因式分解的常见变形技巧

1、因式分解的常见变形技巧技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指点迷津y-x= -(x-y)体验过程原式 =(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 1分解因式： -a 2-2ab-b 2实践详解各项提出符号，可用平方和公式.原式 =-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b2)= -(a+b)2技巧二系数变换有些多项式，看起来可

2、以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题 2分解因式 4x 2-12xy+9y 2体验过程原式 =(2x) 2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x -3y)2小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 2分解因式1 x2xyy2439实践详解原式 =(x ) 2 +2.xy +(y ) 2=(x +y )223323技巧三 指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题 3分解因式 x4-y 4指点迷津把 x2 看成 (x 2)2, 把 y4 看成 (y2) 2, 然后用平方差公式。体验过程原式

3、 =(x 2) 2-(y2) 2=(x 2+y2)(x2-y 2)=(x 2+y2)(x+y)(x-y)小结指数变化常用于整式的最高次数是4 次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题 3分解因式 a 4-2a 4b4+b4指点迷津把 a4 看成 (a 2) 2， b4=(b 2) 2实践详解原式 =(a 2-b 2) 2=(a+b) 2(a-b)2第1页（共 4页）技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试

4、：22a +2a+b +2b+2ab。然后分组。体验过程原式 = a 2+2a+b2+2b+2ab= a 2+ b 2+2a+2b+2ab= a 2+ b 2+2(a+b+ab)小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，当于重新分组。实践题 4x(x-1)-y(y-1)指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。实践详解原式 = x 2-x-y 2 +y=(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)技巧五 拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为

5、困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题 5分解因式 3a3-4a+1指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4 ，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。体验过程原式 = 3a 3-3a-a+1=3a(a 2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常数项，将1 拆成 4-3。原式 =3a3-4a+4-3=3(a 3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3

6、a2+3a-1)小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1 ，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题 5分解因式 3a 3+5a2-2指点迷津三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2 后。下一步没法进行了。所以我们将5a2 拆成 3a2 +2a 2, 化为 3a 3+3a2 +2a2-2.实践详解原式 =3a3+3a2+2a2-2=3a 2(a+1)+2(a 2-1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a 2+2a-2)技巧六添项变换有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，

7、我们就添一项然后去一项第2页（共 4页）凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。体验题 6分解因式 x2+4x-12指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程原式 = x 2+4x+4-4-122=(x+2) -16=(x+2) 2 -4 2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题 6分解因式 x2-6x+8实践详解原式 =x2-6x+9-9+8=(x-3) 2 -1=(x-3) 2 -1 2=(x-3+1)(x-3-1

8、)=(x-2)(x-4)实践题 7分解因式 a4+4实践详解原式 =a4+4a2+4-4a 2=(a 2+2) 2-4a 2=(a 2+2+2a)(a 2+2-2a)=(a 2+2a+2)(a 2-2a+2)技巧七 换元变换有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x 2+5x+4)(x

9、 2+5x+6)+1*令 x2+5x=m.上式变形为 (m+4)(m+6)+1第3页（共 4页）2=m+10m+24+1=(m+5) 2=(x 2+5x+5) 2* 式也可以这样变形，令 x2+5x+4=m原式可变为：m(m+2)+12=m+2m+1=(m+1) 2=(x 2+5x+5) 2小结换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4 与 x2+5x+6 就有相同的项x 2+5x. ，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。实践题 8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9指点迷津将 x(x+5) 结合在一起，将(x+2)(x+3)结合在一起 .实践详解