第四章 应力应变关系

1、第四章第四章 应力应变关系应力应变关系静力平衡和几何变形通过具体物体的材料性质相联系材料的应力应变的内在联系材料固有特性，因此称为物理方程或者本构关系 目录目录 4.1 广义胡克定理广义胡克定理 4.2 拉梅常量与工程弹性常数拉梅常量与工程弹性常数 4.3 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数 应力应变关系属于材料性能应力应变关系属于材料性能 称为称为物理方程物理方程或者或者本构方程本构方程 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定实验确定 复杂应力状态复杂应力状态难以通过实验确定难以通过实验确定4.1 广义胡克定义广义胡克定义广义胡克定理材料应力应变一

2、般关系xzyzxyzyxxzxzyzxyzyxyzxzyzxyzyxxyxzyzxyzyxzxzyzxyzyxyxzyzxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211工程材料，应力应变关系受到一定的限制一般金属材料为各向同性材料复合材料在工程中的应用日益广泛4.1 胡克定理胡克定理2弹性体变形过程的功与能 能量守恒是一个物理学重要原理 利用能量原理可以使得问题分析简化 能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理推导

3、。外力作用弹性体变形变形过程外力作功弹性体内的能量也发生变化4.1 胡克定理胡克定理3根据热力学概念绝热过程格林公式等温过程弹性体的应变能函数表达式内能等于应变能4.1 胡克定理胡克定理4xzxzyzyzxyxyzzyyxxUUUUUU000000,)(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU工程材料 各向同性材料 各向异性材料金属材料n完全各向异性n弹性对称面一个弹性对称面21个弹性常数 xzxyxzyzzyxyzxzxyxyyzzyxzyzzyxyyzzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666455535251464435333231252322211513121113个

4、弹性常数 4.1 胡克定理胡克定理5两个弹性对称面xzxzyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxCCCCCCCCCCCC6655443332312322211312119个弹性常数 相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面 拉压与剪切变形不同平面内的剪切之间称为正交各向异性 正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。没有耦合作用4.1 胡克定理胡克定理6 物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。 金属材料各向同性弹性体，是最常见的工程材料。 弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体4

5、.1 胡克定理胡克定理7根据正交各向异性本构关系各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同；弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关 各向同性材料广义胡克（Hooke）定理xzxzzzyzyzyyxyxyxx,2,2,2ijijkkij2, 称为拉梅（Lame）弹性常数4.1 胡克定理胡克定理8应力表示本构方程GGGvvEvEvvEvEvvEvExzxzyzyzxyxyzyxzzyzxyyxzyxx)1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1E为弹性模量G为剪切弹性模量v为横向变形系数泊松比4.2 拉梅常量与工程弹性常数拉梅常量与工程弹性常数杨泊松4.2 弹性常数弹性常数2工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为GvE,)(2,)22(两个独立的弹性常数)1 (2vEG实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G4.2 弹性常数弹性常数3各向同性材料主应力状态对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体应力主轴同时又是应变主轴应力主方向和应变主方向是重合的4.2 弹性常数弹性常数4应变能4.3 弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数)(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU)(2)()(2(212222220 xzyzxyzxzyyxzyxU应变表示的应变能