高中数学不等式知识归纳及常考题型

1、高中数学复习不等式一、不等式的性质及均值不等式1. 实数的三岐性：设r,那么 d>bu>d-bo； a = b a-b = q ； a<b<> a-b<0；2. 不等式的性质：对称性> b 0 b < a,(2)传递性:q > b,b > c => a > c;(3) 加法原理:a> b> a±c> b±c(4) 乘法原理 a > h,cac> be, >a > h,c <0 ac < he, < ;c cc c(5) 可加性:f>&qu

2、ot;=>a + c>b + d，(减法可以转化为加法來进行)c> da> b< d -c > -d d ci c > b d ;c<d(6) 可乘性:a > b > 0,c > d > 0 n ac > bd ;(除法可转化为乘法来进行)(7) 乘方原理:a > b>0=> a" > bn (n e n, n > 1);(8) 开方原理> ft > 0 => a >n ,n> 1);(9) 三角不等式|a|-|b|u0±b|s|a| +

3、 |b|，(其中左等号成立的充要条件是"50;右等号成立的 充要条件是>0;3. 均值不等式2 ,2(1) " +" >ab(a,be r当且仅当a = b时”才成立)2纟卫n 亦(a > 0" > o当且仅当a二b时成立)2(应用于求最值要注意三个条件:一正，二定，三相等缺一不可.(3)均值不等式的拓展：- <v<- < 尸+% > 0" > 0)j_ +£2 v 2a b4 典型例题例 1 .已知 a > b > 0, c v d v 0 求证:纟 v °

4、 v 0; cl c例2.若-<a<0比较1 + /与丄的大小;q + 1例3设/(x) = log v 3x + l,g(x) = 21ogv2 + h其中兀>0且"1,试比较/(劝和竝无)的大小.例4.设x > 0,y > 0,兀+ y = 1求丄+丄的最小值.* y例 6.已矢口 a > 0,b > o,a + b = 1 求证：(1 +)(1 + 丄)> 9 ； a b5. 巩固训练a组1. 下列推理正确的是()(a) ac > be a > b (b) a2 > b2 => a > b (c)丄

5、> 丄 a <b (d) yla < 4b =>«</? a b2. 已知a,b,c满足c<h< a且ac vo,那么下列选项中一定成立的是()(a) ab > ac(b) c(b 一 a) v 0(c) cb2 < ah2(d) ac(a 一 c) > 03. 若兀w (訂,l),a = nx,b = 21nx,c = in3兀则()(a)« <b < c(b) c < a<b(c)b < a <c44. 已知兀>1,贝ijf+4+ _ 的最小值为()jr -1(d)b

6、<c <a(a)2(b)6(c)8(d)95. 设a,bw r,己知命题p : a = b;命题今：s °,则#是q成立的()(a)必要不充分条件(b)充分不必要条件(c)充分必要条件(dm、充分也不必要条件6. 若d =也2, b = , c =也，则a, b, c三个数按从小到大排列为；2351 q7. 若% > 0, y > 0，且一+ = 1,贝i兀+ y的最小值为;8. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元/次.一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则兀二吨.b组1 .已矢口 0 v a v b v

7、 1,贝u log b,ah,logh a 的大小关系是;a2已知点(x, y)在直线兀+ 2y = 1上，则2 v + 4v的最小值是；3 .如果土 +纟> 2,则ab > 0且;b a4. 已知不等式a+y)(l + -)>9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值 兀 y为;5. 设数列仏中,=门2)= 2"若®比较/(咛')与/*)+ /(心 的大小;二不等式的证明及含绝对值的不等式1不等式的证明是不等式的难点z,证明的主要方法有:比较法，分析法和综合法.(1) 比较法:是证明不等式的最基本的方法，可分为作差比较法，作商比较法分析法:指

8、从证明的不等式出发r执果索因3从结论出发找命题成立的充分条件，育到找到明显 成立的不等式或己经证明的不等式为止,这种方法叫分析法.(3)综合法:从一个正确的不等式出发，根据不等式的性质及均值不等式对该不等式变形，直到得出 所求证的不等式为止，即''执因索果”注:除了以上方法外还有反证法,放缩法，数学归纳法，换元法，函数法与数形结合法等2. 含绝对值的不等式a (a > 0)(1)实数的绝对值的定义p/| = < 0(d = 0)；-a (a < 0)(2) 对a,berab = ub, f =其 h 0) b b对 xw r,ciw 疋有卜| v a o x，

9、< a2 -a < x < ar > d o x? > a2 o x > q或r < -a(4)含绝对值的不等式的定理的推广% +°2 + + % § g + 勺 + + an (hg n*)3. 典型例题例 1.已知r卜，且a + b = l,求证:处？ +b)“ >(ax + by)2例2.已知实数a,b,m,n其中m与n为正数+ >+ ”); m n m + n例 3.已知a,b,cw r，求证:jd，+/? + yh2 +c2 + 7c2 +a2 > 4(ci + b + c);例 4:若 p3 +q3 =

10、 2，求证:p + q 5 2例 5证明:+ £ + + *<；例 6(1)己知问 < 1,|/?| < 1 求证;| | > 1;(2) 求实数久的取值范围，使不等式匕尝 > 1对满足问< l,|b| < 1的一切实数a力恒成立;aa-b4. 巩固训练a组1. 不等式a>b,->同时成立的充要条件是()a b(a)a>b>0 (b)a>o>b(c)丄 v丄 vo(d)丄->0b aa b2. 设a > l,b > 1 且ab-(a + /?) = 1，那么()(a) a-b有最小值2(血

