 m 与点 c 重合p2 1，23如图设点e ( ,)x y，那么|2|21yyadsade当 p1(-1,4)时，s四边形ap1ce=s acp1+sace |2214221y= 4y24yy4y点 e 在 x 轴下方4y

9、代入得：2434xx,即0742xx =(-4)2-47=-120 此方程无解当 p21，2时， s四边形 ap2ce=s三角形 acp2+s三角形ace = 2y22yy2y点 e 在 x 轴下方2y代入得：2432xx即0542xx， =(-4)2-45=-40 此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点e。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直

10、接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例 5：如图，点a 在 x 轴上， oa=4 ，将线段oa 绕点 o 顺时针旋转120至 ob 的位置1求点 b 的坐标；2求经过点ao、b 的抛物线的解析式；3在此抛物线的对称轴上，是否存在点p，使得以点p、 o、 b 为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点 p 的坐标；假设不存在，说明理由解析：1如图，过b 点作 bcx轴，垂足为c，那么bco=90， aob=120， boc=60，又 oa=ob=4， oc=ob= 4=2， bc=ob?sin60 =4 =2，点 b 的坐标为 2， 2 ；2抛物线过原点o 和点 a

11、b，可设抛物线解析式为y=ax2+bx ，将 a4，0 ，b 2 2代入，得. . jz* ，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x 3存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为d，设点 p 的坐标为 2，y ，假设 ob=op ，那么 22+|y|2=42，解得 y=2，当 y=2时，在 rt pod中，pdo=90， sin pod= =， pod=60， pob= pod+ aob=60 +120 =180 ，即 p、o、b 三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去，点 p 的坐标为 2， 2假设 ob=pb ，那么 42+|y+2|2=42，解得 y= 2，故

12、点 p 的坐标为 2， 2 ，假设 op=bp ，那么 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2，故点 p 的坐标为 2， 2 ，综上所述，符合条件的点p 只有一个，其坐标为2， 2 ，方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例 6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 ab 两点，与y轴交于点 c，点 d 是该抛物线的顶点1求直线ac 的解析式及b，d 两点的坐标；2点 p

13、是 x 轴上一个动点，过p 作直线 l ac交抛物线于点q，试探究：随着p 点的运动，在抛物线上是否存在点q，使以点 ap、q、c 为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点 q 的坐标；假设不存在，请说明理由3请在直线ac 上找一点m，使bdm的周长最小，求出m 点的坐标解析：1当 y=0 时， x2+2x+3=0 ，解得 x1=1，x2=3点 a 在点 b 的左侧，ab 的坐标分别为1， 0 ， 3，0 当 x=0 时， y=3c 点的坐标为0，3设直线 ac 的解析式为y=k1x+b1 k10 ，. . jz* 那么，解得，直线 ac 的解析式为y=3x+3 y=x2+

14、2x+3= x12+4，顶点 d 的坐标为 1，4 2抛物线上有三个这样的点q，当点 q 在 q1位置时， q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点q1的坐标为 2，3 ；当点 q 在点 q2位置时，点q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点q2坐标为 1+， 3 ；当点 q 在 q3位置时，点q3的纵坐标为 3，代入抛物线解析式可得，点q3的坐标为 1， 3 ；综上可得满足题意的点q 有三个，分别为：q12，3 ，q21+， 3 ，q31， 3 （3）点 b 作 bb ac 于点 f，使 bf=bf ，那么 b为点 b 关于直线ac 的对称点连接 bd 交直线 ac 与点 m，那么点m 为所求，过点 b

15、作 bex 轴于点 e 1 和 2 都是 3 的余角， 1=2rtaoc rtafb，由 a 1，0 ，b3， 0 ，c0，3得 oa=1 ，ob=3 ，oc=3 ，ac=， ab=4，bf=，bb=2bf=，由 1=2 可得 rtaocrtb eb，即be=，be=，oe=be ob=3=b点的坐标为， 设直线 bd 的解析式为y=k2x+b2k20 . . jz* ，解得，直线 bd 的解析式为：y=x+，联立 bd 与 ac 的直线解析式可得：，解得，m 点的坐标为， 方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函

16、数与圆的综合问题例 7： 如图，半径为 2 的c 与 x 轴的正半轴交于点a， 与 y 轴的正半轴交于点b， 点 c 的坐标为 1， 0 假设抛物线233yxbxc过 a、b 两点1求抛物线的解析式；2在抛物线上是否存在点p，使得pbo= pob ？假设存在，求出点 p 的坐标； 假设不存在说明理由；3假设点m 是抛物线在第一象限的局部上一点，mab的面积为s ，求 s的最大小值解析：1如答图1，连接 ob bc=2， oc=1 ob=413 b0，3将 a3，0 ，b0，3代入二次函数的表达式得393033bcc，解得：2 333bc，232 3333yxx2存在如答图 2，作线段ob 的垂

