《直角三角形的边角关系》答案

1、直角三角形的边角关系复习提纲一,.锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，C=90° 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即 锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即例：（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是 （ ） A.+1 B. +1 C. 2.5 D.【

2、解析】注意折叠后两点对称，也就是说ABE和AEF都是等腰三角形。得到67.5°的角为FAB。【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tanFAB=+1=tan67.5°.选B。【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。二,特殊角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。例1:（2012，湖北孝感，14，3分）计算：cos245°+tan30°·sin60

3、°=_【解析】分别把cos45°=的值，tan30°=的值，sin60°=的值代入进行计算即可答案=1。【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主牢记特殊角的三角函数值是解题的关键例2:（2011甘肃兰州，21，7分）已知是锐角，且sin(+15°)=，计算的值。【答案】由sin(+15°)=得=45°,原式=三， 解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在RtABC中，C=90°，A、B、C所对的边

4、分别为 。（1）三边之间关系： （2）锐角之间关系：A+B=90°（3）边角之间关系： , , （4）面积公式： （5）同角的三角函数的关系:sinA2cosA21 ; tanAcotA1 ; tanA ，cotA （6）互为余角的函数之间的关系 sin(90°A)cosA， cos(90°A)sinA， tan(90°A)cotA， cot(90°A)tanA 在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：在RtABC中，C=90°已知选择的边角关系斜边和一直角边

5、由，求A；B=90°-A，两直角边由，求A；B=90°-A，斜边和一锐角B=90°-A；一直角边和一锐角B=90°-A；，注意： (1)选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。

6、（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。CBA图1例1:（2012四川内江，11，3分）如图1所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( )AB C D【解析】欲求sinA，需先寻找A所在的直角三角形，而图形中A所在的ABCCBA图2D并不是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接CD（如下图2所示），恰好可证得CDAB，于是有sinA例2:（2011湖北荆州，8，3分）在ABC中，A120&#

7、176;，AB4，AC2，则的值是（ ）ABDC42ABCD【解析】如图，作,延长BA，过点C作BA的垂线, 交BA的延长线于点D, ,，,答案选D.例3: (2012重庆，20，6分)已知：如图，在RtABC中，BAC=90°，点D在BC边上，且ABD是等边三角形。若AB=2，求ABC的周长。（结果保留根号）【解析】由ABC是直角三角形和ABD是等边三角形，可求出C=30°,利用三角函数可求出答案。【答案】ABD是等边三角形B=60°BAC=90°C=30°sinC=BC=4, cosC= AC=BC·cosC=2 ABC的周长是6

8、+2例4:（2012江苏淮安，24，10分）如图，ABC中，C=90º，点D在AC上，已知BDC=45º，BD=10，AB=20求A的度数 【解析】先根据锐角三角函数的定义，在RtBDC中求出BC的值，再在RtABC中利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【答案】解：在RtBDC中，因为sinBDC=，所以BC=BD×sinBDC=10×sin45º=10×=10在RtABC中，因为sinA=，所以A=30º四、锐角三角函数及解直角三角形的实际应用（难点）解直角三角形，可将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边

9、、角）之间的关系.一般有以下几个步骤：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系，细心推理计算。1, 锐角三角函数计算的实际应用仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。例:（2012山西，23，9分）如图，为了开发利用海洋资

10、源，某勘测飞机预测量一岛屿两端AB的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端AB的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）解：如下图,过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90°，四边形ABFE为矩形AB=EF，AE=BF由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米 2分在RtAEC中，C=60°，AE=100米CE=（米） 4分在RtBFD中，BDF=45°，BF=100DF=10

11、0（米） 6分AB=EF=CD+DFCE=500+100600×1.7360057.67542.3（米） 8分答：岛屿两端AB的距离为542.3米 9分【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可，解决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉的特殊图形进行计算难度中等2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是： .注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，

12、坡度为 ，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。ABC3018例1.（2012湖北咸宁，12，3）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点 为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm【解析】如图，过点B作BDAC于D，依题意可求得AD60cm，BD54cm；由斜坡BC的坡度i1：5，求得CD270cm，故ACCDAD27060210（cm）【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用：坡度问题此题难度适中，注意掌握坡度的定义、数形结合思想的应用与辅助线的作法例2. （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一

13、”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°,.已知A点海拔121米，C点海拔721米.（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度.【解】（1）如图所示，过点C作CFAM，F为垂足，过点B作BEAM，BDCF，E、D为垂足.在C点测得B点的俯角为30°，CBD=30°，又BC=400米，CD=400×sin30°=400×=200（米）.B点的海拔为721200=521（米）.

