普通物理学教程力学第二版课后题答案解析(第四、十章)

1、第四章动能和势能思考题4.1 起重机起重重物。问在加速上升、匀速上升、减速上升以 及加速下降、匀速下降、减速下降六种情况下合力之功的正负。又： 在加速上升和匀速上升了距离 h这两种情况中，起重机吊钩对重物的 拉力所做的功是否一样多？解答在加速上升、匀速上升、减速上升以及加速下降、匀速下降、减 速下降六种况下合力之功的正负分别为：正、0、负、正、0、负。在加速上升和匀速上升了距离 h这两种情况中，起重机吊钩对重 物的拉力所做的功不一样多。加速上升F mg ；匀速上升F二mg。4.2 弹簧A和B,劲度系数，(1)将弹簧拉长同样的距离； 拉长两个弹簧到某一长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹

2、簧的过程中，对那个弹簧做的功更多？解答(1) Ka Kb 拉长同样距离Ka KbAaXbFa - K axaFb = K bXbFaXa =Fa FbK aKB原长Ka 4O 工A原长Kb IFBO BK A XA - K B XBAa =1KaxA =ka At =1-Fa-2 A A 2 A kA 2 kaA -!k Xb -1k_1_fb_Ab -2KbXb 2Kbk； _2Kb4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹簧势能总是正的。”这一论断是否 正确？如果不正确，在什么情况下，弹簧势能会是负的。解答与零势能的选取有关。4.4 一同学问：“二质点相距很远，引力很小，但引力势能大； 反之，相距很近

3、，引力势能反而小。想不通”。你能否给他解决这个 疑难？解答设两物体（质点）相距无限远处为零势能。4.5 人从静止开始步行，如鞋底不在地面上打滑，作用于鞋底 的摩擦力是否做了功？人体的动能是哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方便?解答（1）作用于鞋底的摩擦力没有做功。（2）人体的动能是内力做功的结果。（3）用质点系动能定理分析这个问题较为方便。4.6 对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为 零？解答不一定。4.7 力的功是否与参考系有关？ 一对作用力与反作用力所做功的代数和是否和参考系有关?解答（1）有关。如图：木块相对桌面 位移（s-l ）木板对木块的滑

4、动摩擦力做功f（s-l）若以木木块木板木块SFf F板为参照系，情况不一样（2）无关。相对位移与参照系选取有关。（代数和不一定为零）4.8 取弹簧自由伸展时为弹性势能零点， 画出势能曲线。再以弹簧拉伸或压缩到某一程度时为势能零点， 画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线对重力势能和万有引力势能也可如此作，研究一下。(1)弹簧原长为势能零点原长Ep Jkx22Ep(X)(Ep 一0 二；Kxdx nKx2Ep EPo=A?)设X =X°处势能为零。XEpx Epx, = ( kxdx*01 2 1 2E PX kxkx02 2(2)重力势能：y = 0处势能为零Ep(y)E

5、Py - EPh0yh mgdy =mgy _mgh°h0厶h0* yEp(y)二 mgy -mgho-mghoy二-h。处势能为零yEpy Ep（_h°）= h° mgdy = mgy + mgh。万有引力势能与上雷同。两质点距离无限远处势能为零本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物 50kg。人用力向后登传送带而人的质心相对于地面不动。设传送带上侧以2m/s的速率向后运动。问运动员对传送带做功否？功率如何?解答人作用到传送带上水平方向的力，大小为 50g，方向向左。因为受力点有位移，所以运动员对传送带做功。N=F二mgx =5

6、0kgX 9.8N/kg x 2m/s=980w一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为f=k/ + k2八，总表示弹簧的伸长量，k1为正。（1）研究当k2 0,k2 0和k2 =0时弹簧的df劲度7有何不同；（2）求出将弹簧由1拉伸至2时弹簧对外做的功。解答（1）根据题意 f =k/+k2f3df所以弹簧劲度为孑3k 2 20当k2 0时，由于ki 0，所以d，弹簧的劲度随弹簧的伸长 量的增加而增加当k2 0时，弹簧的劲度随弹簧的 伸长量的增加而减小。df = k当k2 =0时，d1弹簧的劲度不变。以上三种情况的弹簧劲度系数如右图所示：（2）将弹簧由1拉伸至2时，弹簧对外界所做的功是：A二 _ ：2

