第四章 轴测投影1

1、 41 轴测投影的基本知识轴测投影的基本知识 第第4章章 轴测投轴测投影影1 42 常见轴测投影图的画法常见轴测投影图的画法 43 斜轴测图的画法斜轴测图的画法23 学习目标要求学习目标要求1 1掌握轴测投影的基本知识，掌握轴测投影的基本知识，掌握轴向伸缩系数和轴间角的几何意义；掌握轴向伸缩系数和轴间角的几何意义；2 2能熟练地根据实物或投影图绘制物体的正等能熟练地根据实物或投影图绘制物体的正等轴测图；轴测图；3 3能根据实物或投影图绘制物体的斜轴测投影能根据实物或投影图绘制物体的斜轴测投影图。图。第第4章章 轴测投影轴测投影 学习重点与难点学习重点与难点 本章本章重点重点是是：轴测投影、分类

2、及基本特性；轴测投影、分类及基本特性；轴测投影的基本画法轴测投影的基本画法-坐标法、叠加法及切割坐标法、叠加法及切割法。法。 本章本章难点难点是是：学会根据组合体的正投影图，学会根据组合体的正投影图， 绘制平面立体正等轴测图及斜二等轴测图。绘制平面立体正等轴测图及斜二等轴测图。 轴测图轴测图是一种能够在一个投影图中同时反映形体是一种能够在一个投影图中同时反映形体三维结构的图形。三维结构的图形。 如图如图1-4-11-4-1所示，是一立体的正投影图和轴测投影。所示，是一立体的正投影图和轴测投影。 显而易见，轴测图直观形象，易于看懂。因此工显而易见，轴测图直观形象，易于看懂。因此工程中常将轴测投影

3、用作程中常将轴测投影用作辅助图样辅助图样，以弥补正投影图不，以弥补正投影图不易被看懂之不足。易被看懂之不足。 与此同时，轴测投影也存在着一般不易反映物体与此同时，轴测投影也存在着一般不易反映物体各表面的实形，因而度量性差，绘图复杂、会产生变各表面的实形，因而度量性差，绘图复杂、会产生变形等缺点。形等缺点。图图1-4-1 正投影图与轴测图对比正投影图与轴测图对比 1 1轴测投影面轴测投影面 作轴测投影的平面，称为轴测投影面。作轴测投影的平面，称为轴测投影面。 2 2轴测投影轴轴测投影轴 空间形体直角坐标轴空间形体直角坐标轴OXOX、OYOY、OZOZ在轴测投影面在轴测投影面上的投影上的投影O O

4、1 1X X1 1、O O1 1Y Y1 1、O O1 1Z Z1 1称为轴测投影轴，简称称为轴测投影轴，简称轴测轴。轴测轴。 3 3轴间角轴间角 轴测轴之间轴测轴之间的夹角的夹角X X1 1O O1 1Z Z1 1、X X1 1O O1 1Y Y1 1、Y Y1 1O O1 1Z Z1 1，称之为轴间角。，称之为轴间角。术术 语语 4 4变形系数变形系数 轴测轴与空间直角坐标轴单位长度之比，轴测轴与空间直角坐标轴单位长度之比，称为轴向变形系数。简称变形系数。称为轴向变形系数。简称变形系数。 由于空间形体的直角坐标轴可与投影面由于空间形体的直角坐标轴可与投影面P P倾斜，其投影都比原来长度短，

5、它们的投影倾斜，其投影都比原来长度短，它们的投影与原来长度的比值，称为与原来长度的比值，称为轴向变形系数轴向变形系数，分，分别用别用p p、q q、r r表示，即：表示，即： p p= =O O1 1X X1 1/ /OXOX，q q= =O O1 1Y Y1 1/ /OYOY，r r= =O O1 1Z Z1 1/ /OZOZ1 1根据投影方向根据投影方向S S 对轴测投影面的夹角不同，对轴测投影面的夹角不同，轴测投影可分为两大类：轴测投影可分为两大类： (1)(1)正轴测投影正轴测投影: :用一组平行投影线用一组平行投影线, ,向垂直于轴测投影向垂直于轴测投影面投射面投射, ,且空间直角坐

