电磁场与电磁波期末复习要点

1、第一章 矢量分析山 A uueT、cosu ur A B u Au urA在B上的分量AbA COSiu irA BAb bexeyezAxAyAzBxByBzu ir ir ur A (B C) a(BC)B (Curir ur irur ir irA) C (A B)(标量三重积)，A (B C)ur it ur ur ur it B(A C) C(A B)标量函数的梯度求矢量的散度uu uex7uLr u uu ueq ez匚u A=V上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S上的面积分，即散度定理：itFdV ?F给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分ur r E dl，itrE

2、 dlCCExdx Eydy矢量场的散度在体积it udS，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。积分与路径无关就是保守场。如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果心0，那么该矢量可以由一个a 0,那么既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示;如果Ah0，那么该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果矢量函数的旋度表示。矢量的源分布为uA.证明U 0和A 0证明：解 1对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有8 u题1.27图Udi(A)gdS ?AgdlS1C1(A)gdS ?AgdlS2C 2

3、由于曲面S是任意的，故有(u) 0(2)对于任意闭合曲面S为边界的体积由散度定理有A)gdSg( A)d ?( A)gdS ( A)gdS (SS9其中s和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有由题1.27图可知Ci和C2是方向相反的同一回路，那么有所以得到)dA)£C2Fzz由于体积 是任意的，故有a A)o附：圆柱坐标系中：散度ur e旋度irezzFz1ltquu re旋度r sinuu er2 sinrFtrFrsinF球坐标系中:散度FLT1e (sin F ) rsinun i e (-(r2Fr) rur fe (一zlr sin(sinF )1r sin匚;丄【-

4、 sin匚(rF )頤 1 (rF )Fre-trr r第二章电磁场的根本规律 电荷守恒定律(电流连续性方程)u u积分形式：?J dSdtv dV微分形式:对于恒定电流场iuJ 0 恒定电流场是一个无散度的场电位移dTuroE(r)Pr麦克斯韦方程组uu r积分形式：? H dludSurdS微分形式:uu H媒质的本构关系:ur?CEur?SBLT?SDurELTDurDdludSudSLTDLTEB ur dS tdVuu H 电磁场的边界条件情况一：边界条件的一般形式uruir uur uuen (Hi H2) Jsuu(EiuurE2)uruuuu uuururen(B1B2)0 編

5、(DiD2)情况二：两种媒质都不是理想导体的边界条件uruiruuuuuuu nruuurruuuuuuuren(HiH2)0 en(Ei E2)0en(BiB2) 0(DiD2) 0情况三：理!想导体的边界条件ururuu uu uuuu uuuuuuenHiJsenEi0編Bi0enDiS第三章静态电磁场及其边值问题的解静电场的根本方程和边界条件根本方程iru积分形式D dS?SVitr?E dl 0dV微分形式urDu-IT(D =E 0urE)?静电场是有源无旋场?ur边界条件enuu nr(E1 E2)0in enuu(D1ULTD2)S标量电位满足的边界条件一般情况1 -1 22n

6、nS分界面上不存在自由面电荷S011 22nn常数0,导体外表上电位的边界条件假设第二种媒质为导体，到达静电平衡后导体内部的电场为ururE(r)urLTE(r)r(r)r(r)it it1E DdV -V2 V1" u 1 2 -D E E22 2LT ITH BdVVE EdV -E2dV2 V1 电场的能量W -e 2电场的能量密度We1 磁场的能量wm-2磁场的能量密度wm 1B H2 2 静态场的边值问题及解的 唯一性定理：在场域V的边界面S上给定 或的值，那么泊松方程或拉普n拉斯方程在场域V内具有唯一解. 镜像法：用位于场域边界外虚设的较为简单的镜像电荷来等效替代该边界上

7、未知的较为复杂的电荷分 布，在保持边界条件不变的情况下，将分界面移去，这样就把原来有分界面的非均匀媒质空间变换成 无界的单一媒质空间来求解.镜像法的理论依据：静电场解的唯一性定理 .应用镜像法的两个要点：1正确找岀镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小和符号，以满足边界 条件不变为其准那么；2注意保持待求解的场域称为有效区内的电荷分布不变，即镜像电荷必须 置于有效区之外.对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，假设夹角为uru 矢量磁位A:根据恒定磁场的无散度特征 B二一，那么所有镜像电荷的数目为2n 1个nur0可以用一矢量的旋度A来计算磁感应强ur uuur度B，BA，A即为矢量磁位u标量磁位