7、（ki f . k2 /）-ki（：l -k2（F： -佇）124一- k" 一£）2（巧-）（；F-）二- 2 ki 2 k2（a； - 打）当：爲时，A ；：0.拉伸，外界做功，弹性力做负功。当fi2时，A > 0.缩短，弹性力做正功。一轻细线系一小球，小球在光滑水平面上沿螺线运动, 绳穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳。证明力F对线做的功等于 线作用与小球的拉力所做的功。线不可伸长。解答设T为绳作用在小球上的力。力T对小球所做的功为ST dr将dr分解为沿r方向和与r垂直方向的两个分位移 血总（1为对 0点的位矢）如图：4彳呻r呻 呻1>4At = Tdr

8、Tdr,dr2 亠Tdr；1 S-s1-S1又绳子不可伸长F =T dr；（dF是力F的作用点的位移）.sT dk f d一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行使，斜坡与水平的夹角的正切tg> =0.02,所受的阻力等于卡车重量的0.04 ,如 果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？解答取卡车为隔离体，卡车上下坡时均受到重力 mg牵引力F、地面支持力N和阻力f作用。受力分析如图所示:mg下坡受力分析上坡受力分析卡车作匀速直线运动F -mgsin : -f =0F二mgs in .二"0.04mg卡车的功率N 上二 F(mgsin ： 0.04mg)上/tga=(

9、mg 20.04mg).上tg：1由题意：T卡车作匀速直线运动F=mgsin 鳥"0.04mg卡车的功率呻4N 下二 F(mgsin : 0.04mg)下=/tg :0.04mg)、.下N上=N下质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块 与一不可伸长的轻绳相连。绳跨过一固定的光滑小环。绳端作用着大 小不变的力T=50N木块在A点时具有向右的速率"Ym/s。求力t 将木块自A拉至B点的速度。解答N、mg做功为零由动能定理：SabT dr式中444 一 xABT dr Tcos : dx Tdx00.(4 -x)232利用积分公式:udu、u2 + a2u24-(

10、4-x)则上式AV0，4-x)2严"=50 汇 J(4 x)2 +32 0 =100(J)2Atm= 20.9(m/s)注：关于T做功还有一种解法：abT dr 二T 42 32 -3 = 2T =100(J)其中T为常量，其受力点的位移可利用三角形求。不可伸长的轻质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上 绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。 绳端作用以 恒力F, F=60N.木块在处有向上的速度s=2m/s，求木块被拉至B时 的速度。0.5m解答0.5m重力做功AwabW d -W A亍5.88( J)A =60 ( ,2 0.5-0.5) =12.43(J)-mJ -

11、mA =A 总二 Aw Af2 22A总mA= 3.86(m/s)方向向上4.3.3 质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度“向右运动。弹簧的劲度系数为k，物体与支撑面之间的滑动摩擦系数为求证物体能达到的最远距离mgJT77777777777777777777777<>km:mix卩 0 x由:=0 m. 02xA = _mgx 亠 i kxdx-b 土 Jb2 _4acx 二2a所以：Im打mgx丄kx22 2-mgx -1kx2解一元二次方程:+(kmV)2V Wg)x 二k_Pmg + PmgJ1+ kmx(5g)2x =舍去负号：k圆

12、柱形容器内装有气体，容器内壁光滑。质量为 m的活塞将气体密封。气体膨胀后的体积各为 Vl和V2，膨胀前的压强为Pl。 活塞初速度为5。（ 1）求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时 气体压强与体积满足PV二恒量。（2）若气体压强与体积的关系为PV/ -恒量， 为常量，活塞末速率又如何？（本题用积分）解答i 2 i 2 m m . o (i) 22v2 'vi pd八viV2Pivi dv = p-i vil n 2Vin V+v0 vii 2 i 2 m m . 0 (2) 2 21丄dvi vV2 PiVi*./( iAi-Y、1 (v 2-vi)P1V1(v2vij"2

13、(i - )m435 O坐标系与O坐标系各对应轴平行。O相对于0沿x轴FA -2 _丄 2以0作匀速直线运动。对于0系，质点动能定理为 X 2 2 2 i ,X2沿x轴。根据伽利略变换证明：相对于 0系，动能定理也取这种形式。解答/ X = X - 0 tx'= Ax ¥0也1 V = v -v0F x" = F x Fs 讥Fx F“ 进m、； 一丄 m= m(' 2 、o)2 -丄 m(r 、0)2.2 2 2 2Jm；2 丄口叫2 f0(m y； _mv；)2 2F " F、0 =t二丄 m' 2； - 丄 m、r2 、0 (m ；_

