因式分解十字相乘法精讲精练

1、十子相乘法精讲精练“十字相乘法”：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘 再相加等于一次项系数。2 2x px q 二 x2 （a b）x ab 二（x + a）（x + b）ftftpqx2+px+q= （x+a）（ x+b） 其中q、p、a、b之间的符号关系当q>0时，q分解的因数a、b（同号）且（a、b符号）与p符号相同当q<0时，q分解的因数a、b（异号）（其中绝对值较大的因数符号）与 p符号相同（a+cj （a2x +c2） =ax?+bx+c （日HO）整式运算因式分解3）（'十 bx+c二（ZX十cj （a2x+c2）（呂HO）®x

2、+sy） （a；x+c2y） =ax2+bxy+cy2Ila,xci hi云»2C2ST还疋2+致叼二ba）（+bxy+cy2二®x+sy） （a2x+c2y）例1把m2+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1 X 12, -2 X 6, -3 X 4, -4 X 3, -6 X 2, -12 X 1当-12分 成-2 X 6时，才符合本题解：因为1 -21 X 6所以 m2+4m-12= (m-2)( m+®例2把5x2+6x-8分解因式分析：本题中的5可分为1 X 5,-8可分为-1 X 8, -2 X 4,-4 X 2, -8 X 1。当二次

3、项系数分为 1X 5,常数项分为-4 X 2时，才符合本题解：因为125 X -4所以 5x2+6x-8= (x+2)( 5x-4 ) 例3解方程x2-8x+15=0分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则 15可分成1 X 15, 3X 5。解：因为1-31 X -5所以原方程可变形(x-3 )( x-5 ) =0所以 x1=3 x2=5例 4、解方程 6x 2-5x-25=0分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则 6 可以分为 1X 6, 2X 3, -25 可以分成-1 X 25, -5 X 5, -25 X 1。解：因为2 -53 X 5所以原方程可变形

4、成(2x-5 )(3x+5) =0 所以 x1=5/2 x2=-5/3用十字相乘法解一些比较难的题目：例5把14x2-67xy+18y 2分解因式分析：把14x2-67xy+18y 2看成是一个关于x的二次三项式则 14 可分为 1 X 14,2 X 7, 18y 2可分为 y.18y , 2y.9y , 3y.6y解:因为2-9y7 X -2y所以 14x 2-67xy+18y 2= (2x-9y)(7x-2y)例 6 把 10x2-27xy-28y 2-x+25y-3 分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x2-27xy-28y 2-x+25y-3=10x

5、2- (27y+1) x -( 28y2-25y+3)4y -37y X -1=10x2- (27y+1) x -(4y-3 )( 7y -1 )2 -(7y - 1 )5 X 4y - 3=2x -(7y -1 ) 5x +(4y -3 )=(2x -7y +1 )( 5x +4y -3 )说明：在本题中先把 28y2-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3 )( 7y -1 )，再用十字相乘法把10x2- ( 27y+1) x - ( 4y-3 )( 7y -1 )分解为：2x - (7y -1 ) 5x + (4y -3 )解法二、10x2-27xy-28y 2-x+25y-32 -7y

6、5 X 4y=(2x -7y )( 5x +4y ) - (x -25y ) -32 x -7y15 x +4y X -3=(2x -7y ) +1 ( 5x +4y ) -3=(2x -7y+1 )( 5x +4y -3 )说明：在本题中先把10x2-27xy-28y 2用十字相乘法分解为(2x -7y )( 5x +4y ),再把(2x -7y )( 5x +4y ) - (x -25y ) - 3 用十字相乘法分解为 (2x -7y ) +1 (5x +4y ) -3.例 7:解关于 x 方程：x2- 3ax + 2a 2 - ab -b 2=0分析：2a2 - ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解解：x2- 3ax + 2a 2 - ab -b 2=0x2- 3ax +(2a2 - ab - b 2 ) =01 -b2x 2- 3ax +X +b(2a+b)(a-b) =01-(2a+b)1 X - (a-b )x-(2a+b) x- (a-b ) =0所以 x1二 2a+b x2=a-b因为一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根分别为Xi, X2=(-b ±Vb2-4ac)/2a 所以上式可写成y=a(x-x i)(x-x 2),其中xi, X2是方程ax2+bx+c=0的两个根 设方程ax2+bx+c=0的两根分别为xi，X2根据根与系数的