8、：在没有传导电流的区域J由于uuuuH 0，可引入标量磁位m使得H在恒定磁场分析中引入 A和 m的优点：在均匀、线性和各向同性的磁介质中，矢量磁位满足泊松方2AuuJ或拉普拉斯方程J 0时2 A 0 ；在均匀、线性和各向同性的磁介质中,标量磁位 m满足拉普拉斯方程镜像法例题：如题4.24 a图所示，在z 0的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为 h处有一点电荷q，求：1 z 0和z 0的两个 半空间内的电位；2介质外表上的极化电荷密度，并证明外表上极化电荷总电 量等于镜像电荷q。解i在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像 电荷替代介质分界面上的极化电

9、荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为如题 4.24 图b 、 c所示0qq，位于 z h00 q q，位于z h0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即p n R F20(EzE2z) z 00(；z°(0)hq22、3 22 (0)(r h )qqq10 11 40R 4 0R4 0,r2(z h)2°Jr2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即qqq12 4& 2 (0). r2(zh)22由于分界面上无自由电荷分布,故极化电荷面密度为极化电荷总电量为qRRdSr2 rdr(0)hqr32 dr00(r h )(0)q题 4.

10、24 图(a)第四章时变电磁场时谐电磁场IT riuuuF(r，t)exFx(：t)eyFy(r,t)IT ezFrz(r,t)ur r .Re exFxm(r)ejr(r)iur .eyFym(r)ery(r)irr /、+ezFzm(r)ejz(r) ej t=Re Fm(r)ejt()例题：(1)将下面的场矢量的瞬时值形式写为复数形式itE(z,t)urexExm cos( t kzurx)eyEym si n(kzy)解：由于LTUUE(z,t)exExm cos(t kzx)UUeyEym COS( tkzj ( t kz=Re exExmej(x)LUj( t kzey Eymey

11、 2)根据式子，可知电场强度的复矢量为Em(z)?Exmej( kz x)eXme"y T)Uj2(exExmeuuey jE ymey)e jkz?inExm和kz为实常数。写出电(2)电场强度复矢量 Em(z)=ex jExm cos(kzz)，其中场强度的瞬时矢量。解：根据式，可得电场强度的瞬时矢量LURe exExm cos(kzZ)ej(辽)uruc. tE(z,t) Re exjEXmCOs(kzz)ejH=exExm cos(kzz)cos( t -)2 坡印廷矢量：它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是就是 电磁能量传输的方向U IT

12、UUS E H单位瓦特每平方米(描述电磁能量传输的物理量)uur 平均坡印廷矢量：在时谐电磁场中，一个周期T内的平均能量密度矢量 Sav 即平均坡印廷矢量1 ur uu Re E H2ulu 1 t uLnuuu为Sav -o SdT厂0 SdT，用复矢量来计算那么为Sav关于坡印廷矢量的例题第五章均匀平面波在无界空间中的传播 理想介质中的均匀平面波的传播特点：1是一个横电磁波TEMI波电场E和磁场H都在垂直于传播方向的横向平面内，且存在以下关系uu 1 uu ur u 式HenE或Eur H(2)在传播过程中,电场(3)电场E和磁场H同相位E和磁场H的振幅无衰减，波形不变化。urEuuH是实

13、数(4)波的相速vp1只与媒质参数厂有关，与频率无关，是非色散波(5)电场能量密度等于磁场能量密度弱导电媒质满足条件1此时Np/mrad/mj 2厂Vp(2)良导体满足此时Vp2J (1 fc 电磁波的极化：波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度 矢量的端点在空间描绘岀的轨迹来描述.极化的三种状态：一般情况下，延z方向传播的均匀平面波的电场可表示为iruruuEOx Exm COS t kz X eyEym COS t kzy(1)直线极化直线极化的条件：y % 0或极化角：=arcta nEyExarcta n(Eym )Exmconst(2)圆极化圆极化