14、、；)2 2由动能定理得:F 0=t二. 0(m、. 2 - m -. J.t 1 2 1 ,2最后可得：F - X m -2m -I2 2说明相对于O系，动能定理的形式不变。436 带电量为e的粒子在均匀磁场中偏转。A表示发射带电粒子的离子源，发射的粒子在加速管道B中加速，得到一定速率后与 C处在磁场洛仑兹力作用下偏转，然后进入漂移管道 D。若粒子质量 不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同。 在本 题装置中，管道C中心轴线偏转的半径一定，磁场感应强度一定，粒 子的电荷和速率一定，则只有一定质量的离子能自漂移管道D中引 出。这种装置能将特定的粒子引出，称为“质量分析器”。各种

15、正离 子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为 V的电场加速。设偏转 磁感应强度为B,偏转半径为R.求证在管中得到的离子质量为eB2R2U解答正离子从离子源引出后，在加速器中受到电压V的电场加速。正离子获得的动能为eV（电势能）v _ jzeV正离子的速度' m44由于正离子在磁场受到洛仑兹力F= B的作用而发生偏转Vfm =eB、.ReBvR eBReBRm 2zeV- meB2R2rm =即：zV437 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体。圆柱体又 套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为 200g。自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用

16、下移至图中位置，球圆柱体的速度，线长 20cm不计摩擦。以轻绳，圆柱体和框架组成的质点组所受外力有：圆柱体重力wmig，框架重力w2，轻绳拉力T和作用在框架上的水平力F。其中 轻绳的拉力T和W2不做功。质点组所受内力：框架槽和小球的相互作 用力R、R，由于光滑，所以R、R做功之和为零。质点组所力情况 如图：根据质点组动能定理:1 2m -.-'i21 20m .2= -mg 1(1cos30") F sin 302(1)1为圆柱体的绝对速度2为框架的绝对速度。由于'相对（见下图）将此式投影到图中所示的沿水平方向的OX轴上，得:. 2 =、J cos30"带入

17、(1)式中m,2 lm(r cos300)2 = me .f(cos30 -1) F sin 300 2 2解得：十 2.4(m/s)4.4.1二仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和2的劲度系数分别各为k1和k2。它们自由伸长的长度相差I。坐标原点置于弹簧2自由伸展处。求弹簧组在0岂x汨和x<0时弹性势能的表示式。弹性力f=-kr xk1二-k1(X -：) 二 k1 (f - x)外力为F= -k"-x)当0乞Xf时，k2无势能，只有k1有势能。外界压缩弹簧k2做功使k2势能增加。设原点处为势能零点，则:1 _2xEp （&£ ）（-x）dx2

18、x12Ep二 k1（f x）d（f -刈一尹1EP = l&x2 _kj'xx ： 0时：原点为势能零点A对于也：外力做功2X1=o k2xdxk2xA对于k1 :外力做功1X1212_ki心x）dxskix-心1>2 1 21 21/2Ep-（一2«f ）= ?k2X2&X2心：k/xEp J（k1 k2）x2 - kx24.5.1 滑雪运动员自A自由下滑，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度刚好在水平方向，已知两点的垂直高度为25m坡道在B点的切线方向与水平面成300角，不计摩擦。求（1）运动员离开B处的速率为7，（2）B,C的垂直高度差h及沟宽

19、d，（3）运动员 到达平台时的速率c。解答力N作用。（忽略摩擦）。重力为保守力，支持力N不做功，所以机械能守恒。以B点为重力势能零点，得到运动员离开 B处的速率:mg. ：h.BB = 50g = 22.14(m /s)(2) 运动员从B到C做抛物线运动，当到达C点时，由题意知： 二沿水平方向，说明正好到达抛物线的最高点。所以 B C的垂直高 度8g= 6.25(m)2 2,vB sin 30 h =2g(3) 因为运动员做抛物运动时在水平方向不受力，所以水平方向的动量守恒：m、c = m、b cos30'、c B cos30' =19.17(m/s)(4) d的高度：水平射程

