假设检验方法-方差齐性检验、方差分析

1、 统计假设检验是统计推断的重要方法统计假设检验是统计推断的重要方法, , 一般需要对平均数的一般需要对平均数的差异显著性进行检验差异显著性进行检验, ,分单总体和双总体两种情况分单总体和双总体两种情况( (用用Z Z检验或检验或t t检检验验).).若比较三个或三个以上均数差异用方差分析若比较三个或三个以上均数差异用方差分析. .若对方差若对方差( (统计统计量量) )差异进行检验差异进行检验, ,用用F F检验检验; ;对分类计数变量的统计推断用卡方检对分类计数变量的统计推断用卡方检验验. .本章主要研究本章主要研究: : 1 1、F F检验检验方差齐性检验（即检验总体方差是否相等）；方差齐

2、性检验（即检验总体方差是否相等）； 2 2、方差分析、方差分析三个或三个以上均数差异分析；三个或三个以上均数差异分析； F分布是一种小样本分布，计算公式为分布是一种小样本分布，计算公式为 1、F分布的形成分布的形成 从两正态总体中随机抽取两独立样本，容量分从两正态总体中随机抽取两独立样本，容量分别为别为 ，求出两个样本的方差及比值，求出两个样本的方差及比值F值；值；然后将两样本数据放回，再随机抽取同样容量两样然后将两样本数据放回，再随机抽取同样容量两样本，计算两个样本的方差及比值本，计算两个样本的方差及比值F值；若干次便值；若干次便可求出若干个可求出若干个F值，所有值，所有F值形成的分布是自由

3、度为值形成的分布是自由度为（ ， ）的）的F分布。分布。 2、F分布的图象分布的图象 F分布是一簇单峰偏态分布曲线，形状随分子分布是一簇单峰偏态分布曲线，形状随分子和分母的自由度变化而变化。和分母的自由度变化而变化。 3、双侧检验、单侧检验、双侧检验、单侧检验 l 总体方差相等是进行平均数间差异的显著性检总体方差相等是进行平均数间差异的显著性检验的重要条件。验的重要条件。 F检验就是利用公式检验就是利用公式 计算得计算得F值与理论值与理论推算的推算的F值进行比较，判断方差差异大小。值进行比较，判断方差差异大小。 一般我们会采用公式一般我们会采用公式 进行单侧检验进行单侧检验（拒绝区在右测）（拒

4、绝区在右测）。 决策如下：决策如下： 若若 ，则拒绝原假设，即两总体方差，则拒绝原假设，即两总体方差差异显著；差异显著； 若若 ，则接受原假设，即两总体方差，则接受原假设，即两总体方差差异不显著（方差具有齐性）差异不显著（方差具有齐性） 例例 某次教改后，从施行两种不同教学方法的班某次教改后，从施行两种不同教学方法的班级中随机各抽出级中随机各抽出1010份和份和9 9份试卷，得到如下的成绩份试卷，得到如下的成绩数据：数据： 控制班：控制班：85 76 83 93 78 75 80 79 90 8885 76 83 93 78 75 80 79 90 88 对比班：对比班：75 86 96 90

5、 62 83 95 70 5875 86 96 90 62 83 95 70 58 拟比较试验的效果，检验方差是否齐性？拟比较试验的效果，检验方差是否齐性？ （注：方差大者为分子，其自由度为第一自由度）（注：方差大者为分子，其自由度为第一自由度）例例2 某地区从五所小学三年级各随机抽取一部某地区从五所小学三年级各随机抽取一部分学生，统一进行语文测试，结果如下，问各分学生，统一进行语文测试，结果如下，问各校语文测验成绩的离散程度是否一致？校语文测验成绩的离散程度是否一致？ 检验两个总体之间平均数差异检验两个总体之间平均数差异显著性用显著性用Z检验或检验或t检验检验;检验两个总检验两个总体方差差异