6、标轴且空间直角坐标轴OXOX、OYOY、OZOZ均倾斜于轴测投均倾斜于轴测投影面时所形成的轴测投影，影面时所形成的轴测投影，简称正轴测。简称正轴测。 (2)(2)斜轴测投影斜轴测投影: :用一组倾斜于轴测投影面用一组倾斜于轴测投影面( (也倾斜于三也倾斜于三个坐标轴个坐标轴) )的平行投影线投射，的平行投影线投射，而空间直角轴中有两根而空间直角轴中有两根坐标轴平行于轴测投影面时所形成的轴测投影，坐标轴平行于轴测投影面时所形成的轴测投影，简称斜简称斜轴测。轴测。412 轴测投影图的分类轴测投影图的分类如如图图1-4-21-4-2 所示，所示，P P为轴测投影面为轴测投影面，S S为投影方向，长方

7、体上的为投影方向，长方体上的坐标轴坐标轴OXOX、OYOY、OZ OZ 均均倾斜于倾斜于P P面，面，S S与与P P垂直垂直。按此方法得到的。按此方法得到的P P 面轴测图称为面轴测图称为正轴测图正轴测图。如如图图1-4-31-4-3 所示，所示，P P为轴测投影面为轴测投影面，S S为投影方向，立体上的坐为投影方向，立体上的坐标面标面XOZ XOZ 平行于平行于P P面，面，S S与与P P不垂直不垂直。以此种投影方法产生的轴测。以此种投影方法产生的轴测图称为图称为斜轴测图斜轴测图。图图1-4-3 斜轴测图的形成斜轴测图的形成图图1-4-2 正轴测图的形成正轴测图的形成2 2根据三个坐标轴

8、的根据三个坐标轴的轴向变形系数轴向变形系数的不同，的不同，每类轴测图又可分为三种每类轴测图又可分为三种: : (1)(1)正正( (斜斜) )等测图：等测图：三个轴测伸缩系数都相等三个轴测伸缩系数都相等 p pq qr r； (2)(2)正正( (斜斜) )二测图：二测图：其中两个轴向伸缩系数相等其中两个轴向伸缩系数相等 p pqrqr； p prqrq； q qrprp； (3)(3)正正( (斜斜) )三测图：三测图：三个轴测伸缩系数都不相等三个轴测伸缩系数都不相等 pqrpqr。3 3为了做图方便、表达效果更好，为了做图方便、表达效果更好，GB/T50001-GB/T50001-2001

9、 2001 推荐了四种标准轴测图：推荐了四种标准轴测图： （1 1） 正等测；正等测； （2 2） 正二测；正二测； （3 3） 正面斜等测和正面斜二测；正面斜等测和正面斜二测； （4 4） 水平斜等测和水平斜二测。水平斜等测和水平斜二测。 轴测投影属于平行投影，所以轴测投影具有平轴测投影属于平行投影，所以轴测投影具有平行投影中的所有特性。行投影中的所有特性。 1 1空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。 2 2立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必与轴测轴互相平行。必与轴测轴互相平行。 3

10、3立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。在轴测图上保持不变。( (定比性定比性) ) 应当注意的是应当注意的是, ,如所画线段与坐标轴如所画线段与坐标轴不平行时不平行时, ,决不可决不可在图上直接量取在图上直接量取, ,而应先作出线段两而应先作出线段两端点端点的轴测图的轴测图, ,然然后后连线连线得到线段的轴测图。另外得到线段的轴测图。另外, ,在轴测图中在轴测图中一般不画一般不画虚线虚线。413 轴测投影的特性轴测投影的特性4 42 21 11 1 正等轴测图的形成正等轴测图的形成 其基本含义是：其基本含义是： 正正