20、的一半d =丄(泣 s in 2" =21.65(m)2 g装置如图所示：球的质量为5kg,杆AB长1cm,AC长0.1m，A点距O点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m杆AB在水平位置时恰 为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动。球小球到铅 垂位置时的速度。不及弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。包含球杆弹簧的质点组受力如图所示：IN不做功。重力和弹性力为保守力(不计摩擦)系统机械能守恒设杆水平时势能为零1 2 - 1 . 20m- mg(AB)+ k()2 2= Oa2 Ac2 二.0.52 0.12. i：=(OA Ac) -fo 76-0.5099将(2)式代入(1)式

21、0.5099(m)(水平位置)0.09(m)(1 2 1 2 m -mg(AB)+k(0.09) =02 22 2m -2mg(AB)+k(0.09)=0- 22mg(AB) -k(0.09)m2g(AB) (0.09)2m= 4.278(m /s)4.5.3 物体Q与一劲度系数为24N/m的橡皮筋连结，并在一水平圆环轨道上运动，物体 Q在A处的速度为1.0m/s，已知圆环的半径为0.24m,物体Q的质量为5kg，由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度。求（1）物体Q的最大速度；（2）物体Q能否达到D点，并求出在此点的速度。（1）取物体Q为隔离体在竖直方向上Q所受的力的矢量和为

22、零而在水平方向只受到弹力F和光滑圆弧的水平方向的作用力 N作用，F为保守力，不做功。所以机械能守恒。设弹簧势能零点为弹簧原点处:（B点速度最大）1 m A(汀)2 = 21 2m Bm、D Epd因为 22 m 22 2 23 +巴(砒mf =OA -Ob= ； (OB+R)2 R2 -OB=0.3065(m)% =1.2(m/s)(2)在D点弹性势能为：1 2Epd k(2R) 2 =2.76(J)2所以= 0.58(m /s)4.6.1 卢瑟福在一篇文章中写道：可以预言，当:粒子与氢原子相碰时，可使之迅速运动起来。按正碰撞考虑很容易证明，氢原子 速度可达：粒子碰撞前速度的1.6倍，即占入射

23、粒子能量的64%试 证明此结论(碰撞是完全弹性的，且粒子质量接近氢原子质量的四 倍)。解答设粒子的质量为4m ,氢原子的质量为m； 粒子的初速度为'"io，氢原子的初速度为正碰后，粒子的速度为1，氢原子的速度为2(m2 mi)*20 +入射:粒子的能量:5卍10卷=由公式:mi m2将以上数据代入:3m、20 8m、105m=1.6 10氢原子碰后的能量:-m(1.M0)22则:4.6.2 m为静止车厢的质量，质量为 M的机车在水平轨道上自右方以速率打骨行并与m碰撞挂钩。挂钩后前进了距离s然后静止。求轨道作用于车的阻力。解答选取机车和车厢为质点组挂钩时为完全非弹性碰撞。因为冲

24、击力大于阻力，可视为动量守撞后：由动能定理0 -(M m)V $ = f s2_ (M m)V2 (M m) M 2 M2 2 _ 2s _ 2s(M +m)2 一 2s(M +m)463 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时， 两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为 e。若球A自高度 释 放，求该球弹回后能达到的高度。又问若两球发生完全弹性碰撞，会 发生什么现象，试描述之。解答(1)A球碰前的速度，由机械能守恒:m A。二 mghi2A0 = 2ghiA与B发生非弹性碰撞又知:AO 7 BOAO(3)由( 1) (2) (3)式得:1 -e(4)A球上升高度：机械能守恒Im、.

25、：二mgh22h2A 1(1e)2gm2g 2g 4(1-e)24 h1（2）若两球发生完全弹性碰撞由（4）式 '八0再由（2）式即A球静止，B球以A球碰前的速度开始运动。当B球上升后（h1 高度）又落下与A球再次发生完全弹性碰撞。7=0 ' n，A球以 速度so开始向上运动。如此往复。质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg、用1m长的绳子悬挂着的摆。子弹穿过摆后仍然有100m/s的速度。问摆 沿铅直方向升起若干。解答第一阶段，动量守恒m-Q= MV+m 空 me。-、)V= _M第二阶段，机械能守恒2g2 21 m (.o ) 2g 不0.002（由于碰撞时间短