17、直平分线l，与抛物线的交点即为点p. . jz* b0，3 ，o0，0 ，直线 l 的表达式为32y代入抛物线的表达式，得232 333332yxx；解得1012x， p103122， 3如答图3，作 mh x 轴于点 h设 mmmxy， ，那么 s mab=s梯形 mboh+s mhas oab=12mh+ob ?oh+12ha?mh 12oa?ob=111(3)(3)33222mmmmyxxy=3333222mmxy232 3333mmmyxx，2 mab3332 33 3(3)22332mmmsxxx=2233 3339 3()22228mmmxxx当32mx时， mabs取得最大值，最

18、大值为9 38题型五：二次函数中的证明问题例 8：如图 11，二次函数)(2(481baxxy的图像过点a(-4，3， b(4，4). 1求二次函数的解析式：2求证： acb 是直角三角形；3假设点 p 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点p 作 ph 垂直 x 轴于点 h，是否存在以p、h、d 、为顶点的三角形与abc 相似？假设存在，求出点p 的坐标；假设不存在，请说明理由。解： 1将 a(-4，3， b(4，4)代人)(2(481baxxy中，整理得：. . jz* 32472-4baba解得20-13ba二次函数的解析式为：)20-13)(2(481xxy，整理得：整理040-613

19、2xx1320,221xx2由），（01320c -2，0 d 从而有： ac2=4+9 bc2=36+16 ac2+ bc2=13+52=65 ab2=64+1=65 ac2+ bc2=ab2故 acb 是直角三角形3设)65-814813(2xxxp，x0ph=65-8148132xxhd=x-1320ac=13bc=132当 phd acb 时有：bchdacph即：132-13201365-8148132xxx整理039125-4524132xx1350-1x13202x舍去此时，13351y），13351350(-1p当 dhp acb 时有：bcphacdh即：13265-8148

20、1313-13202xxx整理078305-81748132xx13122-1x13202x舍去此时，132841y），1328413122(-2p综上所述，满足条件的点有两个即），13351350(-1p），1328413122(-2p例 9： 在平面直角坐标系xoy 中，点 p 是抛物线： y=x2上的动点点在第一象限连接op，过点 0 作op 的垂线交抛物线于另一点q连接 pq，交 y 轴于点 m作 pa 丄 x 轴于点 a，qb 丄 x 轴于点 b设点p 的横坐标为m1如图 1，当 m=时，求线段 op 的长和 tan pom 的值；在 y 轴上找一点c，使ocq是以 oq 为腰的等腰

21、三角形，求点c 的坐标；2如图 2，连接 am、bm，分别与op、oq 相交于点d、e65-8148132xxx. . jz* 用含 m 的代数式表示点q 的坐标；求证：四边形odme 是矩形解析：1把 x=代入y=x2，得y=2， p，2 ， op= pa 丄 x 轴，pa mo tan p0m=tan 0pa= =设q n，n2 ， tan qob=tan pom ， n= q， ， oq=当 oq=oc 时，那么c10， ，c20， ；当 oq=cq 时，那么c30，1 2p m，m2 ，设qn，n2 ，apo boq ，得 n=， q， 设直线 po 的解析式

22、为： y=kx+b ，把 pm，m2 、q，代入，得：解得 b=1， m 0，1， qbo= moa=90， qbo moa mao= qob ， qo ma同理可证：em od又eod=90，四边形 odme 是矩形题型六：自变量取值围问题例 10：如图，在平面直角坐标系xoy 中，四边形abcd 是菱形，顶点acd 均在坐标轴上，且ab=5 ，sinb=1求过 acd 三点的抛物线的解析式；2记直线ab 的解析式为y1=mx+n ， 1中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c ，求当 y1y2时，自变量x的取值围；3设直线ab 与 1中抛物线的另一个交点为e，p 点为抛物线上ae 两点之间

23、的一个动点，当p点在何处时，pae 的面积最大？并求出面积的最大值解析：1四边形abcd 是菱形， ab=ad=cd=bc=5，sinb=sind=；rt ocd中， oc=cd?sind=4 ，od=3 ；oa=ad od=2 ，即：. . jz* a 2，0 、b 5，4 、 c0，4 、d3，0 ；设抛物线的解析式为：y=ax+2 x3 ，得：2 3a=4，a=；抛物线： y=x2+x+42由 a 2，0 、b 5， 4得直线ab：y1= x；由 1得： y2=x2+x+4，那么：，解得：，；由图可知：当y1y2时， 2x 53s ape=ae?h，当 p 到直线 ab 的距离最远时，s abc最大；假设设直线l ab，那么直线l 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点p；设直线 l：y=x+b，当直线l 与抛物线有且只有一个交