可靠性试验分析与设计4

1、试验设计与分析ji第四章(44) 可靠性试验与设计四、最小二乘法 用图估法在概率纸上描出点后,凭目视作分布检验判别所作的回归直线往往因人而异，因此最好再通过数值计算求出精确的分布检验结论和求出数学拟合的回归直线。通常用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线。相关系数由下式求得：其中X,Y是回归直线的横坐标和纵坐标，它随分布的不同而不同。下表是不同分布的坐标转换 不同分布的坐标转换分布类型mB指数分布0威布尔分布m正态分布对数正态分布一般，的取值在01之间，越接近1，说明变量的线性关系越密切。只有相关系数大于临界值时，才能判定所假设的分布成立。临界系数可查相应的临界相关系数表，如给定显著水平

2、，n=10,可查表得。若计算的，则假设的分布成立。 如果回归的线性方程为 则由最小二乘法得到系数为代入上表中的不同的分布，就可以得到相应分布的参数估计值。五、最好线性无偏估计与简单线性无偏估计1、无偏估计不同子样有不同的参数估计值，希望在真值附近徘徊。若，则为的无偏估计。如平均寿命的估计为 ，是否为无偏估计？ 为的无偏估计2、最好无偏估计定义若的方差比其它无偏估计量的方差都小，即，则为最好无偏估计。3、线性估计定义若估计量是子样的一个线性函数，即，则称为线性估计。4、最好线性无偏估计当子样数时，通过变换具有形式的寿命分布函数，其的最好线性无偏估计为：其中分别为的无偏估计，有了后，可有专门表格查

3、无偏系数。常用的寿命分布均可通过下表转换为分布转换表分布类型X指数分布t0极值分布t正态分布t威布尔分布lnt对数正态分布lnt表中为m的修偏系数，可根据子样数n和截尾数r查可靠性试验用表得到。5、简单线性无偏估计当时，简单线性无偏估计的方法具有计算简单，估计精度高的特点，适用于大子样，对具有形式的分布参数的简单线性无偏估计值为： 式中： ，0.892n表示整数部分，是的无偏系数。、可按子样数n与截尾数r从可靠性试验用表中查出。是定数截尾时的次序统计量。是标准极小值分布容量为n的子样中第s个次序量的数学期望值，同样可查简单线性无偏估计表得出。§4.3.2 分布参数的区间估计简介点估计

4、中给出的是参数的一个估计值，不同样本的点估计值一般是不同的。同一样本不同点估计量估计出的点估计值也不同，因此点估计是一个随机变量，它有一定的变动范围，因此应该将与间的误差大小考虑进去，所用的方法就是给出参数的估计区间。在这个区间中包含有真值是有一定概率的。因此给出的区间是在一定的置信水平要求下的曲线，称其为置信区间，即： （*）分别为置信下限和置信上限，为置信水平或置信系数。是不包含真值的概率，称为风险度（显著水平）。 (*)式为双侧置信区间，而 分别表示单置信区间。可靠性分析中，通常对单侧置信下限更感兴趣。求未知参数的置信区间必须掌握样本函数的分布，其计算也较点估计复杂和困难。一 指数分布的

5、区间估计可以证明，对指数分布，其统计量是服从自由度z的分布：S(t)是总的试验时间，是平均寿命的真值，z是分布的自由度，由不同截尾寿命试验方法的故障数r确定。在给定置信度下，双侧置信区间有： 其中： ，单侧置信下限为：，为双侧置信系数，为单侧置信系数。可见下表。 置信系数公式置信限定数截尾定时截尾双侧单侧例。有20件产品进行可靠性试验，试验在100h截尾，观测到故障次数为7次，试验的总时间为3020h，试计算：(1) 单侧90置信系数；(2 )双侧90置信系数。解：(1). 单侧90置信系数(2) .双侧90置信系数 二 二项分布的区间估计 二项分布常用于计算冗余元件相同、并行工作冗余系统的成