26、，下降距离为零）以后以共同速度下降：机械能守恒 (500 100)222 9.8 1= 0.03(m)一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来使弹簧伸长 10cm今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落入框架 秋此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计。空气阻力不计铅块下落到框底速度为10 = , 2gh（ 1）接下来，铅块与框架底发生完全非弹 性碰撞。由于冲击力大于重力、弹性力， 可视为动量守恒。设弹簧自由伸长处框架底板的位置为重力、弹性势能零点。碰撞前m、10 =2m、弹簧伸长为几，碰撞后质点移动的最大距离为加宀屮伽施冷吧灯-他。）（ 3）依题意mgTT(4)(2) (4)式代入

27、(3)式：-2£olfoh =0Hof0 !0h =0仁、0.12 0.1 0.3=0.1一0.2舍去负号项，f = 0.3m = 30cm质量为mi=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张。质 量为0.01kg的子弹以速率 =100m/s沿水平方向射于mi内，问弹簧最多压缩了多少？第一阶段：完全非弹性碰撞m0 令1 m。'(1)第二阶段：弹簧被压缩最甚，动量守恒(m1 m0)、= (m1 m2+m0)V(2)（V为共同速度）再由机械能守恒:1 1 1y 宀2血mm/2尹（f爲有（1）（ 2）（ 3）

28、式解出:,L. max=m°. 01m m2+m0)=0.25(m)一 10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量 为100g小鸟体内。小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落 地处与树枝的水平距离。解答第一阶段是子弹击中小鸟，两者发生完全非弹性碰撞水平方向动量守恒：m110 “1 m2)'C为子弹、小鸟共同速度)m1m1 m2第二阶段是子弹和小鸟一起做平抛运动小鸟落地时间:t 二水平距离:t 二0.010.01 0.11102 4.99.8-10(m)在一铅直面内有一个光滑轨道，左面是一个上升的曲线， 右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质

29、点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全 弹性碰撞。碰后仍可返回上升到曲线轨道某处， 并再度下滑，已知A、 B两质点的质量分别为m1和m2。求至少发生两次碰撞的条件。分三个阶段：第一阶段，A第一次与B完全弹性碰o撞。设，A撞前速度为'T0，撞后速度为'-11 ；B撞前速度为零，撞后速度为' 21。十 阿-mzMo +2m2% 由公式：1mi+m2叽mJ% +2m*io" 2 ：'mi+m2得:（g 口2）匕02mio" 1<21 :g +m2m<m2要使质点返回，必须'-1-：0，即g "

30、;2第二阶段，A返回上升到轨道某处，并再度下滑到平面轨道。由机械能守恒：1 2 1 22吋厂mgh匚咛12（-2是再度下滑到平面轨道的速度）2 2得,1 =；12八12 一 -11第三阶段，A, B再次碰撞。要求' 1221，即-11人21将上面的'-11，21代入此式-m22m1-'-10 - 10mi m2 g m2m23 mi这是A, B至少发生两次碰撞的条件469 钢球静止地放在铁箱的光滑底面上， 如图示。CD长 铁箱与地面间无摩擦。铁箱被加速至0时开始做匀速直线运动。后来， 钢球与箱壁发生完全弹性碰撞。问碰后再经过多长时间钢球与 BD壁 相碰？解答选取铁箱和钢

31、球为质点组，以地面为 参考系，坐标系0X。第一阶段，钢球与AC发生完全弹性 碰撞。设0宀为铁箱碰撞前后速度,' 20八2为小球碰撞前后速度。由完全弹性碰撞:10八020=°,即碰撞前后钢球相对铁箱的速度为'0。第二阶段，是钢球在箱内运动，直至与 BD相碰取钢球为研究对象，选取铁箱为参照系，由于铁箱表面光滑,所以小球在箱内作匀速直线运动。可得钢球碰后再与壁相碰的时间间t隔为 '0两车厢质量均为M左边车厢与其地板上质量为 M的货 箱共同向右以"运动。另一车厢以20从相反方向向左运动并与左车 厢碰撞挂钩，货箱在地板上滑行的最大距离为。求：（1）货箱与地板间

32、的摩擦系数"；（2）车厢在挂钩后走过的距离，不计车地间摩擦。解答（1）第一步：两车厢完全非弹性碰撞，卫 *Mv0 -2M+0 =2MVoX1V02第二步：内力作功，使体系动能改变，由动能定理以地面为参照系；0 - EK0= -f(r 121 Vn 232f M 0 2 - M (-0)M 02243-o4gf(1)(2)（2）碰撞后系统在水平方向的动能守恒系统的动量：M2m（T0系统总动量为零，质心不动Mx1 2Mx2x3Mc(常量)Mx1 2Mx2 二 3Mxc解（2） （3）式得：Lx2 一3质量为m的氘核的速率u与静止的质量为2m的:粒子发 生完全弹性碰撞，氘核以与原方向成 9