14、（2）BE=521121=400（米），AB=1040米，（米）.AB的坡度=1：2.4，所以斜坡AB的坡度为1：2.4.O3,方向角的定义方向角：方向角是以观察点为中心（方向角的顶点），以正北或正南为始边，旋转到观察目标所形成的锐角，方向角也称象限角。如图，目标方向线0A、0B、0C的方向角分别为北偏东15°、南偏东20°、北偏西60°。其中，南偏东45°习惯上又叫东南方向，同样，北偏西45°又叫西北方向。如OE的方向角为南偏东45°，OG的方向角为南偏西45°，那么，G、E可以说在O的哪个方向呢？由方向角的定义可知，G在

15、O的西南方向，E在O的东南方。例1.（2012连云港，24，10分）已知B港口位于A观测点北偏东方向53.2°，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C 处。现测得C处位于观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1km）.(参考数据：sin53.2°0.80，cos53.2°0.60，sin79.8°0.98，cos79.8°0.18，tan26.6°0.50，1.41，2.24)【解析】过点B作AC

16、的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用RtABH和RtBCH求线段AH、CH的长，利用AHCH确定AC的长。【解】BC=40×=10.在RtADB中，sinDAB=, sin53.2°0.8。53.2°16km79.8°所以AB=20.如图，过点B作BHAC，交AC的延长线于H。在RtAHB中，BAH=DACDAB=63.6°37°=26.6°，tanBAH=,0.5=,AH =2BH.BH2CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8，在RtAHB中，BH2CH2=BC 2，CH=所以AC=

17、AHCH=82613.4km.【点评】本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函数求出线段的长。五,测量物体的高度1, 测量底部可以到达的物体的高度（重点）简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成。如图。使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：(1)把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置。（2）转动转盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数。此度数就是测点相对于被测点的仰角或俯角。说明：（1）所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。（2）测量步骤如图（测量物体

18、MN的高度）：在测点A处安置测倾器，测得M的仰角MCE=；量出测点A到物体底部N的水平距离AN=；量出测倾器的高度AC=（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）。（3）物体MN的高度 = 。图5CDABOE例1：（2012湖北襄阳，10，3）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（ ）A(41.6)m B(121.6)m C(41

19、.6)m D4m【解析】如下图，过点A作AFCD于F，则AFBD12m，FDAB1.6mAOBEDCF再由OECF可知CAOE60°所以，在RtACF中，CF4，那么CDCFFD(41.6)m【答案】A【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力，能将对应线段和角之间的关系理清2,测量底部不可以到达的物体的高度（难点）（1）所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离。（2）测量步骤（如图。测量物体MN的高度）：在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE=；在测点A与物体之间的B处拟制测倾器（A、B与N在一条

20、直线上，且A、B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角MDE=；量出测倾器的高度AC=BD=，以及测点A、B之间的距离AB= 。（3）物体高度MN=ME+EN= 米。提示：测量底部不可以到达的物体的高度，求解时常要解两个直角三角形。例1：（2012山东青岛，20，8）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）

21、. （参考数据：sin22°，cos22°，tan22° ）【解析】（1）过点D作DMAB，若假设AB=x米，可表示出AM、ME的长，然后在RtAEM中，利用22°正切建立关系式来解.（2）根据（1）求出ME的长，再RtAME中，可求得之间的距离.【答案】解：过点E作EMAB，垂足为M.设AB为x.RtABF中，AFB=45°，BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13在RtAEM中，AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，tan22°= ，=，x=12.即教学楼的高12m.由（1）可得ME=BC=x+13=1

22、2+13=25.在RtAME中，cos22°=，即之间的距离约为【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键例2：（2012湖北随州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（，结果精确到米）。【解析】设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组求得两山

23、峰高度。答案：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有（米） （米）【答案】太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。【点评】本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题例3：（2012四川省资阳市，20，8分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD10米求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）【解析】解：连结PA、PB，过点P作PMAD于点M；延长BC，交PM于点N，则AP

24、M=45°，BPM=60°，NM=10米1分设PM=米在RtPMA中，AM=PM×tanAPM=tan45°（米）3分在RtPNB中，BN=PN×tanBPM=(10)tan60°(10)（米）5分由AM+BN=46米，得 +(10) 466分解得， ，点P到AD的距离为米（结果为米也可）8分【答案】（结果分母有理化为米也可）【点评】本题综合考查了直角三角形中的三角函数、特殊角的三角函数值及构造出的方程思想.解决本题的关键是作垂线构造出直角三角形从而再运用三角函数解题.难度中等.例4：(2012广安,23，8分)如图(1)，2012年

25、4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60o方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民。此时，C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1)（参考数据：1.41，1.73，2.45）思路导引：构造直角三角形，便于运用题目中的特殊角的三角函数值，解直角三角形问题解析：如图(2),过点A作ADBC，交BC 的延长线于点D，根据题意得出DAC=45°，DAB=60°，(2)ADBC，sinDAC=，cosDAC=，cosDAC=,即是tan45°=,CD=10, cos45°=,AD=10×=,tan60°=BD=×=BC=5.20（海里），中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地所需时间是（时），某国军舰以每小时13海里的速度向正西方向的C地所需时间是=（时），因为，所以中国海监船以每小时30海里的速度赶往C，能及时救援我国渔民. 点评：结合图形信息解直角三角形问题，注意转化方法的运用，即是构造直角三角形，灵活运