6、显著性用体方差差异显著性用F检验检验;检验三检验三个或三个以上均数之间的差异性用个或三个以上均数之间的差异性用方差分析方差分析.这部分主要介绍这部分主要介绍: 1、方差分析的基本原理、方差分析的基本原理 2、方差分析的一般步骤、方差分析的一般步骤 3、单因素完全随机设计方差分析过程、单因素完全随机设计方差分析过程 引例引例 某小学科研组为研究教师对学生的态度是否影某小学科研组为研究教师对学生的态度是否影响学习成绩，在三年级四个班中进行数学教学实验。响学习成绩，在三年级四个班中进行数学教学实验。一班用表扬的方法，二班用责备的方法，三班用放任一班用表扬的方法，二班用责备的方法，三班用放任的方法，四

7、班作为控制班按常规教学。一段时间后，的方法，四班作为控制班按常规教学。一段时间后，进行测验，从各班分别随机抽取几份成绩单，成绩如进行测验，从各班分别随机抽取几份成绩单，成绩如下，问教师对学生的态度是否影响学生的学习成绩，下，问教师对学生的态度是否影响学生的学习成绩，即四个班学习效果是否有显著性差异？即四个班学习效果是否有显著性差异？ 一班：一班：88 83 90 81 88 83 90 81 平均：平均：85.5 85.5 二班二班: 87 73 82 79 85 : 87 73 82 79 85 平均平均: 81.2: 81.2 三班三班: 74 36 81 68 : 74 36 81 68

8、 平均平均: 64.75: 64.75 四班四班: 80 86 78 82 87 : 80 86 78 82 87 平均平均: 82.6: 82.6 分析分析: : 可以看出可以看出, ,数据各不相同数据各不相同, ,这种差异可能这种差异可能是由研究的变量是由研究的变量( (态度不同态度不同) )造成的造成的, ,称为组间称为组间差异差异( );( );也可能是由随机抽样或其他原因造也可能是由随机抽样或其他原因造成的成的, ,称为组内差异称为组内差异( ).( ). 方差分析的基本原理方差分析的基本原理: : 方差分析就是将总体变异分解为组间变异方差分析就是将总体变异分解为组间变异( )( )

9、和由抽样误差等其他原因产生的组内变异和由抽样误差等其他原因产生的组内变异( ),( ),然后分析组间变异与组内变异的关系然后分析组间变异与组内变异的关系. .若若样本组间变异比组内变异显著地大样本组间变异比组内变异显著地大, ,则认为组则认为组间有本质性差异间有本质性差异, ,否则不认为组间有显著性差否则不认为组间有显著性差异异. . 1 1、方差分析：通过组间和组内的方差之比（、方差分析：通过组间和组内的方差之比（F F）值来实现对多个平均数间差异的显著性检验。值来实现对多个平均数间差异的显著性检验。 2 2、基本理论依据：方差的可加性。、基本理论依据：方差的可加性。 3 3、基本公式：、基

10、本公式： 其中，其中， 4 4、自由度：总体自由度可分解为组间自由、自由度：总体自由度可分解为组间自由度和组内自由度。度和组内自由度。 总体自由度总体自由度 组间自由度组间自由度 组内自由度组内自由度 （比较组间差异与组内差异，不能直接比较各自的离差平（比较组间差异与组内差异，不能直接比较各自的离差平方和，因为离差平方和的大小与求离差平方和的项数有关。方和，因为离差平方和的大小与求离差平方和的项数有关。为消去项数的影响，分别求其均方，即将离差平方和除以为消去项数的影响，分别求其均方，即将离差平方和除以各自的自由度，并以各自的自由度，并以MSMS表示。均方即样本方差，为总体方表示。均方即样本方差

11、，为总体方差的无偏估计。）差的无偏估计。） 5 5、组内均方和组间均方、组内均方和组间均方 检验公式：由于组间均方与组内均方是互为独立的，检验公式：由于组间均方与组内均方是互为独立的，可用可用F F值检验组间均方与组内均方是否差异显著，公式值检验组间均方与组内均方是否差异显著，公式为为 因此，多个平均数之间差异显著性检验的原假设因此，多个平均数之间差异显著性检验的原假设为：各样本所来自的总体平均数相等。备择假设为：为：各样本所来自的总体平均数相等。备择假设为：其中至少有一对平均数不等。检验时，按组间自由度其中至少有一对平均数不等。检验时，按组间自由度和组内自由度查和组内自由度查F F分布表，查