14、的条件：ExmEymEm , yx2合成波电场强度的大小：EEl E2 eycon st极化角：arcta n(Ey)xt2时，为左旋圆极化波；当2时，为右旋圆极化波当y x(3)椭圆极化(4)当和不满足上述条件时，就构成椭圆极化波。直线极化和圆极化都可以看做椭圆极化的特例。 色散：在同一种导电媒质中，不同频率的电磁波的电磁波的相速是不同的，这种现象称为色散。例题:第六章 均匀平面波的反射与透射电磁波对分界面的垂直入射(1)对理想导体平面的垂直入射：媒质一为理想介质，媒质二为理想导体，那么2c 0,1,0，即产生全反射，媒质一中的何成波为驻波。uuEr(z)urexj2Em sin 忆uu巳u

15、uEi(z)ULTULTuuruu 2HOHi(z)Hr(z)eyEim cos 1Z1合成波的特点：ZnL(n 0,1,2,L )处为合成波电场的波节点和合成波磁场的波腹点;z(2n(n 0,1,2L )处为合成波电场的波的波腹点和合成波磁场的波节点；4E1禾口 H 1的驻波在时间上有的相移，在空间分布上错开 一。24(2)对理想介质分界面的垂直入射反射系数和透射系数为实数，媒质一中的合成波中的电场为ur urEX z) =exEm( e J lZ j2 sin 忆)合成波电场的最大值:出现位置：Zmax驻波系数(驻波比)LTEi(z)max(2n 1)S=maxE minEm(10(n=0

16、,123 ,)0平面波对介质分界面的斜入射(1 )斯耐尔反射定律 斯耐尔折射定律 也，sin 2k2n2式中,n1r1 r1、V1n2一V2(2)反射系数与透射系数a)垂直极化入射2 cos i1 cos t2 cos i1 cos tr2 r2分别为介质1和介质2的折射率.b)平行极化入射1 COS i 2 cos tPP1 cos i 2 cos t(3) 全反射k2临界角 c arcsin()发生全反射的条件：厲发生全反射时P上呈指数衰减，形成外表波。(4) 无反射布儒斯特角 b arcta n2 2 cos i且12 cosi 1 cos t2 2cos i且11PP1 cos i2

17、cos t2arcs in()n1n2且i1透射波沿分界面方向传播，透射波的振幅在垂直于分界面的方向发生无反射的条件：在12的条件下，当ib时平行极化波无反射。反射波中只包含垂直极化分量。例题：第七章导行电磁波 导行电磁波的三种模式根据纵向场分量Ez和Hz存在与否，可将导波系统中的电磁波分为三种模式:1横电磁波TEM：Ez 0、Hz 0传播常数TEMjk j相速度波阻抗2横磁波TM：EzVpZTEMExHy0、Hz 0Ez满足标量波动方程占 kc2Ez 0y其传播条件fc 2kc工作频率大于截止频率传播常数jk 1 (；)2波导波长相速度Vpv(fc)2波阻抗ZTMExHyEH3横电波TE:

18、Ez0、H%Hz满足标量波动方程 22kc2H z 0x y其传播条件f工作频率大于截止频率2 <传播常数、波导波长、相速度与上面的相同波阻抗ZteExEyHyTE波平行双线，同轴线这一类能建立二维静态场的导波系统，可以传输TEM波；空心波导只能传输TM波. 矩形波导中波的传播参数在空心波导中，能传输的模式应满足的条件是小于该ffcmn或cmn，即工作频率f高于该模式的截止频率fc mn 或工作波长模式的截止波长截止频率f c m nn 2b截止波长c mn丄2 +2a b波导波长1 ；2相速度Ex Hy波阻抗EHxExHy2a.矩形波导中的主摸：截止波长最长的模式称为主模， 矩形波导中的主模是 TE10模，其截止波长为矩形波导中TE10模相应的传输功率为2ZtE10 0b 2 20Emsin (严yab e2Em4ZTEi°例题:第八章电磁辐射电偶极子的辐射：在电偶极子激发的电磁场中,krr = 1的区域称为近区，其中的电场、磁场分布与静态电场、磁场分布相同，此区域的场称为感应场Er.II COSLJrE.Il sinJ47II sin4 r2krr ? 1区域的场称为远区场，又称为辐射场。此区域的电场、磁场分别为 Il 0JkrII kjkrj