因式分解难题解析

1、因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：n nn-1 n-2n-2n-1 、a -b =(a-b)(a +a b+ +ab +b )am +bm=(a+b)(am-1-am-2b+ -bm-2a+bm-1)(m 为奇数)下面精选了十个实例进行讲解。32222201 x -xy +xz-xz -2xyz+y z+yz分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组。322222x -xy +x z-xz -2xyz+y z+yz322222=x -xy -xz +yz +x z-2xyz+y z2 2 2 2

2、2=x(x -y )-z (x-y)+z(x -2xy+y )=x(x-y)(x+y)-z2(x-y)+z(x-y)2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此题若不进行科学分组会很困难。02 x2 2xy-8y2 2x 14y-3分析：此题一看就应该知道用双十字相乘法分解。解：x y常数项14 -11-232 2x 2xy-8y 2x 14y-3=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后 再看x、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业： a3bab3 a2 b2 1提示：先分组再变形最后用十字相

3、乘法。原式 =ab(a -b ) (a b )1 = ab(a b)(a -b) (a b )1222229二(a -ab)(ab b ) (a b ) 1 = (aab 1)(ab b 1)难度较大。 xy y2 x _ y _ 2提示：x2的系数看成0,然后再用双十字相乘法。xy11 2011原式=(x + y 2) (y + 1)也可用分组法，以x为主元。03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：这个题目一看，映入眼帘的就是 3个括号。瞧瞧括号里的b+c 、c-a 、a+b，看看这3项是否有某种联系 前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。所以，这

4、个题目中的第1项如果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第3项会是不坏的注意。解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)作业： x335x642 x 51x 1432 x 2 x x 3提示：需要拆分分组。04 2X47x - 2x213x6分析：拿到这道题，一看便知，这是高次，且包含多项的多项式。另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有（2x

5、4-2x2） +（ 7x3-13x+6）不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。这样，接着 2x2（x2-1）+7x（x2-1）-6（x-1）至此对后的分解就不在话下了。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为 0，这意味着x=1是它的根，根 据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照 x-1的思路。作业：x3 +2x 2 -5x-6提示：当偶次项的系数和（2+（-6） =-4）等于奇次项系数和（1+（-5） =-4）时, 就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。05 2 x4X36x2X 2分析：拿到这个题目，一看就觉得有某种对称关系：2x4与

6、2，-x3与-x，系数分别相等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：2xJ x 6x2 x 2=(2x4 2) ( x' x) 6x2=2(x4 1)- x(x2 1) - 6x2到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现 x4+1与x2+1 长得挺像，一定有某种因缘。令y = x2 1,所以有 x4+1=y2-2x24这里采用换元法，x2+1看成y。原式=2y2 -xy-10x2 =( 2y 5x)(y 2x)(2x2 5x 2)(x2 2x 1)(2x 1)(x2 )(x1)2对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提取 一个最高项的

7、次方的一半：2 x4x36 x2x 212x2 (2x2 x 62)x x21x2 (2x2 + T) (x )6xx然后令x1 y，那么 x22= y22xx原式=x2 (2y2y10)=x2 (2y5)(y2)2i=x2 (2x5)(x2)xx=(2x25x2)(x2 2x 1)=(2x1)(x 2 )(x 1)2作业： (a2 a 1)(a26a1)12a2提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径。2 2 (x5x4)(xx 2) 72提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：一看便知，这是一个很有特色的式

8、子。除了常数项，就只剩下x+y和xy。很容易想到，对它们工作应该有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b)、(b+c)、(c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0,则有这个因式。令 a+b=O, (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0因此 a+b=O是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了。解：a+b=O，(ab+bc+ca)(a+b+c)-a

9、bc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=O.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0，b=1，c=2，则得 k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用。以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式。(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假设以 a 为主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc22=(b+c)a +(b+c) a+bc(b+c) (以 a 的降序排列)2=(b+c)(a +(b+c

10、)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作业： X4+(x+y)4+y4提示：这种轮换对称，一般与 x+y、xy有关。因此可以分组成x4+(x+y)4+y4,4 4、/、4厂4 4=/2 2、 22 2222 2=(x +y )+(x+y)，又 x +y( x +y) -2 x y =( x+y) -2xy -2 x y。2224 16y+2x (y+1) +(y-1) x (1+y)2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成 6y3-37y2z+32yz2+15z3,就遇到了如何处理 37y2z的问 题，如何把它拆开，使它一