12、出临界值，然后将计算的分布表，查出临界值，然后将计算的F F值与临界值进行比较，进而作出决断。值与临界值进行比较，进而作出决断。 1 1、提出假设、提出假设 原假设原假设：各样本所来自总体平均数相等；各样本所来自总体平均数相等； 备择假设：其中至少有一对平均数不相等。备择假设：其中至少有一对平均数不相等。 2 2、计算平方和、自由度、计算平方和、自由度 3 3、计算、计算F F值值 4 4、确定临界值：由、确定临界值：由 、 查表确定临界值。查表确定临界值。 5 5、列方差分析总表、列方差分析总表 实验中的自变量称为因素，只有一个自变实验中的自变量称为因素，只有一个自变量的实验称为单因素实验；

13、有两个或两个以上量的实验称为单因素实验；有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验。自变量的实验称为多因素实验。 例为比较三种复习方法对小学生学习效果产生的例为比较三种复习方法对小学生学习效果产生的影响是否有显著性差异，将影响是否有显著性差异，将4040名学生分成三组，让名学生分成三组，让A A组组学生用集中复习法，学生用集中复习法，B B组学生采用间隔复习法，组学生采用间隔复习法，C C组学组学生用回忆法。此处，复习方法是实验中惟一自变量，生用回忆法。此处，复习方法是实验中惟一自变量，此因素为单因素实验，三种复习方法是复习方法的三此因素为单因素实验，三种复习方法是复习方法的三种不同水平种不同

14、水平单因素方差分析。单因素方差分析。 若要研究两种教学方法在理解力不同的三个小组若要研究两种教学方法在理解力不同的三个小组中的实验效果是否有显著性差异，用双因素实验设计，中的实验效果是否有显著性差异，用双因素实验设计，教学方法和理解力是两个因素前者有两种水平，后者教学方法和理解力是两个因素前者有两种水平，后者有三种水平，对以上实验效果进行显著性检验有三种水平，对以上实验效果进行显著性检验多多因素方差分析。因素方差分析。 例例3 3 某小学语文教研组为研究学习环境对小某小学语文教研组为研究学习环境对小学生学习成绩的影响，从三年级中随机抽取学生学习成绩的影响，从三年级中随机抽取2020名学生，随机

15、分成四组，在四种环境下进行学名学生，随机分成四组，在四种环境下进行学习，其效果如表习，其效果如表8-58-5，四种不同的学习环境对，四种不同的学习环境对学习成绩的影响是否有显著差异？学习成绩的影响是否有显著差异？ 方差分析中关键步骤方差分析中关键步骤: :求离差平方和求离差平方和. .为计算方便为计算方便, ,往往用原始观测值直接求平往往用原始观测值直接求平方和方和, ,公式如下公式如下: : 在无法直接得到原始数据在无法直接得到原始数据,仅知道仅知道 统计资料的情况下统计资料的情况下,也可对多组数据进行也可对多组数据进行方差分析方差分析.其组间平方和与组内平方和计其组间平方和与组内平方和计算

16、公式如下算公式如下: 一、单因素随机区组设计的含义一、单因素随机区组设计的含义 在完全随机化实验设计（单因素）的方差分析在完全随机化实验设计（单因素）的方差分析中，将实验数据的总变异分解为由处理不同造成的组中，将实验数据的总变异分解为由处理不同造成的组间变异和由误差因素造成的组内变异。组内差异不仅间变异和由误差因素造成的组内变异。组内差异不仅反映实验的随机误差，而且反映实验组内被试间个别反映实验的随机误差，而且反映实验组内被试间个别差异。差异。 区组：将从同一总体中抽取的被试按条件相同的区组：将从同一总体中抽取的被试按条件相同的原则分成各个组，使各组内被试尽量保持同质，这些原则分成各个组，使各

