因式分解方法集锦与练习题

1、因式分解方法集锦与练习题方法：项的撤分、组合->提取公因式、完全平方-配方、平方差、十字相乘、待定系数、还元 注意：别套用公式的项、慎用特殊技巧、多看多记。用途：解方程、整式化简与计算、分式化简与计算。一、提公因式法二、运用公式法三、分组分解法(一) 分组后能直接提公因式例1分解因式： am +an +bm +b n分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分 解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= (am +an) +(bm +bn)a(m n)

2、 b(m n)每组之间还有公因式!(m 亠n)(a 亠b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式： 2 ax 一10 ay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组; 第三、四项为一组。解法二：第一、四项为一组;第二、三项为一组解：原式=(2ax -10ay) +(5by -bx )原式= (2ax bx) (TOay 5by )2a (x 5 y) b(x 5 y)x(2a b) 5 y (2a b)(x 5y)( 2a b)(2 a b)( x 5y)练习：分解因式1 a2-ab亠ac-bc 2、

3、xy-x-y亠1(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：x y2 ax - ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解, 所以只能另外分组。解：原式=(x -y?) (ax ay)(x y)(x - y) a(x - y)(x y)(x y - a)例4、分解因式：a _2ab亠b - c2解：原式=(a2 _2ab - b2) _c22 2(a -b) -c(a b c)( a b - c)注意这两个例题的区别!练习：分解因式3、2 2x x 9 y 3y2 2 2、x - y - z _2yz综合练习:(1)(2) ax 22bx 亠

4、bx - ax 亠 a - b2 2 2(3) x 6xy - 9 y . .16 a - 8a -12 2(4) a 6ab 12 b 9b 4a(5) a -2a?a -92 2(7) x -2xy-xz、yz4y(9) y(y -2) 一(m -1)( m 1)2 22 2(6) 4ax-4ay-bx b y2 2(8) a 2a - b 2b - 2ab -1(10) (a c)( a c) - b(b 2a)333(12) a 亠 b 亠 c 3abc(11) a 2 (b - c) b2 (a c) c2 (a - b) 2abc四、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式直接利

5、用公式x2 ( p q)x pq = (x p)( x - q)进行分解。特点：(1) 二次项系数是1； (2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x 2亠5x亠6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有2X 3的分解适合，即2+3=5。1 2解：x2 5x 6 =x2(23)x2313=(x 2)( x 3)1X 2+1 X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系 数。例6、分解因式：x -7

6、x 6解：原式=x2 - ( -1) ( -6) x (1)(6)1-1 二":二=(x _1)(x _6)1-6 (-1 ) + (-6) = -72x -10 x -24练习 5、分解因式(1) x214 x 24(2) a2 _15a36(3) x? 4x _5练习&分解因式(1) x _ 2(2) y - 2y _ 15条件:(3)二次项系数不为1的二次三项式(1) a = a1 a 2C 二 CC 2a22 , ax bx cC2C1b =a1C2 亠 a2C1b = a© 亠 a2C1分解结果： ax2 十bx +c=(atX +cj(a2x +c2)例

7、7、分解因式：3x2 -11x 10分析:1 -23-5(-6)+( -5)= -11解: 3x2 -11 x - 10 =(x _2)(3x -5)练习7、分解因式：(1 ) 5x亠7x-6(2)23x -7x2(3) 10x2 -17x - 3(4)_ 6y2 11 y 10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8分解因式:2 2a 8ab 128 b分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解1 8b x1-16b8b+(-16b)= -8b解: a2 -8ab -128 b2 =a2 8b (_16b)a 8b ( -16 b)(a 8b)(a -16b)

8、练习 8、分解因式(1) x 3xy 2 (2) m 6mn 8n 2 (3) a ab 6b?(四) 二次项系数不为1的齐次多项式把xy看作一个整体1-1例 9、2x? -7xy +6/例 10、 x?y2 _3xy +21-2y -.2-3y(-3y)+(-4y)= -7y1 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(x _2y)(2x _3y) 解：原式=(xy _1)(xy 一2)-(5y-2).x -(5y -2) x (2y -1)1(2y-1)(x -5y - 2)( x 2y -1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)练习9、分解因式：（1）215 x ：7 xy2-

9、4y2 2(2) a x . .6ax '-8综合练习10、（1）8x6 -7x3 -1(2)12 x2 _11xy _15y2(3) (x - y)2 _3(xy)-_10（4）2(a b)4a 4b 3(5)x2y2 -25x y -2-6x（6）2m -2-4mn 4n _3m 6n 22 2 2 2 2 2(7) x 亠 4xy 亠 4y .2x - 4 y - 3 ( 8) 5(a 亠 b)亠 23(a b ) - 10 (a - b)2 2 2 2 2(9) 4x _4xy -6x 3y y _10( 10) 12 (x - y) - 11 (x _y) 2(x_y)思考：

10、分解因式：abcx 2 - (a2b2 c2 )x abc五、主元法.例 11、分解因式：x 3xy 10 y? x -925 . - -2解法一：以x为主元2. -1 ”解：原式=x - x(3 y -1) - (10-y -9(-5)+(-4)= -9xx(3 y - 1) - (5 y - 2)( 2 y - 1)解法二：以y为主元1-1-解：原式=_10 / _y(3x-9) +(x? +x2 2= _10y(3x_9)y_(x x_2)-1+2=1= 10y2 (3x9)y(x一1)( x - 2)一 2( x-1)=2y (x1)5y(x - 2)5-(X+2)= -(2y x -