11、+ i)(b) a + b有最大值(血+1)2(c) ab有最小值(血+1)(d) ab有最小值2(v2 +1)3. 若 a",c > 0 且 a(a + b + c) + = 4 23，贝!j 2。+ 方 + c 的最小值为()(a)v3-1(b)v3+1(c) 23 + 2(d)2v3-24设实数兀,y满足x2+(y-l)2=l.若对满足条件的 m+y + ch0恒成立，则c的取值范围是()(a) v2 一 l,+oo) (b) (-oo,v2-1(c)v2 + l,+oo) (d) (-oo,v2 +15. 设 f(x) = lgx0<a<b< c 且

12、f(a) > /(c) > /(b),则下列结论中正确的是()(a) (a 一 l)(c-l)>0(b) de > 1(c) ac = 1(d) ac <16. 已知f +y2 =a,m2 + n，= b,其中为常数，则tnx + ny的最大值为；7. 设加w /?+且2 v " + "7，则a与b的大小关系为;a a + mb组1. 在(1) y = 2x ；(2) y = log2 x ;(3) y = x ;(4) y = cosx ,这四个函数中，当 0 v 兀< x2 < 1 吋，使于(匕2)> /3)7(勺)恒成立

13、的函数有;2. 设x > 0, y > 0,兀+ y = 1,则仮+ j7 5 a恒成立的a的最小值是;3. 设兀1,° =長一qx-,b二j兀+ 1 -仮,贝ij。与z?的大小关系是;4. 已知 a>0,b>0 且 a + b = l,x, yw /?,求证:(ax + by)(ay + bx) > xy5. 已知1 5兀2 +y2 52,证明：*</ +与+于5 3；? 2 16己矢口 a> h> c.a + b + c = ,a2 +/?2 +c2 = 3,求证:</? +(?< 337.已知 /(x) = x2 一2

14、兀 + 7 且卜v 3,求iie:|/(x)-/(m)| < 6制 + 158已知数列色中,色=2门,求证:去+玉+ +竺仝-丄(ne tv*)。3。"+12 3三、不等式的解法及不等式的综合应用1. 解不等式的过程实质上是一个等价转化的过程，最终都要转化为一元一次或一元二次不等式, 要掌握以下几类不等式解法(1) 一元一次不等式的解法；(2) 元二次不等式的解法；(3) 简单的高次不等式的解法；(4) 分式不等式解法；(5) 含绝对值不等式的解法；(6) 了解指、对数不等式的解法；(7) 了解无理不等式的解法；2. 不等式的综合应用(1) 不等式知识贯穿于高屮数学的始终，是构

15、建高中数学知识交汇点的一个典型平台。(2) 考查学生综合应用所学的数学知识，思想和方法解决实际问题的能力，需要依赖于不等式知 识。(3) 不等式的应用问题的常见形式：利用不等式知识求最值；不等式在方程函数中应用；不等式在几何问题中的应用；利用不等式知识解决实际问题；3. 典型例题例1若不等式x2 + ox +1 > 0对于一-切xw(o,丄成立，则实数a的最小值是()(a)0(b)-2(c)|(d)-3例2.解不等式4/ 一20兀+ 1.3x -5x + 4例3.解关和的不等式彰>1例4.若不等式4x-x2 > cue的解集为x|0 <x<4求实数a的取值范围例5

16、.关于兀的不等式|log, x| < 1在（丄,3）上恒成立，求实数d的取值范围例6解不等式卜一3| |x + l|vl例7坷,兀2，丁1，歹2是互不相等的实数，设j（"i +兀2）2 +（x +匕）2，b二jx： + j%； + y；,试比较q与b的大小例8.已知集合p =»,函数y = log2（a _2兀+2）的定义域为q（1）若p“qh0,求实数a的取值范围（2）若方程log2 s? - 2兀+ 2） = 2在*,2内有解，求实数。的取值范围4. 巩固训练1. 若不等式ax2hx + 2> （）的解集是11x<x<->123ja组则q

17、+ /?的值为（）(a)-14(c)10(d)142. 函数/(x) = = + lg(3x+l)的定义域是(a/1 x(a) (-1，+oo)(c)(-是)(b)(-*1)则(l-|x|)(1 + x) > 0的充要条件是(a)|x|<l(c)|x|>l(d)x v -1或一1 < x< 14. 若不等式卜-4|-卜-3|"对一切xg 7?!h成立，那么实数°的取值范围是()(a)d > 1(b)o v 1(c)o 5 1(d)d > 15. 设a = 兀一卜+1|52);b二仙兀彳+5% + 6no,则a与3的关系是；6. 方程

18、伙+ 1)，+2(2-幻兀+ 2£-4 = 0的一根大于3,另一根小于3,则实数k的取值范围是;7. 不等式乂乜2 0的解集是;x 38. 不等式(x2-2x- 3)(/ +心+ 4) v 0的解集是:b组1. 已知f(x) = ?u-°,贝怀等式xf(x) + x<2的解集是;-1(x< 0)2. 集合a = 彳兰吕<(), b = x|x-b|<a,若"a = l"是"af)bh0 "的充分条件，则q的取值范围可以是;3. 不等式|3x + 2|>|2x + 6/|对xw/?恒成立，则实数°的值为；4. 已知函数y = log2(/-2)的值域为l,log214,则函数的定义域为;5. 解关于兀的不等式lg2处-lg(d + q v 1 ；1 ?6. 已知函数f(x) = 一一 + -(x>0)a x判断/在(0,+oo)上的增减性，并证明你的结论；解关于兀的不等式f(x) > 0 ；若/(x) + 2x>0在(0,+oo)上恒成立，求a的取值范围罗疣他d