11、采用正投影方法。采用正投影方法。 等等 三轴测轴的轴向伸缩系数相同，三轴测轴的轴向伸缩系数相同， 即即p=q=rp=q=r。 由于正等测图绘制方便，因此在实际工作中应由于正等测图绘制方便，因此在实际工作中应用较多。如我们使用的教材中的许多例图都采用较多。如我们使用的教材中的许多例图都采用的是正等测画法。用的是正等测画法。42 常见轴测投影图的画法常见轴测投影图的画法421 正轴测投影图的画法正轴测投影图的画法 由于空间坐标轴由于空间坐标轴OXOX、OYOY、OZOZ对对轴测投影面的倾角相等轴测投影面的倾角相等，可计算出其轴间角可计算出其轴间角X1O1Y1=X1O1Z1=Y1O1Z1=X1O1Y

12、1=X1O1Z1=Y1O1Z1=120120，如下图，其中，如下图，其中O1Z1O1Z1轴规定画成铅垂方向。轴规定画成铅垂方向。（1）轴间角）轴间角 由于空间形体的直角坐标轴可与投影面由于空间形体的直角坐标轴可与投影面P P倾斜倾斜，其其投影投影都比原来长度都比原来长度短短，它们的投影与原来长，它们的投影与原来长度的比值，称为度的比值，称为轴向变形系数轴向变形系数，分别用，分别用p p、q q、r r表示，即：表示，即：p p= =O O1 1X X1/1/OXOX，q q= =O O1Y1/1Y1/OYOY，r r= =O O1Z1/1Z1/OZOZ2轴向伸缩系数轴向伸缩系数 由理论计算可知

13、：三根轴的由理论计算可知：三根轴的轴向伸缩系数轴向伸缩系数为为0.820.82，如按此系数作图，就意味着在画如按此系数作图，就意味着在画正等测图正等测图时，物体上时，物体上凡是与坐标轴平行的线段凡是与坐标轴平行的线段都应将其都应将其实长乘以实长乘以0.820.82。 为方便作图，轴向尺寸一般采用简化轴向变形系为方便作图，轴向尺寸一般采用简化轴向变形系数：数：p p= =q q= =r r=1=1。这样轴向尺寸即被放大。这样轴向尺寸即被放大k k1/0.821.22 1/0.821.22 倍，所画出的轴测图也就比实际物体大，倍，所画出的轴测图也就比实际物体大，这对物体的形状没有影响，两者的立体效

14、果是一样的，这对物体的形状没有影响，两者的立体效果是一样的，如下图，但却简化了作图。如下图，但却简化了作图。（a）正投影图）正投影图 (b) 正等测正等测 (c) 采用简化系数的正等测采用简化系数的正等测 画画平面立体平面立体正等轴测图的最基本的方法是正等轴测图的最基本的方法是坐标法坐标法，即，即沿沿轴测轴轴测轴度量定出物体上一些度量定出物体上一些点点的坐标的坐标, ,然后逐步然后逐步由点连线由点连线画出图形。画出图形。 在实际作图时在实际作图时, ,还可以根据物体的形体特点还可以根据物体的形体特点, ,灵活运用灵活运用各种不同的作图方法如各种不同的作图方法如坐标法、切割法、叠加法坐标法、切割

15、法、叠加法等。等。 4212 平面立体正等轴测图的画法平面立体正等轴测图的画法 1 1坐标法：坐标法： 坐标法坐标法画轴测图时，先在物体三视图中确画轴测图时，先在物体三视图中确定坐标原点和坐标轴，然后按物体上各点的坐标关定坐标原点和坐标轴，然后按物体上各点的坐标关系采用简化轴向变形系数，依次画出各点的轴测图，系采用简化轴向变形系数，依次画出各点的轴测图，由点连线而得到物体的正等测图。由点连线而得到物体的正等测图。 坐标法是绘制轴测图的基本方法，不但适用于坐标法是绘制轴测图的基本方法，不但适用于平面立体，也适用于曲面立体；不但适用于正等测，平面立体，也适用于曲面立体；不但适用于正等测，也适用于其