33、00角散射。（1）求粒子的运 动方向，（2）用u表示粒子的末速度，（3）百分之几的能量由氘核 传给粒子？解答（1）由动量守恒：x:mu = 2m .cos：.J；'u sin -u cos y: 0 二 m -2m ：.sin :u =2、：.cos：（1）即：u =2 :.sin：在匚方向上有关系式:由e=1 （完全弹性碰撞）_(_u sin :) e 二u cos (3)u由(1)式- 2cos30”31x21 2 mu动能比：2u)223参考题图。桑塔娜空车质量为m1=106 10kg，载质量为70kg 人，向北行驶。另一质量为152 10kg的切诺基汽车向东行驶。而车相撞后连成

34、一体，沿东偏北 二=30°滑出d=16m而停止。路面摩擦系数为"-a8。该地段规定车速不得超过 80km/。问那辆车违背交通规则？又问因相撞损失多少动能?碰后的共同速度1J(mi m2)gd(m m2)V2V = 2环m2、2° = (m1 m2)V cos：m?10 =0m2 )V sin 二匕0 =(" +m2)sin 口 J2gd =18.57(m/s) =66.88(km/h) 解得：m1(叶 +m2)cosa rr、201,2gd =23.92(m/s) =86.1(km/h)m2切诺基超速。碰撞损失的动能：LEe%20 tm2 鳥0)*(m1

35、 mb第十章波动和声习题频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感 觉.0 °C时，空气中的声速为331.5m/s，求这两种频率声波的波长.解答- , 20Hz, 2 = 20000Hz订=331.5(m /s)丄 331.54 一 20= 16.58(m)工 331.52 - 20000-16.58 10-3(m)一平面简谐声波的振幅为 0.001m,频率为1483Hz在20叱 的水中传播，写出其波方程.解答已知 A =.00伽."483Hz,表 P309知波速 1483m/s。设O-x轴沿波传播方向，x表示质元平衡位置坐标，y表示质心相对平衡位置的位移，

36、选坐标原点处位相为零的时刻为计时起点。即2兀x原点处初相为零 °。贝S位于处的体元相位落后。即:y = A cos( t -2x)=A cos (t2x2二x)=A cos (t )y=Acos 2 二(t 一 x)= 0.001cos(2996 二 t 一 2 二 x)10.2.3已知平面简谐波的振幅AOHcm，波长1m周期为10,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解答选坐标原点处位相为零刻为计时起点。0-x轴沿波传播方向，则 可得波的最简形式：t x、二 A cos 2(.)T 丸代入已知数据得t xy=10cos2：(2) =10“8$2二(1

37、00上-x)10工1设波源处为X。，则XX。9，xx0 10因此位相差是：2 100t (x 0 9) - 2 二100t - (x 0 10) = 2二写出振幅为A,，波速为二二c,沿Ox轴正方向传播的平面简谐波方程.波源在原点O,且当t=0时，波源的振动状态被称 为零，速度沿Ox轴正方向.解答波源振动方程：y = A cos( t)JT:t = 0时，y° 二 A cos 二 0,八 0 二A sin 0,sin ： 022因此波源振动方程为：冗y = Acos( t )2任一x处的位相比波源的相位落后，得波方程为y = A cos(，t)2 九斗Jl2¥x= Acos

38、(2 二 t-)2 v- n二 Acos2 二(t )v 2将已知量代入得:- 兀y 二 Acos2 二 f(t )c 210.2.5已知波源在原点(x=0)的平面简谐波方程为y =Acos(bt -ex)A,b,c均为常量。试求：(1)振幅，频率，波速和波长；(2)写出在 传播方向上距波源处一点的振动方程式，此质点振动的初位相如何？解答y二Acos(bt -ex)与平面简谐波方程的标准形式 八Acos( t-kx)比较可得：(1)振幅为A,频率： 2二2二；o br. v b /c 2 兀V =九 _波速 k c，波长b/2二c(2)x二f时，该点的振动方程式为：y = Acos(bt -c