17、组内被试尽量保持同质，这些组称为区组。组称为区组。 随机区组实验设计最早应用于农业实验。在农业随机区组实验设计最早应用于农业实验。在农业实验中，为研究不同品种（处理）的差异，而将土地实验中，为研究不同品种（处理）的差异，而将土地按土质、水分、肥性等因素划分为不同块（区组），按土质、水分、肥性等因素划分为不同块（区组），使得每一块内土质大体一致，再将区组划分为小块使得每一块内土质大体一致，再将区组划分为小块（小区），每一小区种一种品种的作物。（小区），每一小区种一种品种的作物。“区组区组”的的概念就被沿用。概念就被沿用。 设计原则：同一区组内的被试尽量同质。设计原则：同一区组内的被试尽量同质。

18、在完全随机设计中,SST=SSB+SSw,即总变异=组间变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反映了实验的随机误差，而且还反映了实验组内被试间 个体差异。单因素的完全随机化实验设计把可以控制的个体差异作为随机误差而不加以控制，从而增大了实验误差，使F检验不敏感。随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个体差异区分开来，从而增加实验数据的有效信息，降低实验误差。被试的分配分三种情况：(1) 一个被试作为一个区组,不同的被试(区组)均需接受全部个实验处理;(2) 每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍;(3) 区组内的基本单元不是个别被试,而是以一个团体为单元。随机区组设计由于同一区组接受所有

19、实验处理，试实验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时，总平方和组间平方和区组平方和误差项平方和例 1、 有四种小学语文实验教材,分别代号为A、B、C、D。为比较其教学效果，按随机区组实验(设计)原则,将小学分为城镇重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分别代号为I、II、III，并分别在每个区组中随机地抽取4所小学，它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学后通过统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材的教学效果是否一致？ 处理区组ABCDXi.I9164.583.575.5314.5II92.55991.574317III91

20、.55483.571300.0X.j275177.5258.5220.5931.5Xi91.6759.1786.1773.5例2、 交通管制员工作压力研究。有三种方案(A、B、C)能减轻管制员的压力，问这三种方案的效果有无显著效果？空中交通管制员压力测试的随机区组设计处理管制员A系统B系统C系统11515182141414310111541312175161316区组6131313实验中不同管制员之间的差异是很大的，每个管制员作为每个管制员作为一个区组一个区组。组内方差随机误差管制员个人差异导致的误差。需要将个人差异从误差项中分离出来，以提高F检验的效率。解：10) 16)(13(,19516

21、,30, 213,21, 118,7021.21.211erbteraitirbkjtjbtaikjtijtdfSSSSSSSSdfXXkSSdfXXaSSdfXXSS空中交通管制员测试的ANOVA表方差来源平方和自由度均方F值F0.05处理21 2 10.5 5.53 4.1区组30 5 6.0 3.16 3.33误差19 10 1.9总计70 17 结论：这三种工作方案在对空中交通管制员平均压力效果方面有差异。 单因素随机区组设计方差分析过程与单因素完全单因素随机区组设计方差分析过程与单因素完全随机设计方差分析过程一致，分为：提出假设、计算随机设计方差分析过程一致，分为：提出假设、计算有关

22、统计量、计算有关统计量、计算F值、确定显著性水平及临界值、值、确定显著性水平及临界值、统计决策（列方差分析表）。不同之处在于：组内平统计决策（列方差分析表）。不同之处在于：组内平方和分解为区组平方和、误差平方和两部分，计算公方和分解为区组平方和、误差平方和两部分，计算公式如下：式如下： 2、自由度：、自由度： 3、求组间平方和、误差平方和以及组间自、求组间平方和、误差平方和以及组间自由度和误差自由度，就可求组间均方、误由度和误差自由度，就可求组间均方、误差均方：差均方： 方差分析是对多个平均数间差异的显著性方差分析是对多个平均数间差异的显著性进行检验进行检验.通过通过F检验检验,综合判断各总体平均数间综合判断各总体平均数间是否有差异是否有差异. 若若 ,则接受原假设则接受原假设.即各组平均数相等即各组平均数相等,检验分析工作结束检验分析工作结束; 若若 ,则拒绝原假设则拒绝原假设.即至少有两组平均即至少有两组平均数不相等数不相等.但究竟哪两对平均数不等但究竟哪两对平均数不等,并不完全并不完全清楚清楚,需对平均数作进一步逐对比较需对平均数作进一步逐对比较-平均数平均数间的多重比较间的多重比较