16、他轴测图的绘制。也适用于其他轴测图的绘制。 2 2切割法：切割法： 这种方法适用于以切割方式构成的平面立体这种方法适用于以切割方式构成的平面立体（如下（如下图图) )，先绘制出，先绘制出挖切前挖切前的完整形体的轴测图，的完整形体的轴测图，再再依据形体依据形体上的相对位置上的相对位置逐一逐一进行进行切割切割。 3 3叠加法叠加法: : 叠加法适用于绘叠加法适用于绘制主要形体是由堆叠制主要形体是由堆叠形成的物体的轴测图形成的物体的轴测图, ,此时应注意物体堆叠此时应注意物体堆叠时的定位关系。作图时的定位关系。作图时时, ,应首先将物体看成应首先将物体看成是由几部分堆叠而成是由几部分堆叠而成, ,然

17、后依次画出这几部然后依次画出这几部分的轴测投影分的轴测投影, ,即得到即得到该物体的轴测图。该物体的轴测图。 以上三种方法都需要以上三种方法都需要定坐标原点定坐标原点, ,然然后按各后按各线线、面面、端点端点的坐标在轴测坐标的坐标在轴测坐标系中确定其位置系中确定其位置, ,故故坐标法坐标法是画图的最基是画图的最基本方法。当绘制复杂物体的轴测图时本方法。当绘制复杂物体的轴测图时, ,上上述三种方法往往综合使用。述三种方法往往综合使用。例例4.1 4.1 用坐标法作长方体的正等测图，用坐标法作长方体的正等测图，如图所示。如图所示。 解：作法解：作法 （1 1）如图（）如图（a a）所示，在正投影图

18、上定出原）所示，在正投影图上定出原点和坐标轴的位置；点和坐标轴的位置；（2 2）如图（）如图（b b）所示，画轴测轴，在）所示，画轴测轴，在O1X1O1X1和和O1Y1O1Y1上分别量取上分别量取a a和和b b，对应得出点，对应得出点和和，过，过、作作O1X1O1X1和和O1Y1O1Y1的平行线，得长方体底面的平行线，得长方体底面的轴测图；的轴测图； （3 3）如图（）如图（c c）所示，过底面各角点作）所示，过底面各角点作O1Z1O1Z1轴的平行线，量取高度轴的平行线，量取高度h h，得长方体顶面各角点；，得长方体顶面各角点； （4 4）如图（）如图（d d）所示，连接各角点，擦去多）所示

19、，连接各角点，擦去多余图线、加深，即得长方体的正等测图，图中余图线、加深，即得长方体的正等测图，图中虚线可不必画出。虚线可不必画出。 例例4.24.2 如图如图 ( (a a) )所示为正六棱柱主、俯视所示为正六棱柱主、俯视图，作出正六棱柱的正等测图。图，作出正六棱柱的正等测图。 解：作图步骤解：作图步骤 为了做图方便，选取上底面的中心为原点为了做图方便，选取上底面的中心为原点O O。它的两。它的两条对称中心线为条对称中心线为X X 轴和轴和Y Y 轴，以轴，以 六棱柱的轴线作为六棱柱的轴线作为Z Z 轴，建立直角坐标系，如图轴，建立直角坐标系，如图( (a a) )所示。所示。 (1)(1)

20、在两面投影图上建立直角坐标系在两面投影图上建立直角坐标系OXYZOXYZ。 (2)(2)画出正等测图中的轴测轴画出正等测图中的轴测轴OlX1Y1Z1OlX1Y1Z1。 (3)(3)用坐标法作线取点，按坐标关系，用用坐标法作线取点，按坐标关系，用11 11 在轴测在轴测轴上作出六棱柱顶面轴上作出六棱柱顶面6 6个顶点的对应点，按顺序连接，个顶点的对应点，按顺序连接，即得六棱柱顶面的轴测图，见图即得六棱柱顶面的轴测图，见图 ( (b b) )、（、（c c）。）。 (4)(4)沿沿O O1 1Z Z1 1轴方向（沿六棱柱任一顶点）量取轴方向（沿六棱柱任一顶点）量取h h，得到，得到六棱柱底面六棱柱