39、! )此质点振动的初位相为0 =一平面简谐波逆轴传播，波方程为xy=Acos2 二(t 3)V试利用改变计时起点的方法将波方程化成最简形式。xx八Acos2（t -3），最简形式应为八Acos2（t匚）如改变计时起点后的新计时系统以t应满足t x =t 3'-'- ，因此 t = t 3即将计时起点提前3秒，就可将波方程化成最简形式xy = Acos 2 二(t )vx，试用两种方法画出平面简谐波方程y=5cos2«4） 的波形图。（SI）y =5cos2二（t °），t 砧卄够囱45的波形图。方法一：有方程求得。A = 5m, =4m6 二 2 二 x),

40、3 2兀x-y =5cos(2) =5cos(-5454找出对应于方程的各(x,y )点,例如:x =0, y 二-4.045;y =0, x - -1.4;y =5, x - -2.4通过各点描绘出所求波形图（右图） 方法二：由方程求得，A = 5m4m,00, y = 5cos x先画出2的图形，在将纵坐标轴向右移动X。:6/52 二Xo3,10.2.8对于平面简谐波S = rcos2”T)中 r = 0.01m,T=12s, = 0.30m,画出0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图解答t xy = r cos2兀(一一 一)，r = 0.01m,T =12s,九

41、=0.30m(1)T t x得 y=0.01cos2：()120.3又 x = X)= 0.20mt 0.20/ 兀y=0.01cos2：() = 0.01cos ( t -120.36t(s)可求得T=12s,t=0时;4兀y =0.01cos () - -0.053(2) t=3s、6s时波形图a.y =0.01cos2 二(卫)120.30Tt二 0.01cos(22二 x、0.30)jix =0, y = 0; 22二 x0.30* xb.y =0.01cos2 二)120.30二 0.01cos(二2x0.30即向右移动5'，就可以得到所求的波形图其相位与t=3s时相差2，所

42、以将t=3s的波形图向右移4，即得 t=6s时的波形图。二图分别表示向右和向左传的两列平面简谐波在某瞬时的 波形图，说明此时Xl，X2,X3以及1，2, 3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于X2和2只要求说明其相位在第几象限）X解答若波用余弦函数表示，则所求结果如下表横坐标位移速度相位Xi正最大02X2负负H象限X30负最大2_1正最大02_2负正皿象限-30正最大3兀2波形图。试写出此平面简谐波波方程。(b)解答由图知人=2皿-2m 由图（a）知,原点处质元t=0时，位移最大,速度为零，因此原点处质元 初相 “.(+n )T =2S比较t=0和t=2s的(b)图知4因此8

43、4n 1s,(n =0,1,2,川)取 n = 0,T =8s,将A，T之值代入波方程的一般表示式就可以得到所求波方程的一个表达式：t xy 二 Acos2 二（）:T 九t x =2cos2 二（）08 2二 2cos（ t 一二 x）4有一圆形横截面的铜丝，手张力1.0N，横截面积为1.0 mm2.33求其中传播横波和纵波时的波速各多少？铜的密度为&9 10 kg/m，铜的杨氏模量为12 109N/m3.:匸=8.9 103kg/m3, r =12 109N/m =9erg/scm2=9 10-7 104J / s m2 已知'- = 300m/ s2I厘 3 ；max6

44、10 (J/m )V12 1098.9 1033= 1.16 10(m/s)可把很细的铜丝看作柔软的弦线(设弦线的密度为：)，计算在其中传播的横波的波速.:T =1.0 N；=1 1.0 10-6 8.9 103 =8.9 10；= 10.6(m/s)3已知某种温度下水中声速为1.45 10 m/s，求水的体变模量解答*已知=1.45 103m/ s, J = 103kg / m323 292.k =：' =(1.45 10 ) =2.10 10 (N /m )在直径为14cm管中传播的平面简谐声波.平均能流密度2 gerg/scm，' 300Hz，v=300m/s. ( 1)

45、求最大能量密度和平均能量 密度，(2)求相邻同相位波面间的总能量(1)能量密度最大能量密度r 2 " 2. 2, X、二A sin(t )v能流密度于 XFdmax1r2"2 I.5" .,3、A3 10 (J/m)平均能流密度2由于相邻同位相波面间的距离为.一周期内单位体积媒质具有的平 均能量为【，因此相邻同位相波面间的总能量为Er 亠£4.62 10'(J)Y 42面向街道的窗口面积约40m，街道上的噪声在窗口的声强级 为60dB,问有多少声功率传入室内(即单位时间内进入多少声能)？V L = 10log -I 0LI “01O10丄60声功