11、部分同 6y3，另一部分同15z3+32yz2在一起这是要研 究的。假设是Ky2z、Ly2z。现在考察Ly2z+32yz2+15z3，不妨假设L分解成m、n，并提 取负号，根据十字相乘法的原理，则有Ly2z+32yz2+15z3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，显然，m=1 或 6 或 11，n 才有整数解， 假设m=1，则n=7, L=-mn=-7，也就是将-37y2z拆成-7y2z和-30y2z两部分，分成两组，前后 都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。拆项时的以上运算可以在稿纸中进行，无需写入试卷。答案是(2

12、y-3z)(y-5z)(3y+z)。此题为竞赛级别的题目。 2a26b212c25d2nab-2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞赛题目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4>07 a2(b c)b2(c a)c2(ab)分析：不难发现，当a= b时，原式二0，故可断定a b是原式的一个因式，同理，b c、c a也是原式的因式。可设原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c =一 1 代入上式，得-2=2k， k= 1故原式=-(a-b)(b-c)(

13、c-a)。此题用拆项法或主元法也都很方便。作业：a3 (b-c)+b3 (c-a)+c3(a-b)提示：还有一个因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆项法也方便。3 208 x 9x23x15分析：一看就知道有-1根，因为X3与23x,9x2与15,它们的系数和等于24，必含有(x+1)的因式，因此很容易把X9 x223x 15分组为3 2 2(X3X2)+ (8x223x15)。当然，本题也可以用待定系数法确定 9x2如何拆。09 x4x35x26x 4分析：尝试一下1、2都不是该多项式的根，这时我们会想到，它可能没有一次因式。 这时可用待定系数法，按两次因式*两次因式的方式来求系数，即使每

14、个两次因 式还能继续分解为一次因式，也没有关系。我们一眼看上去就知道，-5x2联系着前后两个组，能够把它分解好了，往后就迎 刃而解了。分组法 也是 可行的。解一：43243 . 2,243 .2“2,令 x -x -5x -6x-4= x -x -Kx -L x -6x-4= x -x -Kx -(L x +6x+4)= x4-x3-Kx2-(mx+4)( nx+1)根据十字相乘法的原理：4n+m=6，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4 ，m可取2、6、10等。 假如m=2，则n=1，L=mn=2，K=-3。我们可以试试是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2

15、-6x-44322=x4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)42=x -(x+3)x -(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x 2+(x+1)(十字相乘法)2 2=(x -2x-4)(x +x+1)这种方法，有点运气在里面，如果把常数项4分解为2*2则达不到目的。再回头 用1*4表示时会浪费了不少时间。解二：2 2设原式=(xax b)(x ex d)432整理后得=x(a e)x (ae b d)x (ad be)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4 ，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4。43222则 x - x - 5 x - 6

16、 x - 4 = (x x 1)(x- 2 x - 4)这道题难度较大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：对于类似这样的多项式的分解，可利用乘法公式，将之乘以一个因式，同时除以 一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题。 巧用除法法，这是一种特殊方法， 引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现，但在竞赛中则有可 能。X151(x51)(x 竹X51)原式=32x1 (x1)(xx 1)43287543=(x x x x 1)(x- x x - x x - x 1)把x3看成y就变成了 y°+y3+y2+y+1，这就预示着可能含有X°+x3+x2+X+1因式。

17、 需要指出的是，并不是一定含有这个式子，如 x6+x3+1并没有x2+x+1的因式， 事实上，它不能分解。这道题理论上也可以用拆项添项法，但实际上很费事，不易想到该怎么拆。综合作业:-541、 a a 12、_a4 _153、a a 14、a5 a -1以上4题，看起来简单，其实有点难度，项数越少，次方越高，越容易让人 觉得无从着手，是学生们疑问较多的习题。4325、6x 7x -36x -7x 6提示：(6x4 6) (7x3 -7x) -36x2 = 6(x4 1) 7(x2 -1)x-36x2 二2 2 2 2 2 2= 6(x -1)7(x -1)x-24x 二2(x -1) -3x

18、3(x -1) 8x= (3x-1)(2x 1)(x 3)(x-2)难度较大。6、(x2 xy y2)24xy(x2 y2)一 2 + 2 提示：令 a x y 那么原式=(a b)2 -4ba =(a -b)2 = (x2 y2 - xy)2b =xy222427、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)提示：用十字相乘法，先调整一下顺序，x4(1-y) 2-2x2(1+y2)+ (1+y)22 28、 2x xy15y5x29y12用两种方法分解。4 329、4x 4x 9x x 2 2此题容易看出各项系数和为0,可按此思路分组，将-9X2进行拆分。33310、a3 + b3 + c3 3abc11、2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32y,+13xyz提示：该题为竞赛题目，难度很大。根据前面的提示，难度很大时，通常都采用 主元法。3322引用前面练习中的结果：6y +15z -37y z+32yz =(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。然后再运用待定系数法：设原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)显然m、n、p是土 1、土