21、底面6 6 个顶点的对应点，个顶点的对应点， 顺序连接，即得六棱柱底面的轴测图，见图（顺序连接，即得六棱柱底面的轴测图，见图（d d）。）。【4-34-3】作附图（作附图（a a）所示组合体的正等测）所示组合体的正等测图。其步骤如下：图。其步骤如下：1 1画正等轴测轴。画正等轴测轴。2 2在正投影图上定坐标原点在正投影图上定坐标原点O O，本题选择在形体右后下方，本题选择在形体右后下方，如附图（如附图（b b）所示。）所示。3 3根据正投影，按根据正投影，按1 1：1 1量取图中尺寸（采用简化系数为量取图中尺寸（采用简化系数为1 1），作出底部和上部叠加的长方体的轴测图，如附图（），作出底部和

22、上部叠加的长方体的轴测图，如附图（b b）所示。所示。4 4根据形体分析，对上下形体进行切割作图，如图（根据形体分析，对上下形体进行切割作图，如图（c c）所示。所示。5 5擦去不可见图线和轴测轴等，对图样检查后进行加深擦去不可见图线和轴测轴等，对图样检查后进行加深处理，完成作图，如附图（处理，完成作图，如附图（d d）所示）所示。1. 1. 平行于坐标平面的圆的正等轴测图特点平行于坐标平面的圆的正等轴测图特点 画回转体时经常遇到圆或圆弧，由于各坐标面对正等轴测投影画回转体时经常遇到圆或圆弧，由于各坐标面对正等轴测投影面都是倾斜的，因此平行于坐标平面的圆的正等轴测投影是椭圆。面都是倾斜的，因此

23、平行于坐标平面的圆的正等轴测投影是椭圆。而圆的外切正方形在正等测投影中变形为菱形，因而圆的轴测投影而圆的外切正方形在正等测投影中变形为菱形，因而圆的轴测投影就是内切于对应菱形的椭圆，如图就是内切于对应菱形的椭圆，如图1-4-161-4-16所示。所示。 4213 回转体正等轴测图的画法回转体正等轴测图的画法图图1-4-16 平行于坐标面的圆的正等测图平行于坐标面的圆的正等测图2 2 圆的正等测画法圆的正等测画法 （1 1）弦线法（坐标法）：这种方法画出的椭）弦线法（坐标法）：这种方法画出的椭圆较准确，但作图较麻烦。步骤如图圆较准确，但作图较麻烦。步骤如图1-4-171-4-17所示。所示。(a

24、) 在圆上作若干弦线。在圆上作若干弦线。(b) 作出轴测轴，按各弦线分作出轴测轴，按各弦线分点坐标画出弦线的轴测投影点坐标画出弦线的轴测投影(c) 依次光滑连接依次光滑连接各端点。各端点。 （2 2）为了简化作图，轴测投影中的椭圆常采用）为了简化作图，轴测投影中的椭圆常采用近似画法，用四段圆弧连接近似画出。这四段近似画法，用四段圆弧连接近似画出。这四段圆弧的圆心是用椭圆的外切菱形求得的，因此圆弧的圆心是用椭圆的外切菱形求得的，因此也称这个方法为也称这个方法为“菱形四心法菱形四心法”。以水平面内。以水平面内的圆的正等测图为例说明这种画法（图的圆的正等测图为例说明这种画法（图1-4-1-4-1818）。）。(a)在正投影视图中作圆在正投影视图中作圆的外切正方形，的外切正方形，1、2、3、4为四个切点，并为四个切点，并选定坐标轴和原点选定坐标轴和原点(b) 确定轴测轴，并作圆外确