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1、 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 机动 目录 上页 下页 前往 终了 无穷小与无穷大当定义定义1 . 假设假设0 xx 时 , 函数,0)(xf那么称函数)(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小 .时为无穷小.)x(或机动 目录 上页 下页 前往 终了 阐明阐明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 由于0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时, 0)(xf显然 C 只能是 0

2、 !CC0 xx 时 , 函数,0)(xf(或 )x那么称函数)(xf为0 xx (或 )x那么时的无穷小 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 其中 为0 xx 时的无穷小量 . Axfxx)(lim0 Axf)(,证证: :Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 Mxf)(定义定义2 . 假设任给假设任给 M 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有那么称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对使对.)(lim0 xfxx假设在定义中将 式改为Mxf)(那么记作)(

3、lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 前往 终了 1. 无穷大不是很大的数, 它是描画函数的一种形状.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 前往 终了 11lim1xx证证: 任给正数任给正数 M ,要使,11Mx即,11Mx只需取,1M那么对满足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假设 ,)(lim0 xfxx那么直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线 .渐近线1阐明阐明:xyo机动 目录 上页 下页 前往 终了 假设)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小 ;假设)(xf为无穷小, 且,0)(xf那么)(1xf为无穷大.那么(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.

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