11、1)( 5y -x -2)5(X-1)-2( X+2)=(3 X-9)练习11、分解因式(1) x - y亠4x6y-5 (2) x? + xy -2 / x+7y-62 2 2 2(3) x 亠 xy-6y 亠 x 亠13y-6(4) a ab - 6b 亠 5a 亠 35 b - 36六、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对 Ax 2亠Bxy亠Cy ?亠Dx亠Ey亠F型多项式的分解因式条件：(1) A =aa2 ， C =C1C2 ， F = f 1 f2a1c2a2c = B ， c1 f2 ，c2 匚 =E ，即:a1c2 亠 a2S =B ， c1 f2 c2 f = E ， a1

12、f2 a2 f = D则 Ax 2 - Bxy Uy? Dx Ey F =心図亠亠 c2 亠 f2)例 12、分解因式(1) x2 - 3xy -10 y2 x 9y _2(2) x2 xy - 6 y 2 x 13y _6解：(1) x - 3 xy - 10 y 亠 x 亠9y-2应用双十字相乘法：2xZy2xy5xy = -3xy ， 5 y 4y =9y， x 2x=x原式=(x -5y - 2)( x 2y-1)(2) x 2 xy6 y 2 x 13 y6应用双十字相乘法：xx3y一23 xy 2 xy = xy ,4 y 9 y = 13 y,2x 3x-x.原式=(x2y -

13、3)( x 32)练习12、分解因式（1） x2 -2xy - 2 y - x-7y -6(2) 6x2 -27xy - 3 y -xz 亠 7 yz - 2 z七、换元法例 13、分解因式(1 ) 2005 x2 _(2005 2 _1)x _ 2005(2) (x - 1)(x2)(x3)( x 6) x2解：(1)设 2005=a，则原式=ax 2 - (a 2 _1) x _ a(ax M)( x _ a) (2005 x 1)( x -2005 )(2)型如abed e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘原式=(x 2 7x - 6)( x225x 6) x设 x2 5x

14、6 = A，贝U x2 7x 6=A 2x原式=(A -2x) A -.-x 2 = A 22 Ax x?2 2 2(A - x) =(x 6x 6)练习 13、分解因式(1) (x? - xy y_4xy(x2 - y?)(2) (x2 3x 2)( 4x2 8x - 3)90(3)2 2 2 2 2 2(a - 1)- (a - 5)-4(a- 3)例14、分解因式(1 ) 2 x - x - 6x -x亠2。这观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少 1,并且系数成“轴对称” 种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解

15、：原式= x?(2xx61，7)=x? 2(x?-亠)(x - 1)6Ix xxx设 x - 1 = t，贝U x? - = t 2xx原式=x2 ( t2 -2) t -6 l = x2 2t2 -t -1022 2Y1)= x(2t5jjt+2=x 2x+ 5 1. x2 IIX人X丿2x12x-5x 2 x2 2x 1(x - 1)2(2x -1)(x -2)(2) x 4 -4x 3 x2 4x - 1解：原式=x? / -4x +1 十士 十 W l = x?1-4 x-1 丨十1 "Ix x丿 X x丿I x丿设 x_=y，贝y X? - = y 2 2xx二原式=x?

16、y? _ 4y 3 =x? y _1 y _32 112 2x (x_ _1)(x_ _3) = x x1 x 3x1 xx练习 14、(1) 6x2 2 7x633=(x 1)( xx 1 x 11)_36x2_7x 6 (2) x4 2x3 x2 1 2(x xj八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1） x(4) x x 2ax 1 - a -3x24解法1拆项。解法2添项。原式=x亠1 3x 亠3原式=x3 _3x2 _4x 4x 4=(x 1)( xx -.-1) 3(x -.-1)( x 1)2x(x_3x _4)(4x4)(x2-1)( x . x T - 3x 九3)x(x

17、 1)(x _ 4)4(x - 1)(x2-1)( x -4x 4)2(x 1)(x4x 4)(x2-1)( x - 2)2(x - 1)(x -2)x9x 6 x3 - 3解：原式=(x9 -1) - (x6 -1) - (x3 -1)3 6333-1)=(x 1)( x x 1) (x 1)( x =T)(x2 6=(x -1)( xx 1)(x32x - 3)练习15、分解因式（1)3x -9x 8(2)4224(x 1)- (x -1) (x - 1)(3) x - 7 x T44(5) x - y (x y)(6)22a b4442a c 亠2bc a b c九、待定系数法。例16、

18、分解因式2 +x+13y6分析：原式的前3项x2 xy6/可以分为（x - 3y）（x2y）,则原多项式必定可分为(x 3y m)( x -2 y n)解：设 x 亠 xy-6y 亠 x 亠13y-6=(x 亠 3y 亠 m)(x-2y 亠 n)2 2（x 亠 3y 亠 m）（x2y 亠 n）=x 亠 xy 6y 亠（m 亠 n） x 亠（3 n 2m） y mn2xy - 6 y2 2：；-x 13y_6=x xy - 6 y亠（m 亠 n）x 亠（3n _ 2m） y _mn对比左右两边相同项的系数可得m = _2n = 3m 亠 n = 1«3n _2m =13 ,mn = -

19、6 I 原式=（x - 3y - 2）（ x -2 y - 3）例17、( 1)当m为何值时，多项式xmx 56能分解因式，并分解此多项式。(2)如果x3 ax亠bx 8有两个因式为x - 1和x 2，求a b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x _ y),故此多项式分解的形式必为(x y a)( y b)解：设 x - y 亠 mx 亠 5y_6=（x 亠 y 亠a）（x-y 亠 b）2222贝H x y mx 56 =x y - （a - b）x - （b a） y - ab比较对应的系数可得:_a b = m« b 一 a = 5，解得:ab = -6当m =_1时，原多项式可以分解；当 m =1