6、功概率。它也适用于计算可靠性依赖于时间的元件、一次性使用的设备（多级导弹分离器、闪光灯和一次使用的工作元件）的失效概率，也适用于计算那些只要求工作一段时间而不再使用诸如导弹发动机、短寿命的电池等一次使用的工作设备的可靠度。其失效概率是个常数。对于成败型产品在n次试验中故障r次数的概率可用二项分布描述，其可靠度置信下限由下式表示：n被试样本数，r故障数，产品可靠度的下限，可这样解释：若产品可靠度太低，则试验中出现r个或比r个还少的事件的可能性是不高的，或者说R不会低于使“出现r次和r次还少的事件”成为小概率事件。因为当为小概率时，为置信度，上述公式限制了产品的可靠度应为下限，所以： 可查<

7、<可靠性试验用表>>，在n次试验中如果故障为零时，则如：20只产品试验，故障数，置信度0.95时的可靠度下限为：三、正态分布的区间估计若可靠性寿命试验得到n个部件的寿命数据，且利用点估计方法得到，由数理统计理论，可知统计量分布，这里是自由度n-1个的t分布，因此得到： 从而得参数的置信区间： ， 通常对对单侧置信的下限更感兴趣，故用下式得到平均寿命的下限：四、威布尔分布的区间估计这里只介绍采用极大似然估计时，两参数威布尔分布的区间估计，它适用于完全样本及定数、定时试验子样。设通过极大似然估计得到两参数威布尔分布参数的点估计。1 参数m的点估计在置信度时，参数m的置信区间为：式

8、中，2 参数的估计在置信度时，参数的置信区间为： 分两种情况（(1).rn，完全样本， (2).r<n，截尾样本），首先计算以下常数：，(1).当r<n时，计算常数 式中：为正态分布分位点， 代入即为置信区间。(2).r=n时， ，即为t分布自由度为n-1的分位点，则：，代入即为置信区间。§4.3.3 非参数估计 前面讨论的几种参数估计的方法的特点是：均已知产品母体的寿命是属于某一种分布,这个分布由一个或几个参数确定。这样的统计问题就是参数估计问题，这种统计方法就是参数统计方法。但是实际工程中会碰到这样一种问题，要想了解某产品的寿命特征量，但并不知道该产品的寿命分布，仅知

9、道它是一种连续的或离散的寿命分布，这种分布有那几种参数也不了解，这种统计问题就是非参数统计问题。而对于非参数统计问题提出的方法，就称为非参数统计方法。前面讨论的极大似然估计方法都必须知道寿命属于那一种分布，都是参数统计问题。非参数统计中，由于对母体了解甚少，母体的信息少于参数估计，因此在统计中只能作一般性的限制，譬如是边缘分布这样的限制。基于这样较弱的限制，因此一个非参数估计问题就可能涉及许多性质很不一样的分布，从而可能降低了效率，精度也差，这是非参数估计的缺点。因此在实际使用时，如果能知道寿命分布类型，尽量选用参数估计，当母体信息知道不多时，如连寿命分布类型都布了解，则可用非参数估计方法。设

10、随机抽取n台产品，作无替换定时截尾寿命试验，试验到预先规定的时间t停止。在t以前的失效产品数为r,在此假设下，可得到下列结论：1、 置信水平为时，可靠度R(t)的单侧置信下限为 其中是自由度为2r+2,2n-2r的F分布的1下侧分位数，可查F表得到。2、 置信水平为1时，可靠度R(t)的双侧置信区间为（）其中 置信上限 置信下限 称为“非参数置信区间”。§434现场寿命数据处理从产品的使用中获取寿命数据是一种经济的方法，而且更符合实际情况。但现场数据具有随机截尾的特点，所以需要对现场采集的数据进行处理，下面介绍几种方法。一 秩次增量法以一个不完全寿命试验为例加以说明。不完全寿命试验：