46、率 W = IS = l01010S =10"° 102 40 =4 10'(w)1044 距一点声源10m的地方，声音的声强级为 20dB.求(1)距声源5m处的声强级;(2)距声源多远，就听不到1000Hz的声音了?I12' I2(1) I21=1221 -212I2_I12I2L2 =10lg =10lg =10lgX 10lg 气 'I。丨01> 2一 5已知 10lg =20dB, * =10m,r2 =5mI 0102因此 L2 =20 10lg 2 -26.02(dB)5(2)设距声源0时,刚好听不到声音t i I 0 AIl 2

47、、1/22、1/2-i r° =( ) =(1叶1 ) = 100cmhr。I-声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图薄膜S在电磁铁的 作用下振动.D为声音检测器，SBD长度可变,SAD长度固定.声音干涉 仪内充满空气.当B处于某一位置时，在D处听到强度为100单位的最 小声音，将B移动则声音加大，当B移动1.65 cm时听到强度为900单 位的最强音.(1)求声波的频率,(2)求到达D处二声波振幅之比.已知声速为342.4 m/s.(1)由最小声音到相邻的最强音，经SAD,SBDT内穿到D处的二相干波， 传播距离差应改变2,此改变量是由B管的移动引起的，因此2 1.65cm2二丸=4&

48、gt;<1.65cm =6.6江10,I T屮V =川5188Hz13两个声源发出横波，振动方向与纸面垂直，二波源具有相同 的位相，波长0.34m .(1)至少求出三个x数值使得在P点合振动最强,(2)求出三个x数值使得在P点合振动最弱.此二横波振动方向相同，波长相同，在同一种媒质中传播，波速相 同，因此其周期相同，圆频率也相同，传到P点的此二横波的方程可写._ .t L、出二 A cos2二()T 九._ . tL_x、¥2 二 A cos2 (.)T&(1)在P点合振动最强时，二横波在该点引起的多振动位相相同，即tL xtL2-() -27.()=. 2n“：TI由

49、此得，x=已知=0.34m取 n=0,1,2时得x =0.17m,0.51m,0.85 m试证明两列频率相同，振动方向相同，传播方向相反而振幅 大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加.解答设满足题目要求的二平面简谐波为：* = A cos( t -kx)y2 -A2 cos( t kx)且 A1 A2则：% y2 二 A cos( - kx) A? cos( t kx)=(A - A2)cos( t - kx) 2A2 coskxcos t此结果的前一项表示一行波，后一项表示一驻波，可见满足题目要求 的二平面简谐波叠加后形成了一驻波与一行波的叠加.10.5.4y =10 汉 10

50、，cos2000 兀(t )入射波34)在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m ,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)解答反射波的振幅，频率,波速均与入射波相同，传播方向与入射波传播方 向相反,初位相也不同，因入射波在坐标原点的初位相为零.故反射波 在原点的初位相为：=0 -(生 2恵川哦)=-(1)二(L = 0.51m)kk其中'为落后位相，二为半波损失.4X厶tX入射波心0 10 cos2000乂一34)円0 10 co帖(碣一00)-34/1000,- -（4 0.51 100 1）二-61"可见34由以上各条件可写出所求反射波在原点的振动方程y0 =10 10

51、，cos（-61 二）=10 10*cos2000二（t-一6）2000反射波的振动方程为：61 ）=10 10*cos2000二（t 上）-二34_4Xy -10 10 cos2000 二（t342000y = A cos 2兀（一 + ）入射波方程为T ）,在X=0处的自由端反射，求 反射波的波方程.无振幅损失.t x由入射波方程"Acos2丐一)知反射波振幅为A,周期为T,波长为-,传播方向沿坐标轴O-X正方 向.因在X=0处自由端反射，故反射波与入射波在原点处位相相同.因此反射波方程为：tX、y = Acos2 二()T 九10.5.6图示某一瞬时入射波的波形图，在固定端反射.试画出此瞬时反射波的波形图.无振幅损失.解答因为反射波与入射波传播方 向相反,在固定端反射时，二者位 相差为二，所以可以按以