11、不是试件都试验到故障，而是部分试验到故障，另一部分试验未到故障就停止试验，后一部分的数据虽然不能作为故障处理，但它们对前部分故障数据的秩次是有影响的。例：在某轴承中随机抽了6个试件进行寿命测试，其中3个到达故障，另3个中途停止试验，用故障件寿命以表示，中途停止试件的已试时间如， ， 对故障数据排序：，肯定是6件中寿命最短者，其秩为1。，难定，若的寿命在之间，的秩次为3，而之间有种排法。 若，的秩为2，而之后有种排法。因此可以看出，有6种排法使排为3，有24种排法使排为2，于是可计算的平均秩次：同理可以排出的秩次：排第3，有6种排法。排第4、5、6，有8种排法。于是计算的秩次平均值：于是我们就得

12、出的秩次相应为1，2.2，4.6。利用中位秩方法得到故障试件的累积故障率：，为试件数。于是有：，。有了三组数，可用图估法进行分布检验和对多种可靠性指标进行估计。实践表明，上述方法对n较大是相当麻烦的。下面介绍一种直接求得试件秩次的公式：式中，n为试件数，第k次故障数据的总排秩次，为秩次增量。为平均秩次上例计算中， ， 1.2， ， 与前面排序完全一样。这里注意的是取时，均是取长寿命的排序，如中为3，不是2，中取。如故障数据之间无截尾数据时，则有，这时，。利用上式再做一个例子。例：试汽车某种零件的寿命，有7500辆在外运行，已有46辆报告有零件故障，以及知道故障前行驶公里，对未故障零件的也知道行

13、驶公里数，具体为：序号行驶公里(km)故障零件（件）未故障零件（件）10100019253021000200011148032000300077114300040005605540005000493665000以上01192 解：利用，公式计算。在第一段中，行驶1000km，已有19个零件故障，2530个未故障，2530个可以看作截尾数，相当于出现19个故障零件的排序开始。总车数7500辆对应的故障概率：， 同样计算可得：（403025301480191）（25301480711191114752）通过五组数据可用图估计法对分布进行检验及对参数和可靠性指标进行估计。二 夭折试验法试件全部故障的

14、试验要花费很多时间，这些对于抢时间的任务是不合算的。对于总体寿命是威布尔分布的产品，有一种称为夭折寿命试验的方法可以较大地缩短寿命试验时间。从一批试样中，随机均分若干组（组的数量应大一些）进行试验，每组产品中当出现头一个故障即停止试验。这样每组得到一个最短寿命，称为该组的“夭折”寿命，各组夭折寿命组成的集合是受试产品母体中的子总体。两个总体之间存在一定关系：(1). 认为夭折寿命分布仍是威布尔分布，其形状参数与母体相同。(2).夭折寿命的特征寿命参数与母体特征寿命之间为。（证明略）。下面举一个例子说明具体的做法。例：一批机械零件，随机抽取40个试件，再随机分五组进行夭折试验，各组所得夭折寿命依

15、次为70h、15h、120h、26h、60h，经秩次排列，并算出相应的故障概率如下表：秩次夭折寿命故障概率11512.70%22631.40%36050.00%47068.70%512087.30%上述故障概率使用中位秩法计算得到。把上面5组数据在威布尔概率纸上进行图估计，估计出夭折寿命分布参数，然后推算母体特征寿命： 倍，完全寿命试验是夭折寿命试验的5.66倍。下面一例说明，如何用夭折寿命试验方法解决现场数据处理问题。 例：试验汽车的某个零件寿命。在野外运行着1000辆汽车，假设已有10辆报告行使到一定距离后此零件坏了，具体数据为330km, =650km, =750km, =1040km, =1400km, =1800km, =1950km, =2100km, = 2700km, =4200km. 零件还未损坏的990辆的汽车究竟行使了多少公里是未知的。试用夭折寿命试验方法估计寿命的分布参数。 解：为了便于用夭折寿命试验方法进行处理，先把零件未坏的990辆车均分为11组，设每组90辆车的行使距离分